??????? 優(yōu)化問題一般是給定一個(gè)函數(shù)f(x)，求這個(gè)函數(shù)在給定作用域上的最小值（若是求最大值可通過加負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化為最小值問題）旺韭。
?????? 在高等數(shù)學(xué)上，常用的函數(shù)最優(yōu)化方法有三種：1趟紊、利用函數(shù)的單調(diào)性椒振，求導(dǎo)找到目標(biāo)函數(shù)的最值朽基；2、拉格朗日（Lagrange）乘子法离陶；3稼虎、KKT條件法。上述三種方法均能求解函數(shù)的優(yōu)化問題招刨，不同之處在于應(yīng)用的情況不同霎俩。第一種利用函數(shù)單調(diào)性的方法一般運(yùn)用在目標(biāo)函數(shù)無約束條件的情況下；第二種拉格朗日乘子法计济，主要運(yùn)用在目標(biāo)函數(shù)有等式約束的情況下茸苇；第三種方KKT條件法，主要運(yùn)用在目標(biāo)函數(shù)有不等式約束的條件的情況下沦寂。
??????? 下面分別對(duì)上述三種情況進(jìn)行介紹：
??????? 1学密、目標(biāo)函數(shù)無約束條件
這是最簡單的一種情況，相信學(xué)過高等數(shù)學(xué)的同學(xué)都能很容易的求解這類問題传藏。對(duì)于可行域無約束的連續(xù)函數(shù)腻暮，在定義域R上求令目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或梯度）等于零的點(diǎn)。
??????? 如果上式求解比較困難毯侦，可以運(yùn)用梯度下降和牛頓方法等迭代方法對(duì)上式進(jìn)行迭代逼近極小值哭靖。
??????? 2、目標(biāo)函數(shù)具有等式約束條件
??????? 這種情況一般可寫作：
??????? 上式中的s.t.意思是“subject to”意思是“受限于”侈离、“受某某約束”试幽。求f(x)的極小值，但x的取值必須滿足m個(gè)h(x)等式卦碾。自變量x被限定在一個(gè)可行域內(nèi)铺坞，在這個(gè)可行域內(nèi)不一定存在著一個(gè)x令f(x)的導(dǎo)數(shù)或梯度等于0。
?????? 對(duì)于這種情況洲胖，一般采用拉格朗日（Lagrange）乘子法济榨。首先需要定義一個(gè)拉格朗日函數(shù)：
?????? 具體的求解方法是擒滑，對(duì)上面的拉格朗日函數(shù)求各個(gè)變量的偏導(dǎo)：
?????? 根據(jù)上式，求得x和α的值叉弦，將其此x的值帶入f(x)丐一，便求得在m個(gè)hi(x）=0（簡書不好寫公式，見諒）等式約束的條件下淹冰，f(x）的最小值钝诚。運(yùn)用幾何解釋能夠更加便于理解。
??????? 如上圖a所示榄棵，目標(biāo)函數(shù)f(x,y)可以看做是一個(gè)在(x,y)平面的等高線凝颇，圖中的紅線是一個(gè)約束等式h(x,y)潘拱。其在（x,y）平面上的投影如圖b所示，d1>d2拧略，越往中間函數(shù)f(x,y)的值越小芦岂。在圖b中，目標(biāo)函數(shù)f(x,y)與h(x,y)有三種位置情況：相交垫蛆、相切禽最、相離（沒有交集）。當(dāng)二者相離時(shí)沒有交點(diǎn)袱饭，那么沒有解川无，只有相交或相切f(x,y)才有最優(yōu)值。如果g(x,y)與f(x,y)相交虑乖，交點(diǎn)不一定是其最優(yōu)值點(diǎn)懦趋，因?yàn)橐欢ㄟ€會(huì)有交點(diǎn)內(nèi)側(cè)的點(diǎn)帶入f(x)使其值比交點(diǎn)處的小。
??????? 也可以換種方式理解疹味，x沿著約束的曲線運(yùn)動(dòng)仅叫，當(dāng)x的運(yùn)動(dòng)方向與f(x,y)的負(fù)梯度方向的夾角是銳角時(shí)，目標(biāo)函數(shù)f(x糙捺，y)的值在減薪朐邸（因?yàn)楦鶕?jù)梯度下降法，f(x,y）的負(fù)梯度方向是f(x,y)的值下降最快的方向）洪灯，當(dāng)x的運(yùn)動(dòng)方向與f(x,y)的負(fù)梯度方向的夾角是鈍角時(shí)坎缭，目標(biāo)函數(shù)f(x，y)的值在增大签钩，所以當(dāng)x的運(yùn)動(dòng)方向與f(x,y)的負(fù)梯度方向的夾角是直角時(shí)幻锁，f(x,y)取得最小值，即f(x边臼，y)與g(x,y)相切的時(shí)候。因?yàn)間(x,y)的法線與x的運(yùn)動(dòng)方向相垂直假消，所以此時(shí)f(x,y)的梯度與g(x,y)的梯度應(yīng)該是平行的柠并。這便是拉格朗日乘子法的條件。
