是每一個上過中學的人都熟知的事實，但是即便是非常簡單的“負負得正”侍筛，你有想過這是為什么嗎萤皂？
1 司湯達的疑問
將財產(chǎn)記為正數(shù)，負債記為負數(shù)對于普通人來說確實是一件易于理解的事匣椰，這種記錄方式始于7世紀的印度裆熙，它適用于加減法的運算，比如禽笑，本來有10元入录，支出12元，對應的算式是
這里的
對應的實際含義是“負債2元”佳镜。
然而僚稿，當要對其進行乘除法的時候，就會出現(xiàn)某些令人匪夷所思的問題蟀伸，在12世紀蚀同，印度天文學家巴斯卡拉這樣說道：“財產(chǎn)和財產(chǎn)的乘積，債金和債金的乘積均為財產(chǎn)啊掏，財產(chǎn)和債金的乘積則是債金唤崭。”根據(jù)他的說法脖律，就有
債金
債金
財產(chǎn)
這個公式是什么意思呢谢肾？恐怕無人能夠理解。18世紀的大數(shù)學家歐拉在其著作《代數(shù)學入門》采用過同樣的說明方法小泉，這讓許多學習數(shù)學的人在初遇負數(shù)相乘問題的時候感到一頭霧水芦疏。
司湯達（1783~1842）
《紅與黑》的作者冕杠，19世紀法國批判現(xiàn)實主義作家司湯達在其年少時酷愛數(shù)學，但他同樣也困惑于“負負得正”問題酸茴，他在其自傳中這樣寫道：
似乎是由于年少的單純分预，使我認為在數(shù)學中是不可能有虛假的，然而當了解了誰也沒加證明的（負×負）=（正）時薪捍，該怎么辦才好呢（這是代數(shù)學的基礎之一）笼痹。當考慮某人有負的借款時，為何1萬法郎的借款乘以500法郎借款酪穿，就會變成500萬法郎的財產(chǎn)了呢……
實際上凳干，司湯達提出了每一個學習代數(shù)的人都必然會提出的問題，即為什么“負負得正”被济？該如何直觀地理解這件事救赐？
2 從實際的角度
問題出在了對正負數(shù)的說明上。仔細想想只磷，對于什么是財產(chǎn)
財產(chǎn)经磅，債金
債金，恐怕誰也無法說明钮追，因為金額再乘以金額是沒有實際意義的预厌。
M·克萊因（1908-1992）
對此，《古今數(shù)學思想》的作者元媚，美國數(shù)學史家和數(shù)學教育家M·克萊因通過“負債模型”巧妙地說明了“負負得正”問題：
一個人每天欠債5元配乓，從給定日期開始（比如今天）3天后欠債15元。如果將5元的負債記作
惠毁，那么“每天欠債5元犹芹，欠債3天”可以用數(shù)學來表達：
同樣地，每天欠債5元鞠绰，考慮這個人3天前的財產(chǎn)腰埂，那么就應該比今天的財產(chǎn)多15元。如果我們用
表示3天前蜈膨，用
表示每天欠債屿笼，那么3天前他的財產(chǎn)情況就可以表示為
受此啟發(fā)，我們也可以舉出“批閱試卷”的例子來進行說明：
如果有一次考試某同學錯了一道題翁巍，扣5分驴一，則將其記為
，對應的算式是：
這里的1表示的實際含義是1道錯題灶壶。
換個角度想肝断，假若是老師批錯了，那么很顯然這位同學扣除的5分就會加回去了，其得分是
胸懈。1表示老師批對担扑，那么相對應地，
則表示老師批錯趣钱，對應的算式是：
上述兩個例子是自然的涌献，也是合乎情理的，可以幫助我們理解“負負得正”首有。
3 從運算邏輯的角度
從運算邏輯的角度來說燕垃，負負也必須要得正，因為有理數(shù)的運算必須遵循乘法分配律：
我們規(guī)定
實際上就是為了讓負數(shù)的運算依然能保持乘法分配律的結(jié)果井联，例如：
則
根據(jù)乘法分配律卜壕，則有
因為
，所以對于
低矮，其結(jié)果只能為1.
4 從幾何的角度
給定
，
被冒，則
和
均為正數(shù)军掂。如圖，則乘積
表示的實際含義是以
和
為兩邊的矩形（斜線陰影部分）的面積昨悼。
那么蝗锥，這個矩形是如何變換得到的呢？實際上率触，它是由原來以
终议，
為兩邊的大矩形先取走標以水平線陰影的矩形面積
，再取走標以豎直線陰影的矩形面積
葱蝗，但這樣取走了兩次標以雙重線陰影的矩形面積
穴张，必須將其放回，因此：
在這里如果令
两曼，便得到
即得到了負數(shù)相乘的符號法則皂甘。
5 不能加以證明的“負負得正”
實際上，上述對“負負得正”的一些看似合理的說明充其量只是某些“解釋”悼凑，而不能將其稱之為嚴格的數(shù)學證明偿枕。特別是上面“從幾何角度來說明負負得正”的例子，這樣的“論證”是虛假的户辫，因為它完全忽視了
公式之所以成立取決于不等式
渐夸，
，而令
則完全違背了這一點渔欢。
負數(shù)經(jīng)過了很長一段時間才被人們所接受墓塌，很難相信直到17世紀其合法性還不能像正整數(shù)那樣被人們所普遍承認，當有必要使用它們時，人們是相當猶疑和不安的桃纯，數(shù)學家有時將負數(shù)稱為虛構數(shù)酷誓、假數(shù)之類。因為人類的天性更傾向于依附“具體”的事物态坦，比如可數(shù)的物體（正整數(shù)）盐数。對負數(shù)的運算毫無疑問是抽象的，為此人們曾反復地企圖證明符號法則伞梯，但都失敗了玫氢。
對數(shù)學家來說，經(jīng)過了很長一段時間才認識到“負負得正”以及負數(shù)谜诫、分數(shù)所服從的其他定義是不能加以“證明”的漾峡。它們是我們創(chuàng)造出來的，為的是在保持算術基本規(guī)律的條件下使運算能夠自如喻旷。能夠并且必須加以證明的僅僅是：在這些定義的基礎上生逸，算術的交換律、結(jié)合律且预、分配律是保持不變的槽袄。
