傅立葉變換

數(shù)字圖像處理的方法主要分成兩種：空域分析法和頻域分析法⊙蚀桑空域分析法就是對圖像矩陣進(jìn)行處理蚕苇；頻域分析法是通過圖像變換將圖像從空域變換到頻域松申，從另外一個角度來分析圖像的特征并進(jìn)行處理灿里。頻域分析法在圖像增強(qiáng)关炼、圖像復(fù)原程腹、圖像編碼壓縮及特征編碼壓縮方面有著廣泛應(yīng)用匣吊。

如果一個信號 f(t)
在 (?∞,+∞)

上滿足：

f(t)

在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件；
在一個函數(shù)周期內(nèi)，間斷點的數(shù)目是有限的色鸳，極大值和極小值的數(shù)目是有限的社痛，來保證最終條件：信號 f(t)
絕對可積
f(t)
在 (?∞,+∞) 上絕對可積即 ∫+∞?∞(|f(t)|)dt<∞

就可以通過傅里葉變換把時域信號 f(t)

轉(zhuǎn)化到頻域進(jìn)行處理，傅立葉變換函數(shù)如下：

F(ω)=∫+∞?∞f(t)e?jωtdt=F[f(t)]

然后再通過傅里葉反變換把頻域信號轉(zhuǎn)化到時域命雀，傅立葉逆變換：

f(t)=12π∫+∞?∞F(ω)ejωtdω=F?1[f(t)]

傅里葉變換是線性系統(tǒng)分析的有力工具蒜哀，提供了一種把時域信號轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行分析的途徑，時域和頻域之間是一對一的映射關(guān)系吏砂。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)撵儿，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域狐血，對應(yīng)的頻率值很低淀歇；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高匈织。
傅立葉變換的不足

經(jīng)典Fourier變換只能反映信號的整體特性（時域浪默，頻域）。對傅里葉譜中的某一頻率缀匕，無法知道這個頻率是在什么時候產(chǎn)生的纳决。從傅里葉變換的定義也可看出，傅里葉變換是信號在整個時域內(nèi)的積分乡小，因此反映的是信號頻率的統(tǒng)計特性阔加，沒有局部化分析信號的功能。另外满钟，要求信號滿足平穩(wěn)條件掸哑。傅里葉變換時域和頻域是完全分割開來的。

由 F(ω)=∫+∞?∞f(x)e?jωxdx

可知零远，要用Fourier變換研究時域信號頻譜特性苗分，必須要獲得時域中的全部信息，

信號在某時刻的一個小的鄰域內(nèi)發(fā)生變化牵辣，那么信號的整個頻譜都要受到影響摔癣，而頻譜的變化從根本上來說無法標(biāo)定發(fā)生變化的時間位置和發(fā)生變化的劇烈程度。也就是說纬向，F(xiàn)ourier變換對信號的齊性不敏感择浊。Fourier變換不能給出在各個局部時間范圍內(nèi)部頻譜上的譜信息描述。然而在實際應(yīng)用中齊性正是我們所關(guān)心的信號局部范圍內(nèi)的特性逾条。如琢岩，音樂，語言信號等师脂。即：局部化時間分析担孔，圖形邊緣檢測江锨，地震勘探反射波的位置等信息極重要。

因此糕篇，為了解決傅里葉變換的局限性啄育，產(chǎn)生了Gabor變換和小波變換。
Gabor變換

Gabor變換是D.Gabor 1946年提出的拌消，為了由信號的Fourier變換提取局部信息挑豌，引入了時間局部化的窗函數(shù)，得到了窗口Fourier變換墩崩。由于窗口Fourier變換只依賴于部分時間的信號氓英，所以，現(xiàn)在窗口Fourier變換又稱為短時Fourier變換鹦筹，這個變換又稱為Gabor變換债蓝。

Gabor變換相比于Fourier變換來說是積分時間上的改變，F(xiàn)ourier變換是基于整個時間域 (?∞,+∞)

上的積分盛龄，而Gabor變換是基于一個局部時間窗口上的積分饰迹。
Gabor的優(yōu)點

Gabor小波與人類視覺系統(tǒng)中簡單細(xì)胞的視覺刺激響應(yīng)非常相似。在提取目標(biāo)的局部空間和頻率域信息方面具有良好的特性余舶。Gabor小波對于圖像的邊緣敏感啊鸭，能夠提供良好的方向選擇和尺度選擇特性，而且對于光照變化不敏感匿值，能夠很好的適應(yīng)光照的變換赠制。上述特點使得Gabor小波被廣泛用于視覺信息理解和圖像處理領(lǐng)域。

