線性代數(shù)第一章行列式

本章主要介紹n階行列式的定義、性質(zhì)及其計(jì)算方法。此外還要介紹用n階行列式求解n元線性方程組的克拉默（Cramer）法則确买。

$1.二階與三階行列式

一搏存、二元線性方程組與二階行列式

用消元法解二元線性方程組：

為消去未知數(shù)x2,以及a22與a12分別乘上列兩方程的兩端呻拌，然后兩個(gè)方程相減葱轩，得：

類(lèi)似地，消去x1藐握，得：

當(dāng)a11a22-a12a21不等于0時(shí)靴拱，求得方程組（1）的解為：

（2）式中的分子、分母都是四個(gè)數(shù)分兩對(duì)相乘再相減而得猾普。其中分母a11a22-a12a21是由方程組（1）的四個(gè)系數(shù)確定的袜炕，把這四個(gè)數(shù)按它們?cè)诜匠探M（1）中的位置，排成二行二列（橫排稱(chēng)行初家、豎排稱(chēng)列）的數(shù)表：

表達(dá)式a11a12-a12a21稱(chēng)為數(shù)表（3）所確定的二階行列式偎窘，并記作：

數(shù)aij(i=1,2;j=1,2)稱(chēng)為行列式（4）的元素或元。元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i稱(chēng)為行標(biāo)溜在，表明該元素位于第i行陌知，第二個(gè)下標(biāo)j稱(chēng)為列標(biāo)，表明該元素位于第j列掖肋。位于第i行第j列的元素稱(chēng)為行列式（4）的（i,j）元仆葡。
上述二階行列式的定義，可用對(duì)角線法則來(lái)記憶志笼。如下圖：

把a(bǔ)11到a22的實(shí)聯(lián)線稱(chēng)為主對(duì)角線沿盅，a12到a21的虛聯(lián)線稱(chēng)為副對(duì)角線，于是二階行列式便是主對(duì)角線上的兩元素之積減去副對(duì)角線上兩元素之積所得的差纫溃。
利用二階行列式的概念腰涧，（2）式中x1,x2的分子也可以寫(xiě)成二階行列式，即：

若記：

那么（2）式可寫(xiě)成

注意這里的分母D是由方程組（1）的系數(shù)所確定的二階行列式（稱(chēng)系數(shù)行列式）皇耗，x1的分子D1是常數(shù)項(xiàng)b1南窗，b2替換D中x1的系數(shù)a11，a21所得的二階行列式郎楼，x2的分子D2是用常數(shù)項(xiàng)b1，b2替換D中x2的系數(shù)a12窒悔，a22所得的二階行列式呜袁。

例1

求解二元線性方程組

解：

因此：

二、三階行列式

定義

設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表：

記：

（6）式稱(chēng)為數(shù)表（5）所確定的三階行列式简珠。
上述定義表明三階行列式含6項(xiàng)阶界，每項(xiàng)均為不同行不同列的三個(gè)元素的乘積再冠以正負(fù)號(hào)虹钮，其規(guī)律遵循下圖所示的對(duì)角線法則：圖中有三條實(shí)線看做是平行于主對(duì)角線的聯(lián)線，三條虛線看做是平行于副對(duì)角線的聯(lián)線膘融，實(shí)線上三元素的乘積冠正號(hào)芙粱，虛線上三元素的乘積冠負(fù)號(hào)。

例2

計(jì)算三階行列式：

解：

按對(duì)角線法則氧映，有

例3

求解方程：

解

方程左端的三階行列式

由.
對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式春畔，為研究四階及更高階行列式，下面先介紹有關(guān)全排列的知識(shí)岛都，然后引出n階行列式的概念律姨。

$2.全排列及其逆序數(shù)

