前言

很早什乙，很早……的時(shí)候，想為班里數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生整理一份補(bǔ)習(xí)資料已球。在我的想象中臣镣，這份補(bǔ)習(xí)資料首先不是各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單堆積，要能以數(shù)學(xué)發(fā)生學(xué)的視角智亮，清晰地呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的發(fā)展忆某、變化脈絡(luò)，溝通各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系阔蛉；其次能從易到難弃舒，整理常見(jiàn)的練習(xí)題，包括典型習(xí)題與易錯(cuò)習(xí)題状原；最好還能把相關(guān)的數(shù)學(xué)基本思想包含進(jìn)去聋呢；如果語(yǔ)言再流暢、精簡(jiǎn)颠区、有趣一些削锰，就更好了。

乍一看毕莱，想的還挺美器贩，emmmm，結(jié)果嘛朋截，一來(lái)工作很忙磨澡，二來(lái)這項(xiàng)工作也確實(shí)繁瑣，于是就一直拖到了現(xiàn)在质和。之前也嘗試過(guò)幾次稳摄，但每次都半途中止，真的是太煎熬了饲宿。

但是厦酬，每次看到班里的學(xué)生，總會(huì)有一種聲音在耳邊回響……堅(jiān)持做下去吧瘫想，不僅（或許）能幫助到學(xué)生仗阅，自己的收獲會(huì)更大。不要想著一次性做好国夜，先慢慢整理著减噪，再不斷完善。

正好臨近期末，在思考著為學(xué)生準(zhǔn)備點(diǎn)什么筹裕，那就借此機(jī)會(huì)醋闭，選擇一部分內(nèi)容，按照自己的預(yù)想嘗試著做一下朝卒。

最后選擇的內(nèi)容是代數(shù)中证逻，從算數(shù)到代數(shù)式的轉(zhuǎn)變。代數(shù)的學(xué)習(xí)具有清晰的脈絡(luò)抗斤，如果能梳理清楚各知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系囚企，會(huì)產(chǎn)生事半功倍的效果。小學(xué)時(shí)瑞眼，我們學(xué)習(xí)了自然數(shù)龙宏、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等一系列數(shù)伤疙，初一又學(xué)了負(fù)數(shù)银酗，初二學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)。除了學(xué)習(xí)各種各樣的數(shù)之外掩浙，我們還學(xué)習(xí)了有字母的代數(shù)式花吟，從數(shù)到式的跨越秸歧，也是從小學(xué)到初中跨越的一個(gè)難點(diǎn)厨姚，很多同學(xué)就是在這個(gè)轉(zhuǎn)變的過(guò)程中遇到了很大的麻煩。

那如何解決這個(gè)問(wèn)題呢键菱？一個(gè)很好的方法谬墙，就是類(lèi)比學(xué)習(xí)。

一经备、為什么要用字母代表數(shù)

有一天拭抬，善于思考的小聰同學(xué)在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)神奇的規(guī)律：

于是，他開(kāi)心的找到老師侵蒙，興高采烈地說(shuō)道：“老師造虎，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)神奇的規(guī)律》坠耄”?

?老師同樣開(kāi)心的問(wèn)道：“什么規(guī)律啊算凿，快來(lái)給老師說(shuō)一說(shuō)±绻Γ”?

?小聰剛要說(shuō)氓轰，突然意識(shí)到一個(gè)問(wèn)題，我該怎么表達(dá)這個(gè)規(guī)律呢浸卦？想了一會(huì)后署鸡，用文字語(yǔ)言說(shuō)到：“一個(gè)數(shù)減1乘以這個(gè)數(shù)加1，等于這個(gè)數(shù)的平方減1⊙デ欤”

同學(xué)們时捌，你們會(huì)不會(huì)覺(jué)得小聰?shù)奈淖终Z(yǔ)言表示很繁瑣呢？如果只是口頭表達(dá)還好撒穷，如果書(shū)面表達(dá)匣椰，就真的太繁瑣了。現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了端礼，為了方便的表示一般規(guī)律禽笑，我們?nèi)祟?lèi)引入了字母表示數(shù)。如果用字母表示任意數(shù)蛤奥，那么小聰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律就可以很簡(jiǎn)潔佳镜、方便地表示為

用字母表示數(shù)的原因還不止如此，接下來(lái)老師問(wèn)了小聰一個(gè)問(wèn)題：“你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是不是一定正確呢凡桥？”

小聰很自信地說(shuō)到蟀伸，“絕對(duì)正確，我們可以舉其他例子缅刽，比如啊掏，可以一直舉下去∷ッ停”