傳統(tǒng)的傅立葉變換相比挟憔，Gabor小波變換具有良好的時頻局部化特性钟些。即非常容易地調(diào)整Gabor濾波器的方向、基頻帶寬及中心頻率從而能夠最好的兼顧信號在時空域和頻域中的分辨能力绊谭；Gabor小波變換具有多分辨率特性即變焦能力政恍。即采用多通道濾波技術(shù)，將一組具有不同時頻域特性的Gabor小波應(yīng)用于圖像變換达传，每個通道都能夠得到輸入圖像的某種局部特性篙耗，這樣可以根據(jù)需要在不同粗細(xì)粒度上分析圖像。此外宪赶，在特征提取方面宗弯，Gabor小波變換與其它方法相比：一方面其處理的數(shù)據(jù)量較少，能滿足系統(tǒng)的實時性要求搂妻；另一方面蒙保，小波變換對光照變化不敏感，且能容忍一定程度的圖像旋轉(zhuǎn)和變形欲主，當(dāng)采用基于歐氏距離進(jìn)行識別時邓厕，特征模式與待測特征不需要嚴(yán)格的對應(yīng)逝嚎，故能提高系統(tǒng)的，能滿足系統(tǒng)的實時性要求邑狸；另一方面，小波變換對光照變化不敏感涤妒，且能容忍一定程度的圖像旋轉(zhuǎn)和變形单雾，當(dāng)采用基于歐氏距離進(jìn)行識別時，特征模式與待測特征不需要嚴(yán)格的對應(yīng)她紫，故能提高系統(tǒng)的魯棒性

Gabor濾波器和脊椎動物視覺皮層感受野響應(yīng)的比較：第一行代表脊椎動物的視覺皮層感受野硅堆，第二行是Gabor濾波器，第三行是兩者的殘差贿讹〗ヌ樱可見兩者相差極小。Gabor濾波器的這一性質(zhì)民褂，使得其在視覺領(lǐng)域中經(jīng)常被用來作圖像的預(yù)處理茄菊。
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Gabor定義
1.具體窗函數(shù)：Gaussian的Gabor變換定義式

Gabor變換的基本思想是把信號劃分成很多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每個時間間隔赊堪，以便確定信號在該時間間隔存在的頻率面殖，其處理方法是對 f(t)

函數(shù)加一個滑動窗，在進(jìn)行傅立葉變換哭廉。

設(shè)函數(shù) f
為具體的函數(shù)脊僚，且 f∈L2(R)

，則Gabor變換定義為：

Gf(a,b,ω)=∫+∞?∞f(t)ga(t?b)e?iωtdt

其中遵绰，ga(t)=12πa√exp(?t24a)
是高斯函數(shù)辽幌，稱為窗函數(shù)，其中 a>0椿访，b>0乌企。ga(t?b) 是一個時間局部化的窗函數(shù)，其中參數(shù) b 用于平行移動窗口成玫，以便于覆蓋整個時域逛犹，對參數(shù) b 積分，則有 ∫+∞?∞Gf(a,b,ω)db=f^(ω) , ω∈R

信號的重構(gòu)表達(dá)式為：f(t)=12π∫+∞?∞∫+∞?∞Gf(a,b,ω)ga(t?b)eiωtdωdb

Gabor取 g(t)

函數(shù)為高斯函數(shù)有兩個原因：

一是高斯函數(shù)的Fourier變換仍為高斯函數(shù)梁剔，這使得Fourier逆變換也是用窗口函數(shù)局部化虽画，同時體現(xiàn)了頻域的局部化；

二是Gabor變換是最優(yōu)的窗口Fourier變換荣病，其意義在于Gabor變換出現(xiàn)之后码撰，采用真正意義上的時間 - 頻率分析或舞。

Gabor變換可以達(dá)到時頻局部化的目的：既能夠在整體上提供信號的全部信息瘩欺，又能提供在任意局部時間內(nèi)信號變換劇烈程度的信息假抄。簡言之近上，可以同時提供時域和頻域局部化的信息。
2.窗口的寬高關(guān)系

經(jīng)理論推導(dǎo)可以得出：高斯窗函數(shù)條件下的窗口寬度和高度柴梆，其積為一定值陨溅。

[b?a??√,b+a??√]×[ω?1aa√,ω+1aa√]=(2ΔGab,ω)(2ΔHab,ω)=(2Δga)(2Δg1/4a)=2

由此，可以看出 Gabor 變換的局限性：時間頻率的寬度對所有頻率是固定不變的绍在，實際要求是：窗口的大小應(yīng)隨頻率的變化而變化门扇，頻率高窗口應(yīng)越小，這才符合實際問題中的高頻信號的分辨率應(yīng)比低頻信號的分辨率要低偿渡。
Gabor的不足之處