先看一個(gè)例子
引例用1,2,3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)臼疫？
解：
這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于說(shuō)择份，把三個(gè)數(shù)字分別放在百位、十位與個(gè)位上烫堤，有幾種不同的放法荣赶？
顯然，百位上可以從1,2,3三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)鸽斟，所有有3種放法拔创；十位上只能從剩下的兩個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，所以有2種放法湾盗；而個(gè)位上只能放最后剩下的一個(gè)數(shù)字伏蚊，所以只有一種放法。因此格粪，共有321=6種放法躏吊。
這6個(gè)不同的三位數(shù)是：
123，231,312,132,213,321
在數(shù)學(xué)中帐萎，把考察的對(duì)象比伏，例如上例中的數(shù)字1,2,3叫做元素。上述問(wèn)題就是：
把3個(gè)不同的元素排成一列疆导，共有幾種不同的排法赁项？
對(duì)于n個(gè)不同的元素，也可以提出類(lèi)似的問(wèn)題：把n個(gè)不同的元素排成一列澈段，共有幾種不同的排法悠菜？
把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列（也簡(jiǎn)稱(chēng)排列）
n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)败富，通常用 $P_n$ 表示悔醋。由引例的結(jié)果可知 $P_3=3*2*1=6$
為了得出計(jì)算 $P_n$ 的公式，可以仿照引例進(jìn)行討論：
從n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上兽叮，有n種取法芬骄；
又從剩下的n-1個(gè)元素中任取一個(gè)放在第二個(gè)位置上猾愿，有n-1種取法；
這樣繼續(xù)下去账阻，直到最后只剩下一個(gè)元素放在第n個(gè)位置上蒂秘，只有1種取法。于是：

對(duì)于n個(gè)不同的元素淘太，先規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如n個(gè)不同的自然數(shù)姻僧，可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序），于是在這n個(gè)元素的任一排列中琴儿，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)段化，就說(shuō)有1個(gè)逆序。一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)造成。

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列显熏，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。

下面來(lái)討論計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法：
不失一般性晒屎，不妨設(shè)n個(gè)元素為1至n這n個(gè)自然數(shù)喘蟆，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，設(shè)

為這n個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列鼓鲁，考慮元素蕴轨，如果比大的且排在前面的元素有個(gè)，就說(shuō)這個(gè)元素的逆序數(shù)是骇吭。全體元素的逆序數(shù)之總和：

即是這個(gè)排列的逆序數(shù)橙弱。

例4

求排列32514的逆序數(shù)

解：

在排列32514中：
3排在首位，逆序數(shù)為0燥狰；
2的前面比2大的數(shù)有一個(gè)（3）棘脐，故逆序數(shù)為1；
5是最大數(shù)龙致，逆序數(shù)為0蛀缝；
1的前面比1大的數(shù)有三個(gè)（3、2目代、5）屈梁，故逆序數(shù)為3；
4的前面比4大的數(shù)有一個(gè)（5）榛了，故逆序數(shù)為1在讶，于是這個(gè)排列的逆序數(shù)為

$3. n階行列式的定義

為了給出n階行列式的定義，先來(lái)研究三階行列式的結(jié)構(gòu)霜大，三階行列式定義為：

容易看出：
一真朗、（6）式右邊的每一項(xiàng)都恰是三個(gè)元素的乘積，這三個(gè)元素位于不同的行僧诚、不同的列遮婶。因此，（6）式右端的任一項(xiàng)除正負(fù)號(hào)可以寫(xiě)成湖笨。這里的第一個(gè)下標(biāo)（行標(biāo)）排成標(biāo)準(zhǔn)次序123旗扑，而第二個(gè)下標(biāo)（列標(biāo)）排成p1p2p3，它是1,2,3三個(gè)數(shù)的某個(gè)排列慈省，這樣的排列共有6種臀防，對(duì)應(yīng)（6）式右端共含6項(xiàng)。
二边败、各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列標(biāo)的排列對(duì)照：
帶正號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列是123,231,312袱衷；
帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列標(biāo)排列是132,213,321。
經(jīng)計(jì)算可知前三個(gè)排列都是偶排列笑窜，而后三個(gè)排列都是奇排列致燥。因此各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為，其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù)排截。
總之嫌蚤，三階行列式可以寫(xiě)成

其中t為排列p1，p2断傲，p3的逆序數(shù)脱吱，表示對(duì)1,2,3三個(gè)數(shù)的的所有排列p1p2p3取和。
因此认罩，可以把行列式推廣到一般情形箱蝠。

定義

設(shè)有 $n^2$ 個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表：

作出表中位于不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積垦垂，并冠以符號(hào)宦搬，得到形如

$(-1)^ta_{1p_1} a_{2p_2}a_{3p_3}$ (7)

