有一種有趣的現(xiàn)象，本不應(yīng)該成為問題钩骇，但是到了最后比藻，就是成了一個嚴(yán)重的問題铝量，就像國足，留給我們的對手真的不多了银亲。
數(shù)學(xué)計算也中招了慢叨。不少理科老師會說，現(xiàn)在學(xué)生的計算能力真是不忍直視务蝠，令人無語拍谐，不知道數(shù)學(xué)老師是怎么教的，等等馏段。數(shù)學(xué)老師真的難辭其咎嗎轩拨？俗語講，教不嚴(yán)院喜，師之惰亡蓉。但是數(shù)學(xué)老師心中苦啊」蛔可以毫不避諱地說寸宵，過半數(shù)的高中生的計算能力是不達(dá)標(biāo)的。以寧波地區(qū)為例元咙，普高錄取率只有50%梯影，這意味著九年義務(wù)教育之后，近七成的學(xué)生庶香，數(shù)學(xué)計算都沒有學(xué)好甲棍。
笛卡爾說：每一現(xiàn)象必有原因。我非常珍惜這句話赶掖，因為它可以促進(jìn)反思感猛。學(xué)生的計算能力普遍不達(dá)標(biāo)，到底是什么原因造成的奢赂？問題出在了哪里陪白？首先，高中數(shù)學(xué)老師一臉蒙圈膳灶，我們不教計算了啊咱士，計算是練出來的；初中老師兩手一攤轧钓，請看看中考數(shù)學(xué)的平均分序厉，我們教出的成績足夠優(yōu)秀。鍋是沒人接的毕箍，只能繼續(xù)找原因弛房。我的觀點是，中考降低了考試難度而柑，同樣會降低學(xué)習(xí)要求文捶，導(dǎo)致學(xué)生計算能力的普遍下滑荷逞。
計算的標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？計算無它粹排，唯既快又準(zhǔn)爾颅围。今天就認(rèn)真而又嚴(yán)肅地聊聊數(shù)學(xué)計算。
一旦接觸到數(shù)學(xué)恨搓，兩條必走之路，一條是計算之路筏养，另一條是被計算纏繞之路斧抱。一直走，沒有盡頭渐溶。這應(yīng)該成為一種常識辉浦，就像餓了需要吃飯一樣。如果你沒有這種常識茎辐，并不怪你宪郊，這是數(shù)學(xué)工作者的失誤，我不自量力的盡微薄之力拖陆，彌補一些弛槐。一言以蔽之，計算是數(shù)學(xué)有機整體中重要的一部分依啰，計算也決定了數(shù)學(xué)解題的效率和準(zhǔn)確率乎串，快與慢，錯與對速警，都是通過計算展現(xiàn)出結(jié)果的叹誉。
而關(guān)于計算本身又有哪些特性呢？
一是易錯性闷旧。對人而言长豁，大腦容易犯錯，也決定了計算的易錯性忙灼，無法否認(rèn)匠襟，這幾乎是一個必然事件。最常聽到家長和學(xué)生說：都是會的缀棍，粗心算錯了宅此，太可惜了。久而久之爬范，易錯帶來家長輔導(dǎo)孩子作業(yè)的矛盾父腕，更嚴(yán)重的是給學(xué)生帶來信心上的打擊，甚至出現(xiàn)厭學(xué)情緒青瀑。粗心只是一種表象璧亮，會的也不是真的會了萧诫，算不出正確的結(jié)果，就不是真會枝嘶。沒有做到快和準(zhǔn)帘饶，就要繼續(xù)努力，如果做到了快和準(zhǔn)群扶，完全可以放棄一些重復(fù)的作業(yè)及刻，空出的時間加大學(xué)習(xí)難度即可。努力的意義在于竞阐，將易錯的必然事件轉(zhuǎn)化為小概率事件缴饭，基本的計算正確率提升到95%以上，甚至100%骆莹。最好的辦法是不斷的練習(xí)颗搂，其次要統(tǒng)計出自己經(jīng)常犯錯誤的地方，每個人都有特點幕垦，會在某個點上慣性的犯錯丢氢。學(xué)生的例子特別多，那就舉一個我最近備課的例子先改。這是鎮(zhèn)海高三期中考試題疚察，如下：
