開始進入這學(xué)期討論班的主要內(nèi)容：Thermodynamic Bethe Ansatz (TBA)萧芙。
為了更好地理解這個方法段化，還是找了一個不在AdS/CFT背景下解釋TBA的講義炮沐。

之前講到Bethe equation一般是對于finite degree of freedom N或者finite size L的體系討論的氨菇，一個主要的結(jié)果就是可以把觀測量比如動量嘱能，能量等表示成bethe root的函數(shù)滥朱。
TBA就是考慮當(dāng)N或者L趨于無窮的時候系統(tǒng)的性質(zhì)。從TBA我們主要可以得到兩個結(jié)果：1是我們可以得到系統(tǒng)的熱力學(xué)信息, 也就是利用統(tǒng)計學(xué)的知識加上系統(tǒng)量子態(tài)的信息得到系統(tǒng)的熱力學(xué)量比如自由能毒涧。2是利用寫解析的性質(zhì)可以得到在有限體積下系統(tǒng)的精確的基態(tài)還有一些激發(fā)態(tài)贮预。這次是用4個例子來說明熟悉第一點。

1 free fermi gas
對于自由的理論，S-matrix是trivial的仿吞，所以Bethe equation就是動量的quantization condition滑频。
從這個quantization condition出發(fā)，我們得到系統(tǒng)的態(tài)密度茫藏，對于自由理論误趴，這個態(tài)密度是個常數(shù)，在ground state的時候务傲，所以fermions填滿Dirac sea。溫度升高的時候枣申，會有fermion跳到更高的能量態(tài)售葡，從而在Dirac sea里面留下hole，所以系統(tǒng)的態(tài)密度就等于fermion的密度加上hole的密度忠藤。態(tài)密度已經(jīng)由quantization condition取連續(xù)化得到挟伙，我們的目的就是求在熱平衡下fermion的密度分布，熱平衡的條件就是自由能相對于fermion的密度分布取極值模孩。根據(jù)這個條件我們就會發(fā)現(xiàn)尖阔，得到的分布正好是fermi-dirac 分布。要用到這個條件榨咐，我們先要把自由能表示成密度分布的函數(shù)介却，這就需要教科書上標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計知識。
2 The Lieb-Liniger model （Bose gas with delta-function interaction）
還是從Bethe equation 出發(fā)块茁，這個equation還是可以看成是 動量的 quantization condition齿坷，只不過多了散射的貢獻。對于這個簡單的model数焊，bethe root就是動量本身永淌！因為有了散射的貢獻，態(tài)密度不再是常數(shù)了佩耳，但是我們還是引入hole的概念遂蛀。從而重復(fù)之前的，利用統(tǒng)計學(xué)的知識得到自由能干厚，對粒子密度分布求變分得到熱平衡條件從而求解粒子密度分布李滴。所以最后我們需要真正算的東西就是解熱平衡條件得到的方程，因為我們輸入的是Bethe equation萍诱，里面涉及了一個態(tài)和所有其他態(tài)的散射悬嗓，這就到導(dǎo)致了一個積分形式的貢獻，從而熱平衡條件給出的方程是一個積分方程裕坊，可以稱為TBA equation包竹。

從這兩個簡單的例子發(fā)現(xiàn)，在得到態(tài)密度的表達式后接下來的流程都是標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計力學(xué)的流程。這不禁要問周瞎，可積性起到了什么作用苗缩？可積性是給出了態(tài)密度，或者說動量的量子化條件声诸，也就是動量相對于量子數(shù)的譜酱讶。

3 Heisenberg spin chain XXX
這是我們反復(fù)遇到的例子了，按照套路還是直接寫下Bethe equation彼乌。根據(jù)之前的思想泻肯，我們應(yīng)該把它看成 quantization condition。但問題是 quantization condition for what particle慰照？ 肯定不是組成spin chain 的spin灶挟，而是這個系統(tǒng)的激發(fā)。
我們考慮的是SU（2）XXX model毒租，可以想象稚铣，系統(tǒng)對應(yīng)的激發(fā)應(yīng)該對應(yīng)所有SU（2）群的不可約表示。這個怎么從Bethe equation 看出來呢墅垮？這時動量不再是bethe root 了惕医，而是bethe root的function，這是另外一個比之前的model復(fù)雜的點算色。
從上次S-matrix的理論學(xué)到的知識可以知道抬伺，這些激發(fā)對應(yīng)bound state，反應(yīng)在S-matrix的pole里剃允，要得到這些pole就要把bethe root合理的組合沛简，從而所有Bethe equations是互相自洽的。最后我們發(fā)現(xiàn)bethe root自動組成string斥废，在string里的bethe root都由同一個real number加上某一個pure imaginary的倍數(shù)構(gòu)成椒楣。和之前的例子差不多是自由的激發(fā)也可以看成長度為1的string∧等猓總結(jié)一下就是捧灰，XXXspin chain的激發(fā)是各種長度的string。這里有一個string hypothesis统锤，因為string是bound state毛俏，所以所有的熱力學(xué)性質(zhì)都是由他們來決定。
所以就要寫下對于所有string的Bethe equation饲窿，從而得到他們的quantization condition煌寇，然后再利用統(tǒng)計力學(xué)的知識得到其他熱力學(xué)量。因為這次我們不但要考慮同種string之間的散射逾雄，還有不同string 之間的散射阀溶，所以在TBA 方程里不但有積分還有一個無窮的求和腻脏。再次強調(diào)一下，對于每個string我們都有一個TBA equation银锻，所以TBA equation是積分方程并且一共有無窮多個永品，而且每一個里面都一個無窮的求和。
解這個方程看起來也是十分困難的击纬。但是好在我們有一個簡化的版本鼎姐，Y-system，是一個無窮多個functional equation更振，每個equation里面沒有無窮的求和炕桨。
能把無窮的求和消掉的原因是我們用到了之前在S-matrix里面bootstrap的一個思想：bound state都是有基本的激發(fā)構(gòu)成的，所以bound state之間有一些fusion rule殃饿。我們也可以從群論的角度來理解谋作。如果基本的激發(fā)代表基本表示，那么所有的string都是由基本表示復(fù)合出來的高價表示乎芳。不同的表示相乘的時候可以換成一些表示的求和也就是fusion rule。并且同樣的一種構(gòu)型可以由不同的fusion來得到帖池，所以這就提供了無窮多個等價關(guān)系奈惑。正好可以用來消除TBA里面的無窮求和。

4 Gross-Neveu model
這個和之前XXX理論基本相同睡汹，唯一不同的是肴甸，這里我們要使用nested Bethe equation，簡單來說就是quantization condition變得更加復(fù)雜一些囚巴，并且需要引入auxiliary excitation原在。但是處理方法和之前完全相同。