的項(xiàng)，其中p1p2...pn為自然數(shù)1,2乔外，床三。。杨幼。n的一個(gè)排列撇簿，t為這個(gè)排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n!個(gè)差购，因?yàn)樾稳纾?）式的項(xiàng)共有n四瘫！項(xiàng)。所有這n!項(xiàng)的代數(shù)和：

稱(chēng)為n階行列式欲逃，記作

簡(jiǎn)記作 $det(a_{ij})$ 找蜜，其中為行列式D的（i，j）元稳析。
按此定義的二階洗做、三階行列式弓叛，與$1式中用對(duì)角線法則定義的二階、三階行列式诚纸，顯然是一致的撰筷。當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式|a|=a畦徘，注意不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆毕籽。

例5

證明n階行列式

其中未寫(xiě)出的元素都是0.

證

第一式左端稱(chēng)為對(duì)角行列式，其結(jié)果是顯然的井辆，下面只證第二式关筒。
在第二式左端中， $\lambda_i$ 為行列式的(i,n-i+1)元杯缺，故記 $\lambda_i=a_i,n-i+1,$ 則依行列式定義

其中t為排列n(n-1)...2 1的逆序數(shù)蒸播，故
。證畢
主對(duì)角線以下（上）的元素都為0的行列式叫做上（下）三角形行列式夺谁，它的值與對(duì)角行列式一樣廉赔。

例6

證明下三角行列式

證

在所有排列p1p2...pn中，能滿(mǎn)足上述關(guān)系的排列只有一個(gè)自然排列12...n,所以D中可能不為0的項(xiàng)只有一項(xiàng)
此項(xiàng)的符號(hào)

$D=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

$4.對(duì)換

為了研究n階行列式的性質(zhì)匾鸥，先來(lái)討論對(duì)換以及它與排列的奇偶性的關(guān)系蜡塌。
在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)勿负，其余的元素不動(dòng)馏艾，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換奴愉，叫做相鄰對(duì)換琅摩。

定理1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性锭硼。

證先證相鄰對(duì)換的情形房资。
$設(shè)排列為a_1...a_labb_1...b_m,對(duì)換a與b，變?yōu)閍_1...a_lbab_1...b_m.顯然檀头，$
$a_1...a_l;b_1...b_m這些元素的逆序數(shù)經(jīng)過(guò)對(duì)換并不改變轰异，而a，b兩元素的逆序數(shù)改變?yōu)椋寒?dāng)a<b時(shí)暑始，$
$經(jīng)對(duì)換后a的逆序數(shù)增加1而b的逆序數(shù)不變搭独；當(dāng)a>b時(shí)，經(jīng)對(duì)換后a的逆序數(shù)不變而b的逆序數(shù)減少為1.$
$所以排列a_1...a_labb_1...b_m與a_1...a_lbab_1...b_m的奇偶性不同廊镜。$
再證一般對(duì)換的情形牙肝。
$設(shè)排列為a_1...a_lab_1...b_mbc_1...c_n,把它作為m次相鄰對(duì)換，變成a_1...a_labb_1...b_mc_1...c_n，$
$再作m+1次相鄰對(duì)換配椭，變成a_1...a_lbb_1...b_mac_1...c_n,總之虫溜，經(jīng)2m+1次相鄰對(duì)換，$
$排列a_1...a_lab_1...b_mbc_1...c_n變成排列a_1...a_lbb_1...b_mac_1...c_n颂郎，所以這兩個(gè)排列的奇偶性相反吼渡。$

推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)乓序。

證由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列（逆序數(shù)為0）坎背，因此知推論成立替劈。
利用定理1，下面來(lái)討論行列式定義的另一種表示法：
對(duì)于行列式的任一項(xiàng)

其中

這時(shí)得滤，這一項(xiàng)的值不變陨献，而行標(biāo)與列標(biāo)排列同時(shí)作了一次相應(yīng)的對(duì)換。設(shè)新的行標(biāo)排列1...i...j...n的逆序數(shù)為r懂更，則r為奇數(shù)眨业；設(shè)新的列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t1，則