二是機械性。是的仇奶，計算具有機械性稍浆。就像很多學(xué)生解一元二次方程，一步一步配方去解猜嘱；學(xué)了空間坐標(biāo)系衅枫，按照步驟有條不紊計算。機械性也有先進(jìn)和落后之分朗伶，解一元二次方程優(yōu)先因式分解弦撩，不能因式分解的，直接公式法一步到位论皆，這樣至少要比配方先進(jìn)一些益楼。也正是計算具有機械性，會給人單調(diào)乏味的感覺点晴，結(jié)合易錯性感凤，引來不少口誅筆伐。
我們需要提防的粒督，正是這樣一撥埋怨數(shù)學(xué)的人陪竿，而且頑固的很，危害很大屠橄，危害的直接后果就是族跛，它會使不懂分辨的孩子們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生偏見闰挡。這一撥人可以大致分兩類，一類是一直被數(shù)學(xué)打擊礁哄，從沒有入數(shù)學(xué)門的人长酗。他們的表現(xiàn)形式，即是他們的反擊方式桐绒，就是大談數(shù)學(xué)的實用性：學(xué)這些夺脾，買菜都用不到！既然學(xué)習(xí)是為了買菜茉继，出門右拐就是菜市場劳翰，您先買一桌下酒菜，我們嘗嘗咸淡馒疹，再接著聊唄∫仪剑可以友情提醒颖变，小學(xué)四年級畢業(yè)就能滿足日常生活的數(shù)學(xué)需求，連九年義務(wù)都不需要听想。其實他們就是被數(shù)學(xué)計算打擊的腥刹，一直算不對，多點耐心就可以了汉买，但就是缺乏耐心衔峰。另外一類，就更有意思了蛙粘，有些小聰明垫卤，偶爾在數(shù)學(xué)考試中取得不錯的分?jǐn)?shù)，就沾沾自喜出牧，沾沾自喜的是他們沒有付出多少努力穴肘，考得還不錯，然后總想著些捷徑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)舔痕。數(shù)學(xué)是沒有捷徑的评抚，當(dāng)遇到些閉門羹時，他們首先開始厭煩起數(shù)學(xué)計算伯复，總覺得那么多機械計算令他們的智商無處發(fā)揮慨代，數(shù)學(xué)有足夠多的問題來匹配智商。事實上他們學(xué)會列方程就再也不會列算式解應(yīng)用題了啸如，學(xué)會空間坐標(biāo)系就再也不會幾何法了侍匙，然后三角變換、圓錐曲線叮雳、導(dǎo)數(shù)就成為被攻擊的主要對象（三角函數(shù)在高中已經(jīng)縮減到不能再少的地步了）丈积。遇到些靈活性強和有些小技巧的題筐骇，可以施展一下了，卻把這類題歸為偏題和怪題江滨，不值得一做铛纬。這類人反而危害更大，畢竟有些小聰明唬滑，偶爾有人會取得某些方面的小成功告唆，成功者說話會有些分量，但他們對數(shù)學(xué)的理解晶密，真的限制了他們想象力擒悬，而且沒有理論基礎(chǔ)，也沒有實踐經(jīng)驗稻艰，他們的話不值一聽懂牧。在浙江，這類人幾乎遇不到尊勿，因為憑借小聰明僧凤，150分的卷子，100分都過不了元扔，甚至跌破90躯保，無法得瑟。反而有時候會安慰一些學(xué)生澎语，你們用全國卷途事，至少可以多考20分。
三是推理性擅羞。推理性是計算的價值所在尸变，計算的推理性更具普遍性。平面幾何足夠偉大减俏，在古希臘盛行幾百年振惰，催生公理化系統(tǒng)的誕生，但是到后期作為解決問題的工具垄懂，使用起來難度太大骑晶，每一步的操作對圖形依賴程度太高，對智力水平要求也是到了令人發(fā)指的地步草慧，只能是阿基米德等大神能夠耍的動桶蛔，求曲邊形面積，不論是小聰明還是大聰明漫谷，只能成為看客仔雷。又過了1300多年之后，代數(shù)運算（字母，符號運算）的誕生及其不斷地發(fā)展碟婆，才迎來新的曙光电抚，這場瑞雪確實來得有些晚。