??????? 這個(gè)條件與等式約束條件聯(lián)立即可得解富拗。
??????? 3臼予、含有不等式約束的優(yōu)化
??????? 首先看一個(gè)相對(duì)簡單的只含有一個(gè)不等式的約束優(yōu)化，其一般形式如下：
建立一個(gè)對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)：
??????? 求在滿足g(x)<=0的條件下啃沪，f(x）的最小優(yōu)化（其中β>=0粘拾，因?yàn)間(x)<=0，若β<0创千，則βg(x)有最小值沒有最大值缰雇，不再滿足對(duì)偶性入偷，無法可靠的求解，β>=0也是運(yùn)用拉格朗日乘子法的內(nèi)在要求）械哟，這包括三種情況疏之。
β
?? ? ?? 如上圖a、b暇咆、c所示的三種情況锋爪，圖中紅色區(qū)域是g(x)<=0，即x的可行域爸业。
??????? 其中a所示為f(x)原來的最優(yōu)解的點(diǎn)落在可行域的內(nèi)部其骄，約束后的最優(yōu)解與原來f(x)函數(shù)的最優(yōu)解相同，此時(shí)扯旷，有沒有這個(gè)g(x)<=0的約束拯爽，對(duì)f(x)的最優(yōu)解沒有影響，也就是說g(x)<=0這個(gè)約束此時(shí)不起作用薄霜。
??????? 其中b所示為f(x)原來的最優(yōu)解落在可行域的外部某抓，此時(shí)f(x)在可行域內(nèi)的最優(yōu)解不再是原來的最優(yōu)解，其最優(yōu)解應(yīng)該在g(x)與f(x)相切的位置惰瓜，即在g(x)的邊界上否副。
????? c所示的為f(x)原來的最優(yōu)解落在可行域的邊界上，其最優(yōu)解與f(x)原來的最優(yōu)解相同崎坊。這種情況與上面的b所述的情況類似备禀，為了便于理解分開來說。
??????? 從上面的描述可以看出奈揍，在g(x)<=0約束條件下曲尸，f(x)的最優(yōu)解要么落在可行域的邊界g(x)=0上；要么落在g(x)<0的內(nèi)部男翰，使g(x)不在起作用另患，此時(shí)，可使λ=0蛾绎，消除g(x)昆箕。所以可得下面這個(gè)式子：
??????? 由上可知，含有不等式的約束問題租冠，只要滿足一定的條件也可以運(yùn)用拉格朗日乘子法來進(jìn)行求解鹏倘，而這個(gè)條件便是KKT條件。
??????? 含有不等式約束優(yōu)化問題的一般形式如下：
定義一個(gè)拉格朗日函數(shù)如下：
??????? 由以上的分析可知顽爹，運(yùn)用拉格朗日乘子求解含有不等式約束的優(yōu)化問題纤泵，需要滿足的KKT條件如下：
??????? 其中镜粤，公式1表示捏题，拉格朗日函數(shù)取得最小值時(shí)玻褪，其對(duì)x的梯度必須等于0，無論是最優(yōu)解是落在g(x)<=0內(nèi)部還是邊界上涉馅，其對(duì)x的梯度都是等于0的（落在內(nèi)部归园，最優(yōu)解就是無約束的極小值，則對(duì)x的偏導(dǎo)等于0稚矿；最優(yōu)解落在邊界上庸诱，這個(gè)最優(yōu)解要么是無約束的最優(yōu)解，要么是f(x)與g(x)相切的點(diǎn)晤揣，則其對(duì)x的梯度也等于0)桥爽。
??????? 公式2在上面的敘述中已經(jīng)分析了，約束后的最優(yōu)解要么落在g(x)<=0內(nèi)部昧识，此時(shí)g(x)不起作用钠四，可使β=0消除g(x)；要么落在g(x)<=0的邊界上跪楞，此時(shí)g(x)=0缀去。總之βg(x)=0甸祭。
??????? 公式3和公式4是約束的條件缕碎。
??????? 公式5是運(yùn)用拉格朗日乘子法的內(nèi)在要求，這個(gè)在前文也已經(jīng)敘述池户。