于是

這就表明沮协，對(duì)換乘積中兩個(gè)元素的次序龄捡，從而行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時(shí)作了相應(yīng)的對(duì)換，則行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和并不改變奇偶性慷暂。經(jīng)一次對(duì)換是如此聘殖，經(jīng)很多詞對(duì)換當(dāng)然還是如此。于是行瑞，經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換奸腺。使：
列標(biāo)排列(逆序數(shù)為t)變?yōu)樽匀慌帕校嫘驍?shù)為0）拣帽；
行標(biāo)排列則相應(yīng)的從自然排列變成為某個(gè)新的排列靶剑，設(shè)此新排列為其逆序數(shù)為s雀费，則有

又胳挎，若
由此可得

定理2 n階行列式也可定義為

$D=\sum(-1)^ta_p$

其中t為行標(biāo)排列的逆序數(shù)魄鸦。

證行列式定義有

記

$由上面討論得知：對(duì)于D中任一項(xiàng)(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n},總有且僅有D1中的某一項(xiàng)$
$(-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn}與之對(duì)應(yīng)并相等睛藻；反之蓄诽，對(duì)于D1中的任一項(xiàng)(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn},$
$也總有且僅有D中的某一項(xiàng)(-1)^ta_{1q_1}a_{2q_2}...a_{nq_n}與之對(duì)應(yīng)并相等际乘，$
于是D與D1中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等副砍，從而D=D1

$5.行列式的性質(zhì)

記

行列式稱(chēng)為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式

性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等

證 $記 D=det(a_{ij})的轉(zhuǎn)置行列式$

即

而由定理2衔肢，有

證畢

由此性質(zhì)可知，行列式中的行與列具有同等的地位豁翎，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的隊(duì)列也同樣成立角骤，反之亦然。

性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)邦尊。

證設(shè)行列式

是由行列式

其中1...i...j...n為自然排列背桐，t為排列p1...pi...pj...pn的逆序數(shù)。設(shè)排列p1...pj...pi...pu的逆序數(shù)為t1,則故

以ri表示行列式的第i行蝉揍，以ci表示第i列链峭。交換i,j兩行記作ri<-->rj，交換i,j兩列記作ci<-->cj又沾。

推論如果行列式有兩行（列）完全相同弊仪，則此行列式等于零。

證把這兩行交換杖刷，有D=-D,故D=0.

性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k励饵，等于用數(shù)k乘此行列式。

第i行（或列）乘以k滑燃，記作rik(或cik)役听。

推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。

第i行（或列）提出公因子k表窘，記作ri/k(或ci/k).

性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例典予，則此行列式等于零。

性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和乐严，例如第i列的元素都是兩數(shù)之和：

則D等于下列兩個(gè)行列式之和：

性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去瘤袖，行列式不變。

例如以數(shù)k乘第j列加到第i列上（記作ci+kcj）,有

（以數(shù)k乘第j行加到第i行上麦备，記作ri+krj）
以上諸性質(zhì)請(qǐng)讀者證明之
上述性質(zhì)5表明：當(dāng)某一行（或列）的元素為兩數(shù)之和時(shí)孽椰，行列式關(guān)于該行（或列）可分解為兩個(gè)行列式。若n階行列式每個(gè)元素都表示成兩數(shù)之和凛篙，則它可分解成個(gè)行列式黍匾。例如二階行列式

性質(zhì)2,3,6介紹了行列式關(guān)于行和關(guān)于列的三種運(yùn)算，即
利用這些運(yùn)算可簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算呛梆，特別是利用運(yùn)算可以把行列式中許多元素化為0.計(jì)算行列式常用的一種方法就是利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式锐涯，從而算得行列式的值，請(qǐng)看下例：

上面解法中填物，先用了運(yùn)算從而利用運(yùn)算寫(xiě)在一起纹腌，這是兩次運(yùn)算，并把第一次運(yùn)算結(jié)果的書(shū)寫(xiě)省略了滞磺。

例8

計(jì)算

解
這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各列4個(gè)數(shù)之和都是6升薯。把第2,3,4行同時(shí)加到第1行，提出公因子6击困，然后各行減去第一行：

上述諸例中都用到把幾個(gè)運(yùn)算寫(xiě)在一起的省略寫(xiě)法涎劈，這里要注意各個(gè)運(yùn)算的次序一般不能顛倒广凸，這是由于后一次運(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算結(jié)果上的緣故。例如：

