協(xié)變坐標與逆變坐標計算

這部分主要是介紹相對論運動學內(nèi)容，目的是介紹四動量的計算沦寂。

狹義相對論是一套用來描述運動速度接近光速的質(zhì)點運動學理論学密，由Einstein在1905年提出。粒子物理研究的粒子都是質(zhì)量小传藏、運動速度快的粒子腻暮，如光子以光速運動彤守，電子、 $\mu$ 子等也都以接近光速運動哭靖。因此用于描述這些粒子運動的理論就是狹義相對論具垫。

這部分首先介紹運動下的Lorentz變換，隨后引出協(xié)變四矢量和逆變四矢量以及它們之間的運算试幽，最終得到描述高速粒子運動的能量-動量四矢量和質(zhì)殼方程筝蚕。

Lorentz變換

Lorentz變換是指同一質(zhì)點在兩個相對運動的慣性參考系之間的坐標的變換關系。假設兩個慣性參考系分別是 $S$ 系和 $S^\prime$ 系铺坞，其中 $S^\prime$ 系的原點沿著 $S$ 系的 $x$ 軸正方向以速度 $\boldsymbol v$ (大小為 $v$ )運動起宽。同一質(zhì)點在 $S$ 系和 $S^\prime$ 系中的坐標和時間分別描述為 $(x,y,z,t)$ 和 $(x^\prime, y^\prime, z^\prime, t^\prime)$ 。狹義相對論指出兩組坐標之間的變換關系滿足Lorentz變換(Lorentz trasformation)：
$\left\{\begin{array}\ x^\prime=\gamma(x-vt)\\ y^\prime=y\\z^\prime=z\\ t^\prime=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x) \end{array}\right.$
其中 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 济榨， $c$ 為光速坯沪。

Lorentz變換相關的重要結(jié)論可以參考狹義相對論相關教材。

四矢量

為更加簡便地表述Lorentz變換腿短，定義一組協(xié)變四矢量（covariant four-vector）屏箍，也被稱為協(xié)變坐標（covariant coordinates），用符號 $x^\mu(\mu = 0,\ 1,\ 2,\ 3)$ 表示橘忱，即 $x^0 = ct,\ x^1 = x,\ x^2 = y,\ x^3 = z.$

利用協(xié)變坐標赴魁， Lorentz變換可以寫成如下形式：
$\left\{\begin{array}\ x^{0\prime}=\gamma(x^0-\beta x^1)\\ x^{1\prime}=\gamma(x^1-\beta x^0)\\ x^{2\prime}=x^2\\ x^{3\prime}=x^3 \end{array}\right.$

其中 $\beta = \frac{v}{c}$ 。Lorentz變換可以被進一步寫成更加緊湊的形式： $x^{\mu\prime} = \Lambda^\mu_\nu x^\nu(\mu = 0, 1, 2, 3)$

針對上式給出如下說明：
(1) $\Lambda^\mu_\nu$ 是矩陣 $\Lambda$ 第 $\nu$ 列第 $\mu$ 行的矩陣元：
$\Lambda = \left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

(2) 上式使用了Einstein求和規(guī)則钝诚，右式 $\Lambda^\mu_\nu x^\nu$ 中指標 $\nu$ 出現(xiàn)了兩次（稱為啞指標）颖御，表示要對指標 $\nu$ 從 $0$ 到 $3$ 求和，即了 $\sum_{\nu=0}^3\Lambda^\mu_\nu x^\nu$ 并省略了 $\sum_{\nu=0}^3$ 凝颇。

在Lorentz變換中潘拱，變換前后不會發(fā)生變化的量稱為不變量（invariance）。這個量記為 $I$ 拧略，可以證明： $I = (x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 = (x^{0\prime})^2-(x^{1\prime})^2-(x^{2\prime})^2-(x^{3\prime})^2$

為了進一步簡化表達式芦岂，引入Minkowski度規(guī)（the Minkowski metric） $g_{\mu\nu}$ ：
$g_{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$

利用Einstein求和規(guī)則表述不變量 $I = g_{\mu\nu}x^\mu x^\nu$ 。

進一步垫蛆，定義逆變四矢量(contravariant four-vector)禽最，也被稱為逆變坐標(contravariant ordinates) $x_\mu$ ，可以將不變量寫得更加簡潔：
$I=x_\mu x^\mu$

其中逆變坐標定義為： $x_\mu=g_{\mu\nu}x^\nu$ .