代數(shù)運算使人的大腦擺脫了圖形的依賴竖共，只需要懂得運算的規(guī)則蝙叛，一步一步算下去，就可以得到意想不到的結(jié)果」現(xiàn)在絕大部分的公式借帘，都可以用運算得到。中學(xué)里常用的公式：一元二次方程求根公式淌铐，指數(shù)和對數(shù)運算公式肺然，數(shù)列性質(zhì)公式，三角變換公式腿准，求導(dǎo)運算公式等等际起，不少學(xué)生都可以隨時推導(dǎo)出來，你可以任意挑一些吐葱，算算看街望。為什么不難掌握，還是要感謝計算的機械性唇撬。機械性要求不高，使計算的推理性更具普遍性展融，能讓更多的人掌握窖认。舉個例子，比如求曲邊形面積告希，只要記住些積分公式就成扑浸，甚至不知道原理都不會影響計算出正確結(jié)果。這放在500年前燕偶，可是頂端技術(shù)喝噪。
不能因為計算的優(yōu)越性，而忽略平面幾何指么，平面幾何幾百年的發(fā)展史酝惧，客觀存在的，每一現(xiàn)象必有原因伯诬，應(yīng)反思其存在的價值晚唇，對我們每個個體能起到什么樣的幫助？但我們真的大大降低了平面幾何知識的要求盗似，不良后果非常明顯哩陕，這會在以后的文章中詳細(xì)討論。
四是技巧性。代數(shù)運算更是形式運算悍及，是形式就會有變形闽瓢，有變形就有技巧，有技巧就
考慮問題呢心赶？這些技巧對提升運算的效率和準(zhǔn)確率有很大的幫助扣讼，比如小學(xué)的的簡便計算，初中的因式分解园担，是很好的技巧入門届谈。高中的三角變換，不等式的應(yīng)用和證明弯汰，這些都是技巧的進(jìn)階過程。不過這些都降低了學(xué)習(xí)要求咏闪，但是技巧也是數(shù)學(xué)知識的一部分曙搬，需要去積累的，就像積累漢語成語鸽嫂，英語句型一樣。如果不引起重視据某，學(xué)數(shù)學(xué)會越學(xué)越辛苦挽唉，你對技巧沒感覺，它怎會主動出來幫助你呢埂材？之所以說是數(shù)學(xué)技巧塑顺，因為這些技巧之能解決一小類問題严拒，如果能解決一大類問題，就要上升到數(shù)學(xué)思想了竖独。事實上糙俗，創(chuàng)造技巧，要比積累技巧難度大多了预鬓。這些技巧也不是憑空誕生的巧骚，是數(shù)學(xué)大師或者數(shù)學(xué)工作者在解決某類問題時赊颠，漸悟或者頓悟出的，而成為解決某類問題的關(guān)鍵橋梁劈彪。
五是可發(fā)展性竣蹦。計算是數(shù)學(xué)兩項基本功之一。誰也無法否認(rèn)沧奴，任何一門技術(shù)活痘括，都是有基本功的。比如練習(xí)書法滔吠，老師會教手法的基本功纲菌，簡單筆畫橫豎撇捺的基本功，這些要不斷重復(fù)練出來的疮绷。記得和一位舞蹈老師聊天翰舌，他說有一名學(xué)生的基本功練了很多年都沒練好，他一個舞蹈動作都沒教給他冬骚。而數(shù)學(xué)不僅僅技術(shù)含量非常高椅贱，而且還是人類心智的榮耀，我們有什么理由不好好練習(xí)她的基本功呢只冻？
為了勸學(xué)生庇麦、激發(fā)學(xué)生練好計算這項基本功，我想了很多種表達(dá)方式喜德，無奈我的語文基本功拖了我的后腿山橄。直到有一天和我的教英語的朋友邱老師聊天，聊到了這個話題舍悯，他說英語的基本功就是：1背誦航棱，2背誦，3還是背誦贱呐。我問道：您是如何勸學(xué)的丧诺？邱老師把手機拿出入桂，說道：請看奄薇，我是這樣和學(xué)生以及家長說的。分享如下：背誦是學(xué)好英語的關(guān)鍵手段抗愁，在習(xí)慣養(yǎng)成的過程中可能覺得很苦馁蒂，一旦養(yǎng)成了這種自覺的習(xí)慣，其效果和成就是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超乎意料的蜘腌。背誦沫屡，不能是臨時抱佛腳，要每天抽點時間先讀熟再背誦撮珠，就像飛機起飛的過程沮脖，達(dá)不到一定的速度，飛機就不能駛離地面。所以背誦東西勺届，在讀熟之前不可強行背誦驶俊。背誦的關(guān)鍵好處是培養(yǎng)語感，積累詞匯免姿，短語和句型饼酿，最終達(dá)到對語言的靈活使用。
