1. 說明
?ARMA回歸滑動平均模型(Autoregressive Moving Average Model,簡記ARIMA)颜矿，是研究時間序列的重要方法频鉴，由自回歸模型（簡稱AR模型）與滑動平均模型（簡稱MA模型）為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成弓摘。常用于具有季節(jié)變動特征的銷售量、市場規(guī)模的預(yù)測等。ARIMA模型相對ARMA模型，僅多了差分操作猫胁。
2. 相關(guān)概念
(1) 自回歸模型（AR）
?自回歸模型autoregressive model，簡稱AR．在時序分析中跛锌，描述時間序列｛yt｝自身某一時刻和前p個時刻之間相互關(guān)系的模型稱自回歸模型弃秆，其形式為：
?其中Φ1, Φ2,…, Φp是模型參數(shù)，εt是白噪聲序列髓帽，它反映了所有其它隨機(jī)因素的干擾．其中p為模型階次菠赚，即yt由前p個值決定．
(2) 滑動平均模型（MA）
?滑動平均模型moving average model，也稱移動平均模型郑藏，它將時間序列{yt}看成白噪聲序列的線性組合衡查，為什么誤差能描述模型呢？假設(shè)某個值可通過之間前N個值的平均值預(yù)測译秦，稍作變化峡捡，即實(shí)際值可以通過前一值的預(yù)測值加誤差得到．因此實(shí)際值可用多個誤差值的累加來表示．其形式為：
(3) 回歸滑動平均模型（ARMA）
?簡單地說：AR模型是建立當(dāng)前值和歷史值之間的聯(lián)系，MA模型是計(jì)算AR部分累積的誤差筑悴。ARMA是兩個維度的和．
(4) 數(shù)據(jù)預(yù)處理
?ARMA要求被分析的數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，平穩(wěn)稍途，零均值．平穩(wěn)性一般是指：均值為常數(shù)阁吝，方差為常數(shù)，且自協(xié)方差為常數(shù)．比如說上升的趨勢中械拍，均值就不是常數(shù)突勇；如果震蕩幅度越來越大，則方差不是常數(shù)坷虑。
?如果僅是均值非０的情況甲馋，可減去均值；如果趨勢可用線性擬合迄损，可以減去擬合后的趨勢定躏；另外還可以用差分，或者季節(jié)性差分的方法使之平穩(wěn)芹敌；對于非正態(tài)分布痊远，可使用對數(shù)處理．
(5) 差分
?差分是將數(shù)據(jù)進(jìn)行移動之后與原數(shù)據(jù)進(jìn)行比較得出的差異數(shù)據(jù)，這里的移動是指上移或者下移．簡單的說氏捞，比如對某支股票的價格數(shù)據(jù)做一階差分碧聪，就是將每日價格減去前一天的價格．
?在python中，差分運(yùn)算可使用pandas的diff(periods=n)函數(shù)實(shí)現(xiàn)液茎，其中n為階數(shù)逞姿，默認(rèn)為一階差分辞嗡，一階差分的具體操作是df.shift()-df．用于生成平穩(wěn)數(shù)據(jù)，比如下面的曲線．
?一階差分后
?由此可見滞造，差分之后续室，去掉了趨勢，均值趨于０．有助于分析其它特征．
(6) 自相關(guān)與偏自相關(guān)（ACF&PACF）
?自相關(guān)acf和偏自相關(guān)pacf是分析時序數(shù)據(jù)的重要方法断部，是在平穩(wěn)條件下求得的．
?自相關(guān)函數(shù)Auto Correlation Function猎贴，簡稱ACF．形如：
?Ｘ軸表示滯后值，Ｙ軸從[-1,1]蝴光，表示了這些值的相關(guān)性．比如左邊第一點(diǎn)相關(guān)性為1她渴，就是說該點(diǎn)與它自己完全相關(guān)．從圖中可觀察到：12個月為周期的相關(guān)性相當(dāng)明顯的．調(diào)用方法如下：
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(df['xxx'])
?注意時序數(shù)據(jù)中不能包括空值，如果之前用了一次一階差分和一次十二階差分蔑祟，應(yīng)去掉前13個為空的值．
?圖中藍(lán)色部分是描述的統(tǒng)計(jì)顯著性趁耗，如果數(shù)據(jù)隨機(jī)分布，Y軸的位置會在藍(lán)色區(qū)域之內(nèi)．因此疆虚，要著重看藍(lán)色區(qū)域以外的點(diǎn)．
?自相關(guān)系數(shù)包含了其它變量影響下的相關(guān)關(guān)系苛败，有時需要只考慮某兩個變量的相關(guān)關(guān)系，即偏相關(guān)系數(shù)．其中的偏字径簿，指的是只考慮首尾兩項(xiàng)的關(guān)系罢屈，把中間項(xiàng)當(dāng)成常數(shù)，使用了偏導(dǎo)數(shù)的方法．使用方法如下：
