3．求和公式的代數方法
? （問題的提出）給定任意的多項式f（x）如，1翠勉，x妖啥，x??2，x??3对碌，或者1/2·x（x－1）荆虱，1/6·x（x－1）（x－2）等，怎樣找出求和公式Sf(x)來計算下述級數之和朽们，f(o)＋f(1)＋f(2)＋?十f(n－1)＝Sf(n)
對于n＝1怀读，2，3骑脱，?皆成立．
分析：i)不妨先假設上述Sf(n)是n的多項式菜枷，則它滿足下列特殊性質：
? ? ? ? ? ? ? Sf(n＋1)－Sf(n)＝f(n)
? ? ? ? ? ? ? Sf(0)＝0（零項的總和為0）
? ? ? ? ? ii）反之，假若有一個多項式Sf(x)滿足條件Sf(0)＝0和Sf(X＋1)－Sf(x)＝f(x)
則f(0)＝Sf(1)－Sf(0)
? f(1)＝Sf(2)－Sf(1)
? ? ? ? ? ? ? ?
? f(n－1)＝Sf(n)－Sf(n－1)
即叁丧，f(0)＋f(1)＋?＋f(n－1)＝Sf(n)－Sf(0)＝Sf(n)
（K次）多項式求和定理：給出任何一個k次多項式f（x）啤誊，存在一個唯一的（k＋1)次多項式Sf(x)它滿足條件：Sf(0)＝0和Sf(x＋1)－Sf(x)＝f(x)，也即拥娄，f(0)＋f(1)＋?＋f(n－1)＝Sf(n)對于所有的n＝1蚊锹，2，3稚瘾，?皆成立．
(代數定理)一個K次多項式f(x)是可以由其(K＋1)個值｛f(i)枫耳；0<＝i<＝k｝所唯一確定的，而相應的求和公式Sf(x)是(k+1)次多項式孟抗，則需要由其（k＋2)個值所決定
下面我們采用一組特殊的多項式來解決這個問題迁杨。
? 令? ? ? g。(x)＝1
? ? ? ? ? ? g1(x)＝x
? ? ? ? ? ? g2(x)＝1/2·x(x－1）
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? gk(x)＝1/k凄硼！·x(x－1)?(x－k＋1)
顯然上述gk(x)滿足gk(i)＝0（0＜＝i＜＝k－1）和gk(k)＝1铅协，所以gk(n)的前k個總和皆為0（即Sgk(i)＝0，1＜＝i＜＝k）摊沉，而第(k＋1)總和是1狐史，即Sgk(k＋1)＝1。所以Sgk(x)＝gk＋1(x)说墨，即gk(x)的求和公式Sgk(x)就是這個系列多項式的下一位成員骏全，所以對于給定一個l次的多項式f(x)其求和公式Sf(x)可用下述方法有系統(tǒng)地確定之。
i)首先找一組系數C尼斧。姜贡，C1，C2棺棵，?Cl使得
f(x)＝C楼咳。g熄捍。(x)＋C1g1(x)＋?＋Clgl(x)
ii)然后，由分配律可得：Sf(x)＝C母怜∮嗟ⅲ·g1(x)＋C1·g2(x)＋?＋Ck·gk+1(x)＋?＋Cl·gl+1(x)
iii）確定系數Ck（0＜＝K＜＝l)，方法如下
C苹熏。＝）f(0)碟贾，f(1)，f(2)轨域，?缕陕，f(l－1)，f(l)
? ? C1＝）亼f(0)疙挺，亼f(1)扛邑，?，亼f(l－1)
? ? ? ? ? C2＝)亼2f(0)铐然，?蔬崩，? 亼2f(l－1/
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Cl＝）亼lf0)
即下層的值是由上一層相鄰的兩個數值之差所得出的。