我心中竊喜胚膊，說道：您把這段話發(fā)給我吧故俐，我要把這段話發(fā)給學(xué)生。邱老師詫異道：你教數(shù)學(xué)的紊婉，要它作甚药版？我打趣的說道：人類學(xué)習(xí)的科目有時并不相通，我只是覺得它們的痛點是一樣的肩榕。邱老師還是有些蒙圈刚陡。我才一本正經(jīng)說道：把你這段話里的英語改成數(shù)學(xué)，背誦改成計算株汉，就是我想要的了筐乳。
計算易錯是它顯性的一個坑，還有一個隱形的大坑乔妈，就是其可發(fā)展性蝙云，不是說笑，這可是大部分?jǐn)?shù)學(xué)系學(xué)生的掉坑史路召〔伲可發(fā)展性就是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的不同階段，對基本功要求越來越高股淡。從初中到高中身隐，從高中到大學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容在變化唯灵，難度變加速加大贾铝，計算的要求自然更高，雖然標(biāo)準(zhǔn)還是快和準(zhǔn)埠帕，但付出的努力垢揩，要多得多。一個不適應(yīng)敛瓷，措手不及掉坑里了叁巨，還很難爬出來。計算是一方面呐籽，而且思維方式也要跟著轉(zhuǎn)變锋勺，這比計算要求更高蚀瘸。
相對來說，數(shù)學(xué)在某些時候更殘酷一些庶橱。就拿閱讀量來說苍姜，不用讀書破萬卷，哪怕只有三悬包、五百本衙猪，然后幾年不讀書，你在年均讀書量不到5本的國家布近，依然可以橫著走啊垫释。可在數(shù)學(xué)里的某個階段撑瞧，若沒能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)棵譬，就只能忍受痛擊。為什么用數(shù)學(xué)系的學(xué)生作為例子预伺，因為他們在成長的過程中订咸，可能在小學(xué)和中學(xué)階段計算都不需用練，就能達(dá)到當(dāng)時的標(biāo)準(zhǔn)酬诀≡嗳拢可到了數(shù)學(xué)系，太多人掉坑里了瞒御。
學(xué)數(shù)學(xué)沒有捷徑父叙，學(xué)數(shù)學(xué)不能造次。
當(dāng)選擇幾何法來解答此題時肴裙，用線面垂直作為觸發(fā)點趾唱，找不到想要的線面垂直，就不得不找面面垂直來過渡蜻懦，而面面垂直也不是那么輕易發(fā)現(xiàn)的甜癞，就要用線線垂直作為起始點了。經(jīng)這么一繞宛乃，你和立體幾何里的所有垂直都懟了一遍悠咱，然后發(fā)現(xiàn)并不容易做出線面角。求出點E到面PBC的距離烤惊，來到了最后一步乔煞，要求出斜線CE的長度吁朦，或者在三角形PCD中求出中線CE的長度柒室，而這時候你已經(jīng)經(jīng)歷了中度燒腦，你會選擇什么方法呢逗宜？是自然而然的來句XX雄右，然后老老實實的用兩次余弦定理呢空骚，還是用平行四邊形對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的2倍這個定理呢？
技巧的使用需要條件的擂仍，打鐵還需自身硬囤屹。
這人生的旅途，總會遇上彩虹逢渔。