同學(xué)們迟蜜，你認(rèn)同小聰?shù)摹白C明”方法嗎？或者說(shuō)啡省，小聰?shù)姆椒ㄋ恪白C明”嗎娜睛？

答案是否定的，因?yàn)槲覀儾豢赡馨阉械那闆r都舉完卦睹，站在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌绕杞洌覀冇肋h(yuǎn)無(wú)法保證不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“黑天鵝”。

用字母表示之后结序，我們就可以很方便的嚴(yán)格證明了——

以上障斋，就是我們?yōu)槭裁匆胱帜副硎緮?shù)的兩個(gè)原因：

1.?可以方便、簡(jiǎn)潔徐鹤、清晰的表示一般規(guī)律垃环；

2. 便于嚴(yán)格的證明一般規(guī)律。

二凳干、代數(shù)式如何分類(lèi)晴裹？

既然我們引入了字母表示數(shù)，那會(huì)出現(xiàn)什么情況呢救赐？當(dāng)然是各種各樣的代數(shù)式了涧团，比如：

大家想一想只磷，不同的字母+加減乘除、乘方開(kāi)方等運(yùn)算泌绣，能組合出多少種結(jié)果出來(lái)钮追？

那么，這些看似“雜亂無(wú)章阿迈，毫無(wú)規(guī)律”的代數(shù)式元媚，我們?cè)撛趺刺幚砟兀?/p>

我們可以類(lèi)比對(duì)“數(shù)”的處理——分析代數(shù)式的特點(diǎn)，并根據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)苗沧。?

類(lèi)比之下刊棕，我們可以把代數(shù)式（其實(shí)是有理式）分為整式和分式，判別依據(jù)就是分母中含有字母待逞。此時(shí)我們把焦點(diǎn)聚焦到“字母”上甥角，不再關(guān)注系數(shù)（純數(shù)字），比如是分式识樱，而屬于整式嗤无。

初學(xué)《整式》時(shí)，我們沒(méi)有提到“無(wú)理式”的概念怜庸，在學(xué)習(xí)了“無(wú)理數(shù)”之后当犯，我們知道了生活中還存在一類(lèi)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。仿照“無(wú)理數(shù)”割疾，我們自然也會(huì)在代數(shù)式中找到相對(duì)應(yīng)的“無(wú)理式”嚎卫，至于判別依據(jù)，就是看代數(shù)式中是否含有“根號(hào)”杈曲，所以又叫“根式”【注：在目前所學(xué)階段驰凛，我們可以把無(wú)理式與根式劃等號(hào)】胸懈。當(dāng)然了担扑，在初中階段，我們所接觸的根式都是二次根式趣钱，最多拓展到三次根式涌献。

綜上所述，我們重新梳理代數(shù)式的分類(lèi)：

大家發(fā)現(xiàn)沒(méi)有首有，我們?cè)?b>對(duì)代數(shù)式分類(lèi)時(shí)燕垃，所依據(jù)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)算形式的不同。我們還知道井联，整式還可以進(jìn)一步分為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式卜壕。其實(shí)，這種分類(lèi)方法也是基于運(yùn)算形式的不同烙常。

我們先來(lái)復(fù)習(xí)一下單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的概念：

（1）在整式中轴捎，數(shù)與字母只有乘法（含乘方）運(yùn)算的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，比如侦副，侦锯。

（2）在整式中，除了乘法（含乘方）運(yùn)算之外秦驯，還有加減運(yùn)算的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式尺碰，比如∫氚——課本上的說(shuō)法是“幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式”亲桥。

這樣的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)倒也清晰，但我們還是要多問(wèn)一句固耘，這樣分類(lèi)的意義何在两曼？我們?yōu)槭裁匆@么分？我們用三個(gè)例子說(shuō)明：

這三個(gè)典型錯(cuò)誤玻驻，是同學(xué)們經(jīng)常遇到的悼凑，說(shuō)明單項(xiàng)式與多項(xiàng)式在參與其他運(yùn)算時(shí)，會(huì)出現(xiàn)完全不同的運(yùn)算結(jié)果璧瞬，絕對(duì)不能簡(jiǎn)單套用户辫，這點(diǎn)同學(xué)們一定要切記！

多說(shuō)一句嗤锉，借助這3個(gè)問(wèn)題討論區(qū)分單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的意義渔欢，只是數(shù)學(xué)老師方便大家理解記憶，屬于老師的一孔之見(jiàn)瘟忱。大家可以在后續(xù)的學(xué)習(xí)中自行體會(huì)對(duì)整式進(jìn)一步分為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的必要性及意義奥额。

