?前面我們提到兩大變（ “變分の美”和 “Legendre變變變”）屈留， 那么一直在變的話局冰，什么時(shí)候不再變呢？ ?這就是我們今天想概述的灌危。 所謂物極必反康二， 又所謂螺旋式上升， 再所謂三十年河?xùn)|乍狐，三十年河西赠摇。 一句話,變多了就想怎么不變固逗？或者說(shuō)變到不能再變浅蚪！ 把今天所描述的"不變"想的明白的是在“變分の美” 最后提到的哈密爾頓 Hamilton.

Hamilton 是何方神圣？

William Rowan Hamilton 是來(lái)自愛(ài)爾蘭（Ireland, Irish）的物理學(xué)家（1805年）烫罩，數(shù)學(xué)家惜傲。 老爹是個(gè)推銷(xiāo)員， 家住都柏林贝攒。 3歲那年盗誊，被狠心的老爹交由他叔叔代養(yǎng)， 他叔叔大學(xué)畢業(yè)隘弊， 算是個(gè)語(yǔ)言學(xué)家哈踱， 拼命的給他灌輸各種語(yǔ)言， 沒(méi)想到最后灌成了數(shù)學(xué)家梨熙。 但這個(gè)家伙的確是個(gè)神通开镣，5歲能讀拉丁文、希臘文和希伯來(lái)文咽扇，14歲竟然掌握了12種語(yǔ)言邪财。 還記得《紅與黑》里面的于連么？人家只會(huì)一點(diǎn)拉丁文就雞窩里面飛出金鳳凰了质欲。 哈密爾頓树埠，這還得了。但是在他9歲那年嘶伟， 他遇上了美國(guó)速算神童Zerah Colburn怎憋， 那時(shí)候美國(guó)還比較窮， 來(lái)愛(ài)爾蘭大都市賺錢(qián)九昧， 哈密爾頓和人家杠上了盛霎， 當(dāng)然是輸了， 人家煉過(guò)的耽装。 但是這一輸愤炸，激發(fā)了少年天才拼了命的學(xué)數(shù)學(xué)。猶如滔滔江水掉奄， 一發(fā)而不可收拾规个， 在他18歲那年凤薛，進(jìn)入了大學(xué)， 遇上了愛(ài)爾蘭天文學(xué)主席诞仓， John Brinkley博士缤苫， 他這么評(píng)價(jià)18歲的哈密爾：這個(gè)年輕人， 不要說(shuō)將來(lái)墅拭， 現(xiàn)在就是他這個(gè)年代NO.1的數(shù)學(xué)家（ 'This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age.'）活玲。 所以要學(xué)好數(shù)學(xué)， 兒童時(shí)期谍婉，不要學(xué)數(shù)學(xué)舒憾， 煉文學(xué)和記憶力吧。

你看穗熬， 年輕青青镀迂， 才華冠絕當(dāng)世， 卻一輩子過(guò)得很不順心唤蔗。 所謂成也蕭何探遵，敗也蕭何，就是這么說(shuō)的妓柜。 在他19歲那年（大一箱季？）， 他的叔叔領(lǐng)著他拜訪了他的一個(gè)朋友Disney棍掐。 年輕的Hamilton卻一見(jiàn)鐘情藏雏， 無(wú)可救藥的迷戀上了人家的女兒Catherine?Disney。他說(shuō)Catherine是他見(jiàn)過(guò)唯一在思想上讓他折服的女性（不知道第一見(jiàn)面塌衰，Catherine跟他談了什么高大上诉稍，讓Hamlitonadmired her mind）。 ?但是那時(shí)候Hamilton家境不好最疆， 沒(méi)辦法搞定婚禮杯巨， 3年后， 女方媽媽告訴Hamilton努酸， 女兒凱瑟琳嫁給了一位年長(zhǎng)15歲的牧師服爷，得到消息后的哈密爾頓極其痛苦， 可能自殺過(guò)获诈，成績(jī)也從“極優(yōu)” 滑落到了“優(yōu)”（無(wú)語(yǔ)了）仍源，從此哈密爾頓生活痛苦， 迷戀寫(xiě)詩(shī)發(fā)泄舔涎。 ?或許失戀觸發(fā)了哈密爾頓的無(wú)情奮斗笼踩， 他成果斐然， 在感情生活絕望了9年后亡嫌， 他找到了一個(gè)校長(zhǎng)的女兒Helen Maria Bayly結(jié)婚了嚎于。 海倫比哈密爾頓大一歲掘而， 但是一輩子并沒(méi)有博得哈密爾頓的欣賞，哈密爾頓評(píng)價(jià)說(shuō)“她可謂毫無(wú)智慧”于购。海倫身體不是很好袍睡， 但是兩人有二男一女。 凱瑟琳晚年也過(guò)得不是很幸福肋僧， 和牧師沒(méi)有太多共同語(yǔ)言斑胜， 晚年分居了， 在哈密爾頓的叔叔去世那年他們開(kāi)始了郵件來(lái)往嫌吠。 但是6年后止潘，凱瑟琳就去世了，哈密爾頓卻保持了繼續(xù)和凱瑟琳家族通信居兆，并且?guī)椭^(guò)凱瑟琳的兒子覆山。在凱瑟琳死前二周竹伸，哈密爾頓帶著自己的四元法講義“Lectures on Quaternions”去看了她泥栖。 或許跟女神匯報(bào)自己的最佳成果。在哈密爾頓死后（活了60歲）勋篓，海倫再活了4年吧享， 據(jù)說(shuō)哈密爾頓死后， 海倫第一次從他的朋友那里收到了無(wú)數(shù)的信件譬嚣。