Gabor變換在一定程度上解決了局部分析的問題臼寄，但對于突變信號和非平穩(wěn)信號仍難以得到滿意的結(jié)果，即Gabor變換仍存在著較嚴(yán)重的缺陷溜宽。
1）Gabor變換的時頻窗口大小吉拳、形狀不變，只有位置變化适揉，而實際應(yīng)用中常常希望時頻窗口的大小留攒、形狀要隨頻率的變化而變化，因為信號的頻率與周期成反比嫉嘀，對高頻部分希望能給出相對較窄的時間窗口稼跳，以提高分辨率，在低頻部分則希望能給出相對較寬的時間窗口吃沪，以保證信息的完整性汤善，總之是希望能給出能夠調(diào)節(jié)的時頻窗；
2）Gabor變換基函數(shù)不能成為正交系票彪，因此為了不丟失信息红淡，在信號分析或數(shù)值計算時必須采用非正交的冗余基，這就增加了不必要的計算量和存儲量降铸。Gabor變換的時間頻率窗如下所示：
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我們想要的時間-頻率窗是這樣的：
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小波（wavelet）變換

為了解決Gabor變換的局限性在旱，小波變換誕生了。
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數(shù)學(xué)上來說推掸，小波是函數(shù)空間 L2(R)
中滿足“容許性”條件的一個函數(shù)或信號 ψ(x)桶蝎。對于任意實數(shù)對 (a,b) ，其中參數(shù) a

必須為非零實數(shù)谅畅，稱如下形式的函數(shù)：

Ψa,b(x)=1|a|√ψ(x?ba)

為由小波母函數(shù) ψ(x)
生成的依賴于參數(shù) (a,b) 的連續(xù)小波函數(shù)登渣，簡稱小波。小波函數(shù)在原點附近才有明顯偏離水平軸的波動毡泻，在遠(yuǎn)離原點時函數(shù)值迅速衰減為零胜茧，所以對任意參數(shù) (a,b) ，小波函數(shù) ψa,b(x) 在 x=b 附近存在明顯的波動，遠(yuǎn)離 x=b

的地方迅速衰減到零呻顽。小波變換給出了一個可以調(diào)節(jié)的時頻窗口雹顺，窗口的寬度隨頻率變化，頻率增高時時間窗口的寬度自動變窄廊遍，以提高分辨率嬉愧，被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。

小波變換定義為： Wf(a,b)=1|a|√∫+∞?∞f(t)Ψ(t?ba)dt

信號 f(t)
的小波變換是一個二元函數(shù)喉前，參數(shù) b 表示分析的時間中心或時間點没酣，參數(shù) a 表示的是以t=b 為中心的波動范圍，所以參數(shù) a 一般稱為尺度參數(shù)（相當(dāng)于Gabor變換中的 ω ）被饿，可以改變頻譜結(jié)構(gòu)和窗口的形狀四康，而參數(shù) b 為時間中心參數(shù)（即Gabor變換中的 b

）搪搏，所以小波變換也是時頻分析函數(shù)狭握。

學(xué)習(xí)小波變換時會發(fā)現(xiàn)有許多種類的小波變換，這是因為小波變換與小波母函數(shù) ψ(x)
有關(guān)疯溺，不同的小波母函數(shù) ψ(x) 則對應(yīng)著不同種類的小波變換了论颅，比如Haar小波、Shannon小波囱嫩、墨西哥草帽狀小波等等恃疯。可以證明墨闲，ψa,b(x) 的時頻窗口面積與參數(shù) a 和 b 無關(guān)今妄，僅與 ψ(x) 的選取有關(guān)，所以不能通過選擇參數(shù) a 和 b 使時域和頻域窗口的半徑同時縮小鸳碧，時域和頻域上的分辨率相互牽制盾鳞，要想使兩者的分辨率同時提高，就必須選擇適當(dāng)?shù)男〔负瘮?shù) ψ(x)

瞻离，小波母函數(shù)趨向于零的速度是衡量小波母函數(shù)性質(zhì)好壞的一個重要標(biāo)志腾仅。
總結(jié)分析

傅立葉變換實現(xiàn)了時域到頻域的分離轉(zhuǎn)換，適用于確定性信號和平穩(wěn)信號套利，屬于全局分析推励，特別適合分析長時間內(nèi)較穩(wěn)定的信號；

Gabor變換（窗口傅立葉變換的一種肉迫，窗口函數(shù)為高斯窗時為Gabor變換）實現(xiàn)了時頻分析的局部化验辞，是一種具有單一分辨率（窗函數(shù)的大小、形狀不變）的時頻分析喊衫，特別對圖像邊緣敏感受神，對光照不敏感；

小波變換具有優(yōu)良的局部化視頻分析特性格侯，可以改變頻譜結(jié)構(gòu)和窗口形狀（窗口大小是不變的）鼻听，對分析突變信號和奇異信號非常有效财著；

作者：chenaiyanmie
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/chenaiyanmie/article/details/80246108
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