可見(jiàn)兩次運(yùn)算當(dāng)次序不同時(shí)所得結(jié)果不同谅海，忽視后一次運(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算的結(jié)果上侥袜，就會(huì)出錯(cuò)，例如：

這樣的運(yùn)算是錯(cuò)誤的徒河，出錯(cuò)的原因在于第二次運(yùn)算找錯(cuò)了對(duì)象系馆。
此外還要注意運(yùn)算(這里不能套用加法的交換律)
上述諸例都是利用運(yùn)算把行列式化作上三角形行列式，用歸納法不難證明（這里不證）任何n階行列式總能利用運(yùn)算化為上三角行列式顽照，或化為下三角行列式（這時(shí)要先把）。類(lèi)似地闽寡，利用列運(yùn)算,也可把行列式化為上三角形行列式或下三角形行列式代兵。

例10

設(shè)

證明
證對(duì)D1作運(yùn)算

對(duì)D2作運(yùn)算把D2化為下三角行列式，設(shè)為

于是爷狈，對(duì)D的前k行作運(yùn)算再對(duì)后n列作運(yùn)算把D化為下三角形行列式

例11

計(jì)算2n階行列式

$ 6.行列式按行（列）展開(kāi)

一般來(lái)說(shuō)植影，低階行列式的計(jì)算比高階行列式的計(jì)算要簡(jiǎn)便，于是涎永，我們自然地考慮用低階行列式來(lái)表示高階行列式的問(wèn)題思币。為此，先引進(jìn)余子式和代數(shù)余子式的概念羡微。
在n階行列式中谷饿，把（i,j）元aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n-1階行列式叫做（i妈倔，j）元aij的余子式博投，記作Mij;記：

Aij叫做（i,j）元aij的代數(shù)余子式。
例如四階行列式

中（3,2）元a32的余子式和代數(shù)余子式分別為

引理一個(gè)n階行列式盯蝴，如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都為零毅哗，那么這行列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，即

證先證（i,j）=（1,1）的情形捧挺，此時(shí)

這是例10中當(dāng)k=1時(shí)的特殊情形虑绵，按例10的結(jié)論，即有

.
再證一般情形闽烙，此時(shí)

為了利用前面的結(jié)果翅睛，把D的行列作如下調(diào)換：把D的第i行依次與第i-1行、第i-2
行、宏所。酥艳。。爬骤、第1行對(duì)調(diào)充石，這樣數(shù)aij就調(diào)成（1，j）元霞玄，調(diào)換的次數(shù)為i-1.再把第
j列依次與第j-1列骤铃、第j-2列。坷剧。惰爬。、第1列對(duì)調(diào)惫企，這樣數(shù)aij就調(diào)成（1,1）元撕瞧，掉
換的次數(shù)為j-1∧總之丛版，經(jīng)i+j-2次調(diào)換，把數(shù)aij調(diào)成（1,1）元偏序，所得的行列式D1=
從而D1中（1,1）元的余子式就是D中(i,j)元的余子式Mij.
由于D1的（1,1）元為aij页畦，第1行其余元素都為0，利用前面的結(jié)果研儒，有

于是

定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和豫缨，即

$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} (i=1,2,...,n),$
或 $D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} (j=1,2...,n).$

證

根據(jù)引理，即得
.
類(lèi)似地端朵，若按列證明好芭，可得
.
這個(gè)定理叫做行列式按行（列）展開(kāi)法則。利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)逸月，可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算栓撞。
下面用此法則來(lái)計(jì)算例7的

例12

證明范德蒙德（Vandermonde）行列式

其中記號(hào)“”表示全體同類(lèi)因子的乘積。

證用數(shù)學(xué)歸納法碗硬。因?yàn)?/h6>

所以當(dāng)n=2時(shí)（8）式成立∪肯妫現(xiàn)在假設(shè)（8）式對(duì)于n-1階范德蒙行列式成立，要證（8）式對(duì)n階范德蒙行列式也成立恩尾。
為此弛说，設(shè)法把Dn降階：從第n行開(kāi)始，后行減去前行的倍翰意，有

