2.2.1 證明加法結合律：對任意的自然數a,b,c，(a+b)+c = a+(b+c).
用數學歸納法證明：
c=0時，(a+b)+0 = a+b （根據引理2.2.2）
a+(b+0) = a+b
假設當c=n時牧氮，等式(a+b)+n= a+(b+n)成立骗露，現在證明c=n++時，等式(a+b)+(n++)= a+(b+(n++))也成立
(a+b)+(n++)=(n++)+(a+b)=(n+(a+b))++=((a+b)+n)++
a+(b+(n++))=a+((n+b)++))=a+((b+n)++))= ((b+n)++))+a=((b+n)+a)++=(a+(b+n))++
由于(a+b)+n= a+(b+n)
所以((a+b)+n)++=(a+(b+n))++淹父，即(a+b)+(n++)= a+(b+(n++))
2.2.2 若a是正數噪裕，證明恰存在一個自然數b,使得b++=a.
使用數學歸納法
當a=1時（是這樣么?）蹲盘，1=0++,根據公理4,僅存在b=0
假設a=n時，恰存在自然數b使b++=n
當a=n++時膳音，n++=(b++)++召衔，同樣根據公理4，僅存在自然數b++使等式成立祭陷。
(也就是說苍凛，任何一個不為0的自然數一定是某個自然數的后繼。只根據公理3能得出如果一個數不是任何自然數的后繼它就是0嗎兵志？)
2.2.3 自然數的序的基本性質
(a) 序是自反的：a>=a.
證明：a = a + 0,即存在自然數n = 0使 a = a + n
(b) 序是傳遞的： 若 a>=b 且 b>=c, 則 a>=c
證明： a>=b, 那么存在自然數m使得 a = b + m
b>=c, 那么存在自然數n使得 b = c + n
a = b + m = c + n + m = c + (n + m) 醇蝴， n + m 為自然數（根據加法的定 義），即 a >= c
(c)序是反對稱的： 若a>=b 且 b>=a想罕， 則 a=b
證明： a = b + m
b = a + n
a = a + n + m = a + (n + m)
a = a + 0 = a + (n + m )
根據加法結合律和命題2.2.6有 n + m = 0
若 n != 0, m = 0, 則 n + m = n + 0 = n != 0, 與 n + m = 0矛盾
若 n = 0, m != 0, 則 n + m = 0 + m = m != 0, 與 n + m = 0矛盾
若 n != 0, m != 0,則根據加法的定義悠栓，n + m 必為某個自然數的后繼，而
n + m = 0 不為任何自然數的后繼按价，所以還是矛盾
所以 n = 0, m = 0
即 a = b
(d) 加法保序： a >= b 當且僅當 a + c >= b + c
證明：(1) 先證 a >= b時闸迷， a + c >= b + c
存在自然數 m 使a = b + m, a + c = b + m + c = b + c + m
即 a + c >= b + c
(2) 再證 a + c >= b + c時， a >= b
存在自然數n 使得 a + c = b + c + n, 根據命題2.2.6有
a = b + n, 即 a >= b
(e) a < b 當且僅當 a++ <= b.
證明： (1) a < b ,則 存在自然數m , b = a + m且 b != a俘枫， 由反正法知 m != 0,
那么 m 必為 某一自然數n 的后繼 即 m = n++ （根據習題2.2.2）
則有 b = a + (n++) ，根據推論 n++ = n + 1 可得到
b = a + (n + 1) = a + (1 + n) = ( a + 1) + n = (a++) + n,即 a++ <= b
(2) a++＜＝b逮走， 則 存在自然數m使b = (a++) + m
b = (a++) + m = a + 1 + m = a + (m++)
根據公里3有 m++ != 0鸠蚪， 則 b != a 也就是 a < b
(f) a < b 當且僅當對于某正數d，b = a + d
證明： (1)a < b师溅， 存在自然數m 使得 b = a + m且b != a茅信， 由反正法知 m != 0
也就是m是正數，則存在正數d 使得 b = a + d
(2) b = a + d ,若d 為某正數即 d != 0墓臭，也就是說 b != a蘸鲸， 那么 a < b