哈密爾頓給女神凱瑟琳最后獻(xiàn)禮的四元數(shù)是什么钢颂？

四元數(shù)相當(dāng)于復(fù)數(shù)從2維空間擴(kuò)展到4維空間， 并且符號(hào)化的建立了空間旋轉(zhuǎn)的關(guān)系拜银。雖然目前高維空間投影和旋轉(zhuǎn)都可以基于矩陣進(jìn)行建模了殊鞭， 但是對(duì)于4維以?xún)?nèi)的空間， 四元數(shù)還是有著定制化的優(yōu)勢(shì)： 高效尼桶，直觀操灿， 容易理解。

另外泵督， 基于四元數(shù)對(duì)Cayley Graph克雷圖的理解趾盐， 在算法應(yīng)用上也有極大幫助。 例如如何非遞歸求解全排列小腊？ 其中一種方式就是利用Cayley 圖救鲤。

如何走近哈密爾頓？

哈密爾頓最斐然的成果是哈密爾頓系統(tǒng)的建立秩冈， 是自牛頓系統(tǒng)之后又一個(gè)偉大的突破本缠。 據(jù)說(shuō)， 你站在泰勒Taylor的肩膀上入问， 跨過(guò)拉格朗日Larange（參考“一步一步走向錐規(guī)劃 - QP”）丹锹，再攜手勒讓德Legendre（參考“Legendre變變變”）犹赖， 你就找到了哈密爾頓Hamilton。

突破變卷仑， 就是對(duì)愛(ài)的不變

哈密爾頓做到了峻村， 最早源于他對(duì)傅里葉分析（Fourier analysis）的喜愛(ài)。 我們知道還有一位大神锡凝， 最早學(xué)文學(xué)的（歷史系）粘昨， 然后上了一堂傅里葉變換的課程， 從而喜歡上了數(shù)學(xué)窜锯， 他就是Andrey Kolmogorov张肾。Fourier變換也是一種典型的從變中找不變的神器。

如何為任意函數(shù)建模锚扎？

我們知道吞瞪， 泰勒展開(kāi)提供了對(duì)任意連續(xù)光滑函數(shù)（smooth function）的多項(xiàng)式（polynomials?）疊加的擬合， 這種擬合可以到任意精度要求驾孔， 并且可以根據(jù)需求對(duì)余項(xiàng)（remainder）多種表達(dá)形式芍秆。

舉個(gè)指數(shù)函數(shù)的列子：

再舉一個(gè)三角函數(shù)（sine）的例子（sin（x））：

所以， 我們要表達(dá)一個(gè)任意函數(shù)翠勉， 我們只要提供各階導(dǎo)數(shù)妖啥， 然后我們就可以利用多項(xiàng)式進(jìn)行按精度要求的擬合。

那么根據(jù)泛函的思想对碌， 參考“變分の美”荆虱， 如果利用一階泰勒展開(kāi)， 要變換函數(shù)朽们， 只要變換x,f(x),f'(x)怀读， 就可以了。

如何引入泛函目標(biāo)表達(dá)式骑脱？

我們有了函數(shù)的任意表示磕仅， 那么把函數(shù)看成輸入?yún)?shù)尘奏，然后建立目標(biāo)公式藻丢， 我們就得到了拉格朗日量（Lagrangian）：

