隱函數(shù)
如果方程f(x,y)=0能確定y是x的函數(shù)昆著，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)术陶。而函數(shù)就是指：在某一變化過程中凑懂，兩個(gè)變量x、y梧宫，對(duì)于某一范圍內(nèi)的x的每一個(gè)值接谨，y都有確定的值和它對(duì)應(yīng)杭攻，y就是x的函數(shù)。這種關(guān)系一般用y=f(x)即顯函數(shù)來表示疤坝。f(x,y)=0即隱函數(shù)是相對(duì)于顯函數(shù)來說的。
其實(shí)隱函數(shù)的知識(shí)并不難理解馆铁，我們以前學(xué)的因變量y在函數(shù)一邊的叫做顯函數(shù)跑揉；隱函數(shù)就是將y“隱藏”在一個(gè)式子里即和 自變量x在一邊的函數(shù)。它的難點(diǎn)在于如何利用隱函數(shù)求導(dǎo)历谍。接下來，我就和大家聊一聊隱函數(shù)的求導(dǎo)辣垒。
在做題的時(shí)候我們經(jīng)常會(huì)聽到“對(duì)x求導(dǎo)”的說法望侈，這個(gè)就是我們往往不好理解的地方，知道如何處理x卻不知道如何處理y勋桶，下面我就主要圍繞這個(gè)來展開脱衙。舉個(gè)例子：
這個(gè)式子你當(dāng)然可以將隱函數(shù)顯化得出結(jié)果-?但是這樣做題有些無法顯化的函數(shù)就沒法算了，所以我今天著重給大家講一下它的通用解法：首先第一個(gè)x的導(dǎo)數(shù)是2這個(gè)大家都知道例驹，可是y咱們也需要處理捐韩，怎么處理？無論函數(shù)是否可以顯化鹃锈，x是自變量y是因變量（y是關(guān)于x的函數(shù)）是一定的吧荤胁。之后呢？就是說在y這里對(duì)x求導(dǎo)就是對(duì)含有x的小函數(shù)求導(dǎo)（我這里說小函數(shù)是為了和原來的隱函數(shù)區(qū)分一下的）屎债，這回結(jié)果不就是y′(即dy/dx)嗎仅政？這么一變形，就出現(xiàn)了2+3dy/dx=0導(dǎo)數(shù)就是-2/3盡管答案一樣但是這種思考方式就會(huì)在做題的時(shí)候給你帶來好處盆驹。
那么咱們換一個(gè)有點(diǎn)難度的圆丹，帶平方的該如何計(jì)算呢？
求x=-3/5時(shí)的導(dǎo)數(shù)召娜。
x那邊不用說導(dǎo)數(shù)就是3运褪，6y的平方怎么辦？咱們可以這么想玖瘸，令y方等于m秸讹，那么這個(gè)“小函數(shù)”就變成了一個(gè)復(fù)合函數(shù)了，變成了m=y^2和y與x關(guān)系的復(fù)合函數(shù)雅倒。既然是復(fù)合函數(shù)璃诀，那么在這里的求導(dǎo)，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)這個(gè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)蔑匣，那么我們就可以計(jì)算了：3+6*2y*dy/dx=0劣欢，那么dy/dx=-3/12y由于我是隨便出的例子棕诵，經(jīng)過計(jì)算此時(shí)y等于零，導(dǎo)數(shù)不存在凿将。但是無論什么題都是這么是思考的校套。
最后還有一個(gè)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，是用來求冪指函數(shù)的牧抵。舉個(gè)例子笛匙，
左邊就是還要把lny視作一個(gè)整體來看获枝，右邊要注意的事導(dǎo)數(shù)相乘時(shí)的運(yùn)算蠢正。
求導(dǎo)法則
對(duì)于一個(gè)隱函數(shù)已經(jīng)確定存在且可導(dǎo)的情況下，我們可以用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t來進(jìn)行求導(dǎo)省店。在方程左右兩邊都對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)嚣崭，由于y其實(shí)是x的一個(gè)函數(shù)，所以可以直接得到帶有 y' 的一個(gè)方程萨西，然后化簡(jiǎn)得到 y' 的表達(dá)式有鹿。
隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解一般可以采用以下方法：
先把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)的方法求導(dǎo)谎脯；隱函數(shù)左右兩邊對(duì)x求導(dǎo)（但要注意把y看作x的函數(shù)）葱跋； 利用一階微分形式不變的性質(zhì)分別對(duì)x和y求導(dǎo)，再通過移項(xiàng)求得的值源梭； 把n元隱函數(shù)看作(n+1)元函數(shù)娱俺，通過多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的商求得n元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。舉個(gè)例子废麻，若欲求z = f(x,y)的導(dǎo)數(shù)荠卷，那么可以將原隱函數(shù)通過移項(xiàng)化為f(x,y,z) = 0的形式，然后通過（式中F'y,F'x分別表示y和x對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)）來求解烛愧。
