2．里歐修斯(Eudoxus)的比較原則和逼近原理明確了實數(shù)系和有理數(shù)之間的關系闭树，以逼近法用有理數(shù)逼近非比數(shù)臼寄，從而提供了研討實數(shù)系的有效途徑．
? ? ? ? 當｛a峻呕、b｝不可公度時，“a：b”不是一個有理數(shù)违诗，不能表示成m/n(n某抓、m為整數(shù))的分數(shù)纸兔，但a：b可以與m/n比較惰瓜。
比較原則：a：b＞m/n或者＜m/n，當且僅當na＞mb或者na＜mb．
? 公理：任何兩個直線a汉矿、b崎坊，不論a有多短b有多長，總有足夠大的整數(shù)N洲拇，使得Na＞b
? 定理：設｛a奈揍、b｝是不可公度的，對于任給正整數(shù)n赋续，恒存在正整數(shù)m男翰，使得m/n＜a：b＜(m＋1)/n
證明：由上述公理，必有足夠大的N蚕捉，使得1/n·b的N倍比a長．令(m＋1)為所取N值的最小者奏篙，則有
? ? ? ? ? ? ? ? m·(1/n·b)＜a＜(m＋1)·(1/n·b) 即m/n＜a：b＜(m＋1)/n
注：因為n是可以任意大的柴淘，所以左迫淹、右夾逼a：b的兩個分數(shù)之間的差1/n是可以任意小的．(用現(xiàn)代術語，即對任給正數(shù)E＞0为严，皆有足夠大的n使得1/n＜E)我們?nèi)n＝m/n敛熬；Sn＝(m＋1)/n，從而構成a：b的一對左第股、右夾逼數(shù)列｛rn｝和｛Sn｝．a(chǎn)：b存在于｛rn｝和｛Sn｝之間．總之应民，實數(shù)系的發(fā)現(xiàn)和理解都和長度度量問題密切相關，而實數(shù)系中任何一對左夕吻、右夾逼數(shù)列都唯一存在一個被它們所夾逼的實數(shù)(即它們的共同根限)是直線連續(xù)不斷的解析描述诲锹，稱為實數(shù)系的連續(xù)性，而它又是近代數(shù)學中各種各樣存在性定理的證明依據(jù)涉馅，而且實數(shù)系是有理數(shù)系的一種自然擴張归园，任何一個實數(shù)都能用一對左、右夾逼的有理數(shù)數(shù)列去唯一地描述．反之稚矿，任何一對左庸诱、右夾逼的有理數(shù)數(shù)列也能描述一個實數(shù)．這樣不但簡明扼要地刻劃了有理數(shù)系和實數(shù)系之間的關系，而且也提供了用有理數(shù)系去研究實數(shù)系的有效途徑和方法晤揣。
