章節(jié)概覽
我在想第四部分是不是應(yīng)該開(kāi)始講線性代數(shù)了，但是還是決定講一下和積分有關(guān)的內(nèi)容。但是我們不會(huì)講的太細(xì)致孵稽，只是講個(gè)大概而已许起。本章的內(nèi)容對(duì)我們來(lái)說(shuō)暫時(shí)不是那么的重要，如果你看不懂這章的內(nèi)容菩鲜，它也不會(huì)影響到你閱讀后面的內(nèi)容街氢。
1.一個(gè)莫名其妙的故事
我記得以前在初中的數(shù)學(xué)書(shū)上，看到過(guò)這樣的一個(gè)故事睦袖，說(shuō)是一個(gè)乞丐珊肃，有天乞討到了一塊面包。他總是舍不得吃馅笙，于是他這樣想伦乔，我每天吃掉這塊面包的1/2，不就永遠(yuǎn)有面包吃了嗎董习？
1.1.一個(gè)粗糙的數(shù)學(xué)建模
雖然很莫名其妙烈和，但是我們可以通過(guò)這個(gè)故事學(xué)到很多知識(shí)。知道了這件事皿淋，我們可以知道他在剛開(kāi)始的時(shí)候有一塊面包招刹，第一天的時(shí)候因?yàn)樗缘袅艘话耄挥?/2了窝趣。第二天又吃了一半的一半疯暑，即1/4。所以哑舒，非常顯而易見(jiàn)的一個(gè)函數(shù)妇拯，可以描述第x天，他吃了多少面包洗鸵。
過(guò)了幾天越锈，乞丐死了。只不過(guò)他不是因?yàn)闆](méi)有面包吃餓死的膘滨。而是他每天都在吃面包甘凭，一直數(shù)著自己到底吃了多少面包了，最后數(shù)不過(guò)來(lái)火邓，笨死了丹弱。
1.2.到底吃了多少面包呢？
按照乞丐的分法贡翘，并且不考慮任何實(shí)際情況蹈矮，我們知道，乞丐確實(shí)擁有無(wú)限的面包鸣驱。但是他已經(jīng)死了泛鸟，于是想要知道他究竟吃了多少面包，我們必須知道他從持有這塊面包踊东，到他死亡一共經(jīng)歷了多少天北滥。emmmm刚操，于是我們打出一張魔法卡，萬(wàn)能的假設(shè)再芋。
我們假設(shè)乞丐只生存了5天菊霜，求他5天內(nèi)一共吃掉的面包的數(shù)量。我們可以計(jì)算他每天吃掉的面包的數(shù)量济赎，然后加起來(lái)鉴逞。這是一個(gè)很正確的方法，只不過(guò)有點(diǎn)蠢司训。
如果你手動(dòng)嘗試了去完成這個(gè)步驟构捡，那么恭喜你，你成功的求了一次積分結(jié)果壳猜。
也許你可能不信勾徽，不過(guò)，從這個(gè)問(wèn)題拓展到積分统扳，我們還有一小段路要走喘帚，相信我，真的只是一小段路咒钟。
2.一定要優(yōu)雅的求出面積
如果這個(gè)乞丐是一個(gè)先知吹由，他預(yù)先知道了自己將會(huì)在第6天死亡，但是他還有1/32的面包沒(méi)有吃完盯腌，畢竟這個(gè)世界上最痛苦的事情就是人死了溉知，錢(qián)沒(méi)有花完，本著不留遺憾的原則腕够，他將會(huì)在5天內(nèi)平均的消耗完這個(gè)面包，即一天要吃掉1/5的面包舌劳，并且我們?nèi)匀患僭O(shè)在這五天內(nèi)帚湘，他無(wú)時(shí)無(wú)刻都在消耗這些面包，只不過(guò)24個(gè)小時(shí)只啃掉了1/5而已甚淡。于是我們有了下面的這張圖大诸。
我們可以先寫(xiě)出用于描述這個(gè)問(wèn)題的函數(shù)
這個(gè)函數(shù)表示的是他吃面包的速度，說(shuō)明了不論什么時(shí)候他都在穩(wěn)定的消耗所有的面包贯卦，并且速度非常的穩(wěn)定资柔。正如一個(gè)死者的心電圖那樣。
反正我們已經(jīng)知道了他5天消耗完了這一整塊面包撵割，我們有兩個(gè)感興趣的事情贿堰，第一就是，在我們惡劣的假設(shè)中啡彬，他是完全平均的消耗完這塊面包的羹与，說(shuō)明他無(wú)時(shí)無(wú)刻都在吃這塊面包故硅。那么我們就希望知道在極短極短的時(shí)間內(nèi)，他究竟吃了多少面包纵搁？這事很重要吃衅，真的。
2.1.微分
其實(shí)我們是辦不到的腾誉，因?yàn)闀r(shí)間刻度可以無(wú)限的縮短徘层。他吃的面包的數(shù)量也會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的縮短而無(wú)限分割，我們唯一知道的就是利职，不管在什么時(shí)候惑灵，他吃面包的速度始終是0.2。于是我們就分割時(shí)間就行了眼耀，反正他不管多短的時(shí)間英支，吃面包的速度都是0.2嘛
我們用這個(gè)極限描述他在很短很短的時(shí)間吃掉的面包的量。0.2其實(shí)是我們的函數(shù)哮伟，為了避免混淆干花，我們還是把這個(gè)0.2替換成