綜上，對(duì)比“數(shù)”的分類(lèi)访诱，我們?cè)僖淮胃麓鷶?shù)式分類(lèi)：

同分?jǐn)?shù)一定是最簡(jiǎn)形式一樣垫挨，在代數(shù)式分類(lèi)時(shí)，也要是最簡(jiǎn)形式触菜，簡(jiǎn)單說(shuō)就是不含括號(hào)九榔，比如我們不能說(shuō)是單項(xiàng)式。

在整個(gè)分類(lèi)中涡相，整式哲泊、根式我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了，下個(gè)學(xué)期催蝗，就輪到分式的學(xué)習(xí)了切威。學(xué)習(xí)的時(shí)候，仍然記得與分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)類(lèi)比丙号，切記先朦，類(lèi)比學(xué)習(xí)決不等于照搬照抄且预。

還有一個(gè)問(wèn)題，我們知道烙无，代數(shù)式是由“字母+運(yùn)算”的形式組成的锋谐。但在對(duì)代數(shù)式分類(lèi)時(shí)，所依據(jù)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)算形式的不同截酷。我們?yōu)槭裁床贿x擇“字母”的不同作為分類(lèi)依據(jù)呢涮拗？這個(gè)問(wèn)題，大家可以自行思考迂苛。

三三热、代數(shù)式的運(yùn)算

在處理完代數(shù)式的分類(lèi)之后，就是代數(shù)式的運(yùn)算了三幻，我們同樣選擇類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)就漾。大家在計(jì)算時(shí)，特別不喜歡分?jǐn)?shù)念搬，這是因?yàn)橛?jì)算分?jǐn)?shù)時(shí)還需要通分抑堡。為什么要通分呢？這是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位不同朗徊，所以我們要統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位首妖。

我們還是通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：

整數(shù)的計(jì)數(shù)單位是1，比如4我們可以理解為4個(gè)計(jì)數(shù)單位1爷恳，5可以理解為5個(gè)計(jì)數(shù)單位1有缆，那4加5就可以理解為：4個(gè)計(jì)數(shù)單位+5個(gè)計(jì)數(shù)單位=9個(gè)計(jì)數(shù)單位，也就是9個(gè)1温亲，所以結(jié)果是9棚壁。如果用算數(shù)表示就是：

如果是分?jǐn)?shù)，那結(jié)果會(huì)是怎樣的呢栈虚？分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是袖外，我們同樣舉例說(shuō)明：

把一個(gè)披薩平均分成了4分，那么每一份就是整體的节芥，3塊披薩就是3個(gè)在刺，也就是逆害。

同理头镊，如果把同樣的披薩平均分成5份，那么每一份就是整體的魄幕，3塊披薩就是3個(gè)相艇，也就是。

現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了纯陨，第一個(gè)3塊與第二個(gè)3塊一樣嗎坛芽？答案是不一樣留储，因?yàn)槊恳粔K的大小不一樣，在數(shù)學(xué)里就是計(jì)數(shù)單位不一樣咙轩，所以我們不能簡(jiǎn)單的把和直接相加获讳。

為了要把兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，我們首先要統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位活喊，這就是通分丐膝。

根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，我們可以令钾菊，就是把計(jì)數(shù)單位“變換”為帅矗；同理，令煞烫。所以就有：

現(xiàn)在我們繼續(xù)看一個(gè)代數(shù)式的加法浑此，，還能不能繼續(xù)運(yùn)算呢滞详？答案是不行凛俱，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=a" alt="a" mathimg="1">和代表不同的含義，二者沒(méi)有相同的計(jì)數(shù)單位料饥，并且還不能像分?jǐn)?shù)一樣通分最冰，所以這就是最后的結(jié)果。

同樣的例子還包括稀火，我們現(xiàn)在知道暖哨，這是因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csqrt%7B2%7D%20" alt="\sqrt{2} " mathimg="1">與都是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)凰狞，簡(jiǎn)單說(shuō)就是沒(méi)有規(guī)律的數(shù)篇裁，當(dāng)然也找不到合適的計(jì)數(shù)單位，所以也不能直接相加赡若。

正因如此达布，根式的加減法與整式的合并同類(lèi)項(xiàng)很相似，區(qū)別就在于根式需要進(jìn)一步化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式逾冬，才能區(qū)別是不是“同類(lèi)根式”黍聂，比如與其實(shí)是“同類(lèi)根式”，身腻。這也是我們?yōu)槭裁匆?jiǎn)二次根式的原因产还。

這里多說(shuō)一句，沒(méi)有相同的計(jì)數(shù)單位嘀趟，不能直接相加減脐区，但乘除法卻不受影響，這里面的因?yàn)樗运矗覀兙鸵院罄^續(xù)探究了牛隅。