那么根據(jù)EL公式Euler-Larange Equation的思想胡岔， 參考“變分の美”， 可以得到向量化（vectorization）后的公式歹袁。

至此坷衍， 我們離哈密爾頓的不變就差不太遠(yuǎn)了。

哈密爾頓原理的引入

根據(jù)向量化的歐拉公式条舔， 可以引入哈密爾頓原理（Hamilton Principle）了枫耳。

就是積分系統(tǒng)的對(duì)于泛函的變換為零。

在這個(gè)推演過(guò)程中孟抗， 要用到一個(gè)變分法的基礎(chǔ)引理（fundamental lemma of caculus of variations）：

哈密爾頓原理帶來(lái)了什么變化迁杨？

這樣我們從牛頓系統(tǒng)钻心， 到了拉格朗日系統(tǒng)， 再到了哈密爾頓系統(tǒng)铅协， 那整個(gè)這個(gè)過(guò)程到底做了什么捷沸？

從牛頓系統(tǒng)到拉格朗日系統(tǒng)， 坐標(biāo)系更為通用狐史， 并且引入了泛函痒给。 而從拉格朗日系統(tǒng)到哈密爾頓系統(tǒng)， 引入了作用量 action integral骏全， 并且不再受到坐標(biāo)系的限制苍柏。

作用量積分是什么？

作用量積分（action integral）是對(duì)拉格朗日量（lagrangian）在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（stationary points）上的積分姜贡。 而哈密爾頓原理告訴我們试吁， 這樣的積分的變化為零， 也就是說(shuō)是個(gè)不動(dòng)的靜態(tài)的作用量（stationary action）楼咳。

作用量積分有什么用呢熄捍？

在把作用量（action）定義成積分的形式后， 很明顯爬橡，不同的路徑q(t)會(huì)帶來(lái)作用量的不一致治唤。正是作用量對(duì)積分路徑的依賴(lài)棒动， 使得哈密爾頓的方法變得有意義糙申。 ?為什么呢？哈密爾頓原理說(shuō)船惨， 存在一條路徑使得作用量是靜止stationary柜裸。 就是說(shuō)這條路徑發(fā)生一個(gè)極小的偏差， 在拉格朗日量一階導(dǎo)的情況下粱锐， ?帶來(lái)的作用量的變化可以忽略不計(jì)疙挺。 這又是什么含義呢？

在“變分の美”里面有最短的是直線的證明怜浅， 那么我們用這個(gè)例子铐然， 按哈密爾頓原理，直接進(jìn)行解釋恶座。哈密爾頓原理要求的那條路徑搀暑，發(fā)生一個(gè)極小的偏差， 但是帶來(lái)的作用量變化可以忽略不計(jì)跨琳。 因?yàn)樽饔昧渴菍?duì)拉格朗日量的積分自点， 如果拉格朗日量的三個(gè)參量（x, f(x),f'(x)）的變化都可以忽略不計(jì)， 那么可以是看成作用量變化可以忽略脉让。 ? 因?yàn)楸緛?lái)是很小的偏差桂敛， 那么f(x)的變化可以看成不變功炮。 但是f'(x)的變換是f''(x)。 因此我們看到哈密爾頓原理對(duì)路徑的要求术唬， 蘊(yùn)含著f''(x)為零薪伏。 在這種情況下很容易知道，兩點(diǎn)之間的直線路徑滿足這個(gè)要求粗仓。

什么是廣義的坐標(biāo)系（generalized coordinates）毅该？

首先我們知道坐標(biāo)系有直角正交坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系。 而廣義坐標(biāo)系就是進(jìn)一步放寬限制潦牛。 例如非歐幾何里面就在曲面上建坐標(biāo)系眶掌。

更直觀的， 如果固定對(duì)線的限制巴碗， 對(duì)角的描述就會(huì)很不一樣朴爬。

我們知道，牛頓系統(tǒng)定理的描述必須要求獨(dú)立正交的坐標(biāo)系橡淆。 但是在拉格朗日系統(tǒng)定理的描述召噩，就能擴(kuò)展到這些廣義的坐標(biāo)系。 ? 這樣有兩個(gè)好處：可以隨意的換適合對(duì)問(wèn)題描述的坐標(biāo)系逸爵【叩危可以解決一些受牛頓系統(tǒng)描述限制而無(wú)法解決的問(wèn)題。 ? 其實(shí)师倔， 這其中已經(jīng)蘊(yùn)含了對(duì)變化的系統(tǒng)去追求不變的道理的思想构韵。