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
plot_pacf(df['xxx'])
(7) 拖尾和截尾
?我們通過觀察自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖來確使用哪種模型篇亭，以自相關(guān)圖為例缠捌，先看看圖片呈現(xiàn)的幾種形式．
?左邊的圖呈直線形式衰減，說明可能包括趨勢译蒂，需要進(jìn)一步差分曼月；中間是截尾圖，它指的是在某個值（如圖中的7）后截止為0柔昼；右則是拖尾圖哑芹，指的是按指數(shù)形式或正弦形式有規(guī)律地衰減．
?如果自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)p階截尾捕透，則使用p階的AR模型．
?如果自相關(guān)系數(shù)q階截尾聪姿，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾，則使用q階的MA模型．
?簡單的講激率，它們兩個都是看截尾截在哪兒．
?如果自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均拖尾咳燕，則使用ARMA模型，由于AR和MA相互影響乒躺，階數(shù)需要從小到大逐步嘗試．
(8) 模型檢驗(yàn)
i. 模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的擬合
?用模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)做擬合招盲，用觀察或者計(jì)算誤差的方式，查看二者差異嘉冒，差異越小越好．
ii. 檢查殘差的自相關(guān)函數(shù)
?殘差的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該沒有可識別的結(jié)構(gòu)．
iii. AIC信息準(zhǔn)則
?AIC信息準(zhǔn)則Akaike information criterion曹货，是衡量統(tǒng)計(jì)模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn)咆繁，AIC值越小越好，也有根據(jù)AIC自動選參數(shù)的工具．
3. 步驟
?具體使用python調(diào)用statsmodels庫實(shí)現(xiàn)．statsmodels是一套統(tǒng)計(jì)工具集．具體需要考慮三個參數(shù)：d顶籽，p玩般，q．其中d是消除趨勢的差分階數(shù)，p是AR階層礼饱，q是MA的階數(shù)．步驟如下：
(1) 做時序圖觀察基本的趨勢和周期．
(2) 分析平穩(wěn)性坏为，正態(tài)性，周期性镊绪；并對數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換．
(3) 做自相關(guān)和偏自相關(guān)圖匀伏，確定模型階次．
(4) 模型檢驗(yàn)
(5) 用模型預(yù)測．
4. 問題與解答
(1) 做ARMA分析前是否應(yīng)該剔除周期性因素？
?我們可以從自相關(guān)圖中看出周期性波動蝴韭，比如上邊右側(cè)的拖尾圖够颠，它說明某天與前7,14,21天都強(qiáng)相關(guān)．如果發(fā)現(xiàn)強(qiáng)相關(guān)，可先進(jìn)行多階差分（季節(jié)差分）后榄鉴，再進(jìn)一步使用ARMA模型處理．需要注意的是各層次差分在預(yù)測時都需要對應(yīng)的還原．
(2) 做長期預(yù)測時如何應(yīng)對衰減履磨？
?我在做鹽城上牌預(yù)測時就遇到了嚴(yán)重的衰減問題，當(dāng)時需要預(yù)測之后幾百天的數(shù)據(jù)庆尘，而ARMA在預(yù)測了幾十天之后剃诅，就從類似正弦波型衰減成了一條直線，導(dǎo)致我最終放棄了該模型驶忌，改為使用線性擬合趨勢综苔，嚴(yán)重?fù)p失了精度．后來看復(fù)賽排名第一的大神分享，他也使用ARMA位岔，并且也有衰減問題，不同的是他采用按月預(yù)測堡牡，相比于按日預(yù)測抒抬，衰減就好得多，非常贊晤柄！
5. 參考
(1) 第七篇時間序列分析
https://max.book118.com/html/2014/1223/10828140.shtm