回頭觀察這個(gè)極限，它描述的是吃面包的量楞黄，而非時(shí)間池凄，而非速度，但是我們的時(shí)間x卻是趨向于0的鬼廓。頻繁的寫(xiě)出極限的符號(hào)其實(shí)非常麻煩肿仑，于是，當(dāng)我們需要表示一個(gè)趨向于0的量的時(shí)候碎税，希望簡(jiǎn)化它尤慰。所以微分就出現(xiàn)了，它表示一個(gè)趨向于0的量雷蹂。具體是什么量則由跟在后面的變量決定伟端。比如此時(shí)我們是針對(duì)時(shí)間x微分，于是這個(gè)微分就是
匪煌，上面的式子就成了下面這樣
2.2.積分
盡管我們把他吃東西的時(shí)間嚴(yán)苛的分割成了無(wú)數(shù)個(gè)細(xì)小的時(shí)間區(qū)間责蝠，還用極限把他吃的面包數(shù)量表示出來(lái)了，但是我們總歸知道這些細(xì)微的時(shí)間區(qū)間加起來(lái)一共有5天萎庭。這5天他始終在啃那塊面包霜医。那么我們可以嘗試性的把它們加起來(lái)
這樣寫(xiě)是不是太麻煩了，當(dāng)然驳规，不是只有我覺(jué)得麻煩肴敛，古人也覺(jué)得麻煩，于是一群希臘人就發(fā)明了一個(gè)求和的字符达舒，有了這個(gè)字符值朋，就可以比較輕松的表示這些繁復(fù)的求和了叹侄。
但是求和符號(hào)在這類求和問(wèn)題仍然不夠簡(jiǎn)潔，或者說(shuō)這類問(wèn)題的特征太明顯了昨登，它們都希望求出所有微分的總和趾代，為了更加明確的表示這類問(wèn)題，積分符號(hào)就出現(xiàn)了丰辣。撒强，我們把求和的起點(diǎn)作為積分的下界，把求和的重點(diǎn)作為積分的上界笙什，擁有上界和下界的積分飘哨，我們稱為定積分。它是這樣的
3.天才的遺作：牛頓-萊布尼茨公式
接下來(lái)我們要證明牛頓萊布尼茨公式琐凭，如果你已經(jīng)知道積分是如何出現(xiàn)的芽隆，積分的含義，并且如何對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分统屈，那么可以直接跳過(guò)本章節(jié)了胚吁。
證明牛頓萊布尼茨公式需要先知道兩個(gè)定義。
這個(gè)很簡(jiǎn)單愁憔，通俗點(diǎn)來(lái)說(shuō)腕扶，就是他第1天到第2天吃的東西，與第3天到第5天吃的東西加起來(lái)吨掌，相當(dāng)于第1天吃的東西到第5天吃的東西的總和（蠢到?jīng)]話說(shuō)的最基本性質(zhì)）
第二個(gè)定理就是著名的積分中值定理半抱，此處我們就不證明了，因?yàn)榉e分中值定理就是介值定理的擴(kuò)展膜宋，比較簡(jiǎn)單窿侈。我們直接寫(xiě)出結(jié)論。
如果函數(shù)在區(qū)間
上連續(xù)激蹲，那么在區(qū)間
上至少有一個(gè)點(diǎn)
使得
好了，讓我們開(kāi)始證明吧学辱。
第一，確定一件事环形，即積分的值具體是多少策泣，與函數(shù)的表達(dá)式以及上下界有關(guān)，所以我們完全可以把積分 換成
，這樣方便我們構(gòu)建其他的函數(shù)火本。
此時(shí)我們更換為
或者
會(huì)發(fā)現(xiàn)危队，這個(gè)積分的值也會(huì)隨之而發(fā)生變化聪建。于是我們可以把b設(shè)為一個(gè)未知量x，
當(dāng)x變化時(shí)茫陆，這個(gè)積分的值肯定也在變化金麸，因而我們可以把它當(dāng)成一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是所謂的變上限積分函數(shù)簿盅。我們暫時(shí)用來(lái)表示它
為了發(fā)現(xiàn)和函數(shù)
的關(guān)系挥下，我們對(duì)它進(jìn)行求導(dǎo)
由積分中值定理我們可以知道， 我們使用這個(gè)定理來(lái)處理分母上面的式子得到
注意這里的是
與
之間的一個(gè)值棚瘟，所以當(dāng)
時(shí)，
喜最，因而我們最終知道
3.1.最后一步
設(shè)為
的一個(gè)原函數(shù)偎蘸，我們有
，又
也是
的一個(gè)原函數(shù)瞬内，所以
又迷雪，我們有
遂鹊，
振乏，所以
至此慧邮，牛頓萊布尼茨公式證畢。
小結(jié)
其實(shí)我們?cè)趯W(xué)習(xí)深度學(xué)習(xí)的前期并不需要知道積分是什么舟陆，只不過(guò)為了讓大家找點(diǎn)感覺(jué)误澳，因而寫(xiě)出了這一章，如果你沒(méi)有學(xué)過(guò)這一章的內(nèi)容秦躯，可以略過(guò)不去管它忆谓。如果你學(xué)過(guò)了，但是忘記了踱承，你可以跟著我的步驟一步一步的再操作一遍倡缠。如果你對(duì)上面的內(nèi)容非常熟悉，你也可以跳過(guò)不看茎活。