按第1列展開(kāi)木人，并把每列的公因子（x2-x1）提出信柿，就有

上式右端的行列式是n-1階范德蒙德行列式，按歸納法假設(shè)醒第，它等于所有（xi-xj）因子的乘積渔嚷，其中故

例11和例12都是計(jì)算n階行列式。計(jì)算n階行列式稠曼，常要使用數(shù)學(xué)歸納法形病，不過(guò)在比較簡(jiǎn)單的情形（如例11），可省略歸納法的敘述格式霞幅，但歸納法的主要步驟是不可能省略的漠吻。這主要步驟是：導(dǎo)出遞推公式（例11中導(dǎo)出）及檢驗(yàn)n=1時(shí)結(jié)論成立（例11中最后用到）.
由定理3，還可得下述重要推論司恳。

推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零途乃，即

證把行列式按第j行展開(kāi)，有

在上式中把

當(dāng)?shù)扔诹闳痈担吹茫?br>

上述證法如按列進(jìn)行耍共，即可得

綜合定理3及其推論，有關(guān)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：

仿照上述推論證明中所用的方法猎塞，在行列式det(aij)按第i行展開(kāi)的展開(kāi)式

中划提，用b1,b2,...,bn依次代替ai1,ai2,...ain,可得：

其實(shí)，把（9）式左端行列式按第i行展開(kāi)邢享，注意到它的（i,j）元的代數(shù)余子式
類(lèi)似地，用

例 13

設(shè)

解
按（9）式可知

按（10）式可知

$7.克拉默法則

含有n個(gè)未知數(shù)x1,x2,...,xn的n個(gè)線性方程的方程組

與二淡诗、三元線性方程組相類(lèi)似骇塘，它的解可以用n階行列式表示，即有

克拉默法則如果線性方程組（11）的系數(shù)行列式不等于零韩容，即

那么款违，方程組（11）有唯一解

其中Dj(j=1,2,...,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的的n階行列式，即

這個(gè)法則的正面在下一章給出群凶，注意這里的Dj有展開(kāi)式（10）

例14

解線性方程組

例15

$設(shè)曲線y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3插爹，通過(guò)四點(diǎn)（1,3），（2,4）请梢，（3赠尾，3）$
$，（4毅弧，-3）气嫁，求系數(shù)a_0,a_1,a_2,a_3.$
解把四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，得到線性方程組

其系數(shù)行列式

是一個(gè)范德蒙德行列式够坐，按例12的結(jié)果（例12中范德蒙德行列式取的形式）寸宵，可得
D=12312*1=12,

撇開(kāi)求解公式（12）崖面，克拉默法則可敘述為下面的定理：

定理4 如果線性方程組（11）的系數(shù)行列式D $\not=0$ ,則（11）一定有解，且解是惟一的梯影。

定理4的逆否定理為：

定理4' 如果線性方程組（11）無(wú)解或有兩個(gè)不同的解巫员，則它的系數(shù)行列式必為零。

線性方程組（11）右端的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,...,bn不全為零時(shí)甲棍，線性方程組（11）叫做非齊次線性方程組简识，當(dāng)b1,b2,...,bn全為零時(shí)，線性方程組（11）叫做齊次線性方程組救军。
對(duì)于齊次線性方程組

x1=x2=...=xn=0一定是它的解财异，這個(gè)解叫做齊次線性方程組（13）的零解。
如果一組不全為零的數(shù)是（13）的解唱遭，則它叫做齊次線性方程組（13）的非零解戳寸。齊次線性方程組（13）一定有零解，但不一定有非零解拷泽。
把定理4應(yīng)用于齊次線性方程組（13）疫鹊，可得

定理5 如果齊次線性方程組（13）的系數(shù)行列式 $D\not= 0$ ,則齊次線性方程組（13）沒(méi)有非零解。

定理5’ 如果齊次線性方程組（13）有非零解司致，則它的系數(shù)行列式必為零拆吆。

定理5（或定理5‘）說(shuō)明系數(shù)行列式D=0是齊次線性方程組有非零解的必要條件。在第三章中還將證明這個(gè)條件也是充分的脂矫。

例16

問(wèn) $\lambda$ 取何值時(shí)枣耀，齊次線性方程組

有非零解？
解
由定理5'可知庭再，若所給齊次線性方程組有非零解捞奕，則其系數(shù)行列式D=0.而

由D=0，得拄轻。
不難驗(yàn)證颅围，當(dāng)

最后編輯于：2019.11.25 20:38:04

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