不要坐標(biāo)系（nocoordinates）又指什么呢？

我們現(xiàn)在很清楚拉格朗日系統(tǒng)是如何突破了牛頓系統(tǒng)的趋艘， 那么哈密爾頓系統(tǒng)又是如何突破拉格朗日系統(tǒng)的呢疲恢？

因?yàn)楣軤栴D系統(tǒng)直接利用了導(dǎo)數(shù)和積分來(lái)對(duì)變化直接建模， 使得好多不需要坐標(biāo)系瓷胧， 但是又存在導(dǎo)數(shù)和積分的系統(tǒng)都可以使用哈密爾頓系統(tǒng)建模显拳， 譬如能量， 熵搓萧， 勢(shì)杂数，角動(dòng)量等等。 所以哈密爾頓力學(xué)Hamiltonian mechanics和哈密爾頓場(chǎng)論Hamiltonian field theory都有突破瘸洛。哈密爾頓場(chǎng)論除了廣義坐標(biāo)系揍移， 還對(duì)共軛動(dòng)量conjugate momenta, 和時(shí)間time都有擴(kuò)展。 而哈密爾頓力學(xué)主要突破就是對(duì)Symplectic manifold 辛流形（一個(gè)辛流形上的任何實(shí)值可微函數(shù)H可以用作一個(gè)能量函數(shù)或者叫哈密頓量货矮。和任何一個(gè)哈密頓量相關(guān)有一個(gè)哈密頓向量場(chǎng)羊精；該哈密頓向量場(chǎng)的積分曲線是哈密頓-雅可比方程的解。哈密頓向量場(chǎng)定義了辛流形上的一個(gè)流場(chǎng)，稱(chēng)為哈密頓流場(chǎng)或者叫辛同胚喧锦。）引入读规。

但是要注意，量子力學(xué)Quantum mechanics和量子場(chǎng)Quantum field theory的發(fā)展突破了經(jīng)典的哈密爾頓力學(xué)和哈密爾頓場(chǎng)論燃少， 最主要的是經(jīng)典的還是屬于確定性determinism的范疇束亏， 而量子理論基本是概率范疇 （著名的薛定諤貓）。 譬如阵具， 在最優(yōu)路徑上碍遍， 不是一條明確的路徑， 而是按概率的無(wú)數(shù)條路徑阳液。 ?一句話怕敬， 最大的差別是哈密爾頓主要還屬于經(jīng)典范疇。

哈密爾頓量的誕生帘皿？

到現(xiàn)在為止东跪， 還有兩個(gè)疑惑， 一個(gè)是搞了半天鹰溜，Legendre 勒讓德還沒(méi)有現(xiàn)身虽填。 另外一個(gè)是， 既然有拉格朗日量曹动， 為啥沒(méi)有描述哈密爾頓量呢斋日？

對(duì)的， 既然前面說(shuō)了墓陈，哈密爾頓拋棄了坐標(biāo)系恶守， 直接擁抱了偏導(dǎo)數(shù)和積分。 我們知道跛蛋，勒讓德變換也有異曲同工之妙（參考“Legendre變變變”）熬的。

勒讓德變換讓我們更為關(guān)注導(dǎo)數(shù)和截距， 這非常符合哈密爾頓的思想. 這樣利用Legendre變換赊级， 我們就可以改寫(xiě)作用量積分了。

基于哈密爾頓量來(lái)看哈密爾頓原理岔绸， 左邊圖的P向量就會(huì)對(duì)應(yīng)右邊曲面的脊理逊。

左邊的圖描述了如下表達(dá)式，右邊的圖是研究的對(duì)象L盒揉。

有了Legendre的出場(chǎng)晋被， 讓stationary action原理（哈密爾頓原理）看上去是不是很神奇？刚盈！

另外稍微要注意的是拉格朗日量的不唯一性：

小結(jié)羡洛， 本文通過(guò)介紹泰勒， 拉格朗日和勒讓德來(lái)介紹了哈密爾頓的思想藕漱。 偉大的哈密爾頓欲侮！

參考：

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hamilton.html

http://wikibin.org/articles/helen-maria-bayly.html

http://staff.www.ltu.se/~larserik/applmath/chap7en/part2.html

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/7010/CM_04_HamiltonsPrinciple.html

http://users.physics.harvard.edu/~morii/phys151/lectures/Lecture04.pdf

http://www.eng.buffalo.edu/~kofke/ce530/Lectures/Lecture11/sld012.htm