即 $x_0=x^0,\ x_1=-x^1,\ x_2=-x^2,\ x_3=-x^3$ 袱饭。上式也是協(xié)變坐標變換為逆變坐標的變換公式川无，兩者通過Minkowski度規(guī)聯(lián)系。同時得到 $x^\mu=g^{\mu\nu}x_\nu$ 虑乖，其中 $g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}$ 懦趋。

接下來討論更加一般的兩個協(xié)變坐標乘積的情況。給定兩個四矢量分別寫成 $a=a^\mu=(a^0,a^1,a^2,a^3)=(a^0, \boldsymbol{a})$ 和 $b=b^\mu=(b^0,b^1,b^2,b^3)=(b^0, \boldsymbol疹味)$ 仅叫，它們之間的標量積(scalar product)定義為： $a\cdot b=a_\mu b^\mu=a^0b^0-a^1b^1-a^2b^2-a^3b^3=a^0b^0-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol帜篇$

符號 $a^2$ 表示四矢量 $a$ 與自己的標量積： $a^2=a_\mu a^\mu=(a^0)^2-(a^1)^2-(a^2)^2-(a^3)^2=(a^0)^2-\boldsymbol{a}^2$

能量、動量與相對論碰撞

為了突出重點惑芭，這部分將直接介紹能量-動量四矢量(the energy-momentum four-vector坠狡，簡稱能動四矢)，也被稱為四動量(four-momentum)遂跟，并根據(jù)標量積定義，得到著名的質(zhì)殼關系(mass-shell relation)婴渡，最后討論相對論碰撞中的守恒量幻锁。

對于一個質(zhì)點，假設它的質(zhì)量為 $m$ 边臼，能量為 $E$ 哄尔，動量在三個方向上的分量為 $p_x$ ， $p_y$ 柠并， $p_z$ 岭接，則定義它的四動量為： $p^\mu=(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z)$

其中 $c$ 為光速。容易得到 $p_\mu=(\frac{E}{c},-p_x,-p_y,-p_z)$ 臼予。四動量的標量積為： $p_\mu p^\mu=\frac{E^2}{c^2}-(p_x)^2-(p_y)^2-(p_z)^2=\frac{E^2}{c^2}-\boldsymbol {p}^2=m^2c^2$

上式稱為質(zhì)殼方程(mass-shell equation)鸣戴。如果粒子四動量滿足質(zhì)殼方程，就說這個粒子在殼(on shell)粘拾，否則就說這個粒子不在殼(off shell)窄锅。關于質(zhì)殼方程的證明，可以參考相關教材缰雇。需要注意：

(1)當粒子靜止時入偷，即 $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}$ ，得到 $E=mc^2$ 械哟，此即著名的質(zhì)能關系式(mass-energy equivalence)疏之；

(2)對于質(zhì)量為 $0$ 的粒子，比如說光子暇咆，得到 $v=c$ 锋爪， $E=|\boldsymbol{p}|c$ ，即它的運動速度為光速糯崎，能量等于動量大小乘上速度大小几缭。

接下來是相對論碰撞相關部分。在經(jīng)典碰撞中有兩條基本守恒定律沃呢，即能量守恒定律和動量守恒定律年栓。在相對論碰撞中也滿足能量守恒定律和動量守恒定律，被統(tǒng)稱為能動量守恒定律薄霜。

對于兩體碰撞（ $A+B \to C+D$ ）某抓，根據(jù)能量守恒纸兔，有 $E_A+E_B=E_C+E_D$ ；根據(jù)動量守恒否副，有 $\boldsymbol{p}_A+\boldsymbol{p}_B=\boldsymbol{p}_C+\boldsymbol{p}_D$ 汉矿；利用協(xié)變坐標，將這兩條守恒定律寫成 $p^\mu_A+p^\mu_B=p^\mu_C+p^\mu_D$ 备禀。在實際運算過程中洲拇，通過標量積的形式表述它們的守恒律，即： $(p^\mu_A+p^\mu_B)^2=(p^\mu_C+p^\mu_D)^2$

上式和質(zhì)殼方程是計算相對論碰撞過程的主要關系式曲尸。

在質(zhì)心系下赋续， $\boldsymbol{p}_B=-\boldsymbol{p}_A$ ， $\boldsymbol{p}_D=-\boldsymbol{p}_C$ 另患；在打靶實驗中 $\boldsymbol{p}_B=\boldsymbol{0}$ 纽乱。將條件帶入方程求解。

對于衰變（ $A \to B+C$ ）昆箕，根據(jù)能量守恒有 $E_A=E_B+E_C$ 鸦列；根據(jù)動量守恒有 $\boldsymbol{p}_B+\boldsymbol{p}_C=\boldsymbol{0}$ 。同時 $E_A=m_Ac^2$ 鹏倘，帶入能量守恒可以求解出 $B$ 或 $C$ 的動量大小薯嗤。

總結(jié)：狹義相對論將時間和空間放在坐標的同等位置上，這不同于牛頓力學中坐標只包含空間第股，此時時間和空間不得不同等看待应民。基于光速不變原理的Lorentz變換是一切狹義相對論結(jié)論的基礎夕吻，不變量定義的度規(guī)矩陣揭示了狹義相對論成立的空間幾何——雙曲空間诲锹。時間與能量相聯(lián)系，空間與動量相聯(lián)系涉馅，從而得到四動量的表達式归园。通過協(xié)變坐標不變量的表達式得到四動量滿足的質(zhì)殼方程。

最后編輯于：2022.08.31 10:47:42

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