定義
用來(lái)確定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體位置的3個(gè)一組獨(dú)立角參量。也就是一個(gè)三維向量R（ψ,θ,φ）。除了上述靜態(tài)的定義，還可以類(lèi)比歐式空間的坐標(biāo)P(x,y,z)進(jìn)行動(dòng)態(tài)的理解荷腊。坐標(biāo)P(x,y,z)可以理解成從原點(diǎn)向X軸走x遠(yuǎn)，再向Y軸走y遠(yuǎn)踩萎，最后向Z軸走z遠(yuǎn)的位置停局。歐拉角也可以表示成相繼的三個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程的合成，分別是繞X軸旋轉(zhuǎn)香府，繞Y軸旋轉(zhuǎn)，繞Z軸旋轉(zhuǎn)之后的位置码倦。
目的
對(duì)于一個(gè)點(diǎn)企孩，我們用位置來(lái)描述就夠了，只需要三個(gè)自由度袁稽，也就可以用通俗的三維坐標(biāo)來(lái)表示勿璃。然而對(duì)一個(gè)剛體，三個(gè)自由度是不夠的，因?yàn)橛辛梭w積的存在补疑，還需要有三個(gè)角參量來(lái)描述姿態(tài)歧沪，一共是6個(gè)自由度，這時(shí)候坐標(biāo)已經(jīng)不能夠滿(mǎn)足了莲组，所以歐拉角就是為了描述這件事情產(chǎn)生的诊胞。
理解
相比于坐標(biāo)，歐拉角相對(duì)難理解一點(diǎn)锹杈。因?yàn)閷?duì)于一個(gè)歐拉角R（ψ,θ,φ）撵孤，如果沒(méi)有定義旋轉(zhuǎn)順序的話(huà)是有歧義的。而在定義了旋轉(zhuǎn)順序下竭望，還要注意對(duì)角度對(duì)參考系的理解邪码。
旋轉(zhuǎn)順序
我們先回顧坐標(biāo)，對(duì)于一個(gè)點(diǎn)(x,y,z)咬清，我們是無(wú)所謂順序的闭专，從原點(diǎn)無(wú)論先按照哪個(gè)方向走x,y,z最后都會(huì)到達(dá)相同的地方。而旋轉(zhuǎn)不是旧烧，“先對(duì)X軸旋轉(zhuǎn)90度再對(duì)Y軸旋轉(zhuǎn)45度”和“先對(duì)Y軸旋轉(zhuǎn)45度再對(duì)X軸旋轉(zhuǎn)90度”是會(huì)有不同的結(jié)果喻圃。怎么理解這種不同呢？如果把這些變化對(duì)應(yīng)成矩陣粪滤，位置的變化是對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行加法運(yùn)算斧拍，而旋轉(zhuǎn)的變化是對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行矩陣的乘法運(yùn)算。矩陣加法滿(mǎn)足交換律杖小，而矩陣乘法是不滿(mǎn)足交換律的肆汹。參考坐標(biāo)系
在剛才提到的旋轉(zhuǎn)復(fù)合的過(guò)程中，參考系非常重要予权。通常來(lái)說(shuō)參考系可以分為兩種昂勉，一種是全局參考系E，可以視為靜止的扫腺。另外一種是局部參考系E’岗照，是固定在剛體上的一個(gè)參考系，會(huì)隨著剛體的運(yùn)動(dòng)相應(yīng)地參考系會(huì)進(jìn)行變化笆环。那么我們?cè)趯?shí)際運(yùn)用中的時(shí)候角度是相對(duì)哪一個(gè)參考系來(lái)進(jìn)行定義的顯得尤為重要攒至。
那么說(shuō)了這兩件事情后，一個(gè)歐拉角到底是怎么描述的呢躁劣？
首先迫吐，對(duì)于旋轉(zhuǎn)順序其實(shí)是并沒(méi)有約定俗成的規(guī)矩的。我們以X->Y->Z的順序?yàn)槔送Ｔ谶@個(gè)順序下志膀，歐拉角R（a,b,c）在全局與局部坐標(biāo)系下有這么兩種描述：
- R（a,b,c）在全局坐標(biāo)系下描述熙宇，這里三個(gè)過(guò)程中的E都是相同的
在E下繞坐標(biāo)軸Z旋轉(zhuǎn)c，在E下繞坐標(biāo)軸Y旋轉(zhuǎn)b溉浙，在E下繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)a烫止。R（a,b,c）就是上述三個(gè)過(guò)程的合成 - R（a,b,c）在局部坐標(biāo)系下的描述，這里三個(gè)過(guò)程中的E都是不同的戳稽，因?yàn)樾D(zhuǎn)后剛體自身的坐標(biāo)系發(fā)生了變化
在初始的E’下繞坐標(biāo)軸X旋轉(zhuǎn)a馆蠕，在前一個(gè)過(guò)程中得到的新坐標(biāo)系E''中繞Y軸旋轉(zhuǎn)b，在前一個(gè)過(guò)程中得到的新坐標(biāo)系E'''中繞Z軸旋轉(zhuǎn)c广鳍。R（a,b,c）就是上述三個(gè)過(guò)程的合成荆几。
這兩種過(guò)程其實(shí)是等價(jià)的，現(xiàn)在我們來(lái)證明一下赊时，不妨設(shè)初始的時(shí)候兩個(gè)坐標(biāo)系E’和E重合吨铸。
- 前提
全局坐標(biāo)系下的三個(gè)過(guò)程代表的矩陣按順序設(shè)為Rz, Ry, Rx。那么R(a,b,c)代表的過(guò)程=RzRyRx祖秒。
局部坐標(biāo)系下的三個(gè)過(guò)程代表的矩陣按順序設(shè)為Qx, Qy, Qz诞吱。那么R(a,b,c)代表的過(guò)程=QxQyQz。
如果我們需要證明兩種描述等價(jià)竭缝，我們只要證明RzRyRx=QxQyQz房维。 - 過(guò)程
- step1 可知Qx=Rx，因?yàn)榫植棵枋龅牡谝徊街蠩'和E是一樣的抬纸，“在E’下繞坐標(biāo)軸X旋轉(zhuǎn)a”也就是“在E下繞坐標(biāo)軸X旋轉(zhuǎn)a”
- step2 可知Qy=Qx-1RyQx咙俩，“在坐標(biāo)系E''中繞Y軸旋轉(zhuǎn)b”相當(dāng)于這么幾個(gè)過(guò)程的疊加“把坐標(biāo)系E''的描述變成坐標(biāo)系E'(也就是E)的描述->在E下繞Y軸旋轉(zhuǎn)b->把坐標(biāo)系E變成坐標(biāo)系E''”，對(duì)應(yīng)的就是Qx-1RyQx-1湿故，這樣子轉(zhuǎn)化的目的是為了得到Qy與Ry的關(guān)系阿趁。
- step3 同理可知Qz = (QxQy)-1Rz(QxQy)
- step4 就有了QxQyQz=RxQx-1RyQx(QxQy)-1Rz(QxQy)
利用Rx=Qx,Ry=QxQyQx-1,Rz=(QxQy)Qz(QxQy)-1反復(fù)替換帶進(jìn)去，消掉以后就變成了QxQyQz=RzRyRx證明完畢
所以坛猪，說(shuō)到這里脖阵，歐拉角的描述應(yīng)該是清晰了：歐拉角應(yīng)該定義旋轉(zhuǎn)順序，有全局/局部?jī)煞N描述方式墅茉。
