寫在前面
這篇文章是對(duì) Braun, Martin, "Differential Equations and Their Applications", 4th ed.,Chap.4,4.5, Springer 的一段數(shù)學(xué)模型的翻譯（略去了一些不重要的部分）和討論。這本書是我在本科大二“線性代數(shù)及微分方程”這門課的推薦書籍，它的特色在于在理論之外給出了各種各樣的模型的討論：人口模型矿咕，分岔理論翔悠，淋病傳播（查完這個(gè)單詞跳出的圖片瞎了我的眼），電路網(wǎng)絡(luò)……不過(guò)這本書本來(lái)就屬于 Springer 的 "Applied Mathematics" 系列积仗，況且外國(guó)的應(yīng)用不像中國(guó)的應(yīng)用充滿了一種小學(xué)應(yīng)用題的強(qiáng)行應(yīng)用的感覺(jué)，在數(shù)學(xué)公式之余還能擴(kuò)充各種學(xué)科的知識(shí)，還是挺有趣的习寸。
文中以兩個(gè)星號(hào)（**）開(kāi)頭的段落不含數(shù)學(xué)討論，只關(guān)注數(shù)學(xué)模型的讀者可以跳過(guò)器仗，不印象連貫性融涣。
理查德森的沖突模型 (L. F. Richardson's theory of conflict)
**我們接著要建立描述互相對(duì)抗的國(guó)家間軍事實(shí)力變化的數(shù)學(xué)模型。兩國(guó)都在防范對(duì)方可能發(fā)起的進(jìn)攻精钮，并且將自己的軍事籌備建立在對(duì)方的軍事實(shí)力變化上威鹿。我們的模型基于理查德森（Lewis Fry Richardson）的研究。嘗試建立對(duì)于國(guó)際政治或者戰(zhàn)爭(zhēng)預(yù)測(cè)的科學(xué)模型已經(jīng)不是什么新事情了轨香，雖然并不可能忽你，但人們并沒(méi)有停止腳步。就像理查德森所說(shuō)：“為什么那么多的國(guó)家從不情愿卻又從不停止軍備競(jìng)賽臂容？因?yàn)樗麄兌紲?zhǔn)循著機(jī)械的傳統(tǒng)科雳，因?yàn)樗麄儫o(wú)法控制國(guó)與國(guó)的均勢(shì)根蟹。用方程來(lái)描述這個(gè)過(guò)程并不是不可能的≡忝兀”
首先简逮，設(shè)想兩個(gè)國(guó)家 Jedesland 和 Andersland 并用 x=x(t) 和 y=y(t) 分別表示它們軍備實(shí)力（譯注：jedes 在德語(yǔ)中是 every 的意思， anders 在德語(yǔ)中是 another,different 的意思尿赚， das Land 在德語(yǔ)中是國(guó)家的意思散庶，本書作者是德國(guó)人）。x 的增長(zhǎng)率顯然決定于 y 的大小和 Jedesland 對(duì)于 Andersland 本身具有的不滿之情凌净。在最簡(jiǎn)單的模型中我們把這兩項(xiàng)分別記為 ky 和 g (k,g>0)悲龟。另一方面，軍費(fèi)將限制 x 的增長(zhǎng)冰寻，我們將這項(xiàng)記為 -ax (a>0)须教。對(duì)于 y 同理。于是我們得到了下列微分方程：
**戰(zhàn)爭(zhēng)的起因在歷史上始終爭(zhēng)論不休斩芭。修昔底德（Thucydides）聲稱軍備導(dǎo)致了戰(zhàn)爭(zhēng)轻腺，在《伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)》中他寫道：“我相信導(dǎo)致戰(zhàn)爭(zhēng)的那個(gè)未被承認(rèn)卻真實(shí)重要的原因，是斯巴達(dá)人對(duì)于雅典軍事力量增長(zhǎng)的恐懼”秒旋。一戰(zhàn)時(shí)英國(guó)外交部大臣愛(ài)德華·格雷（Edward Grey）也寫道：“各國(guó)力量的增加并不能為他們帶來(lái)想要的安全感和對(duì)自己力量的正確認(rèn)識(shí)约计，反而會(huì)帶來(lái)的他國(guó)的擔(dān)憂和對(duì)實(shí)力增長(zhǎng)的警覺(jué)。歐洲的各類軍力增長(zhǎng)帶來(lái)的恐懼和不安全感使得戰(zhàn)爭(zhēng)不可避免迁筛。這就是這場(chǎng)大戰(zhàn)真正的根源煤蚌。”
**另一方面细卧，埃默里（L. S. Amery尉桩，1930年代英國(guó)議會(huì)議員）則強(qiáng)烈的反對(duì)這種觀點(diǎn)。在下議院中提到格雷大臣的觀點(diǎn)時(shí)贪庙，埃默里回復(fù)說(shuō)：“恕我冒昧地說(shuō)一句蜘犁，這位尊敬的政治家所說(shuō)的觀點(diǎn)是完全錯(cuò)誤的，事實(shí)上軍力競(jìng)爭(zhēng)和戰(zhàn)爭(zhēng)僅僅是國(guó)際間目標(biāo)利益沖突的表現(xiàn)止邮。戰(zhàn)爭(zhēng)是由于塞爾維亞这橙，意大利以及羅馬尼亞覬覦奧地利的領(lǐng)土，而奧地利奮起反抗而導(dǎo)致的导披。而法國(guó)在一旁等待收復(fù)阿爾薩斯（AlsacaLorraine）的野心更擴(kuò)大了戰(zhàn)爭(zhēng)的規(guī)模屈扎。這些國(guó)家利益的沖突而不是軍力本身的存在導(dǎo)致了戰(zhàn)爭(zhēng)×秘埃”
我們的微分方程把兩種沖突因素都考慮了進(jìn)來(lái)鹰晨，仔細(xì)觀察式子我們可以做出一些重要猜測(cè)。首先假設(shè) g 和 h 都是零，那么 x(t)=y(t)=0 就是方程的一個(gè)平衡解模蜡。也就是說(shuō)漠趁，當(dāng) x，y忍疾，g闯传，以及 h 都置為零時(shí)，我們可以得到 x(t)=y(t)=0 卤妒。這種理想狀態(tài)就是無(wú)武裝無(wú)敵意的永久平衡丸边，比如1817年以來(lái)的美加邊界以及1905年以來(lái)的瑞典挪威邊界。
這同時(shí)也表明了有敵意存在時(shí)這種平衡是不可能的荚孵。假設(shè) x 和 y 在某一時(shí)刻同時(shí)等于0，那么我們得到
很顯然兩國(guó)將重新武裝自己來(lái)對(duì)抗對(duì)方纬朝。
以上都是對(duì)稱的情況收叶，接著我們考慮單方面裁軍也就是在某一時(shí)刻只有 y=0 的情況。這時(shí)
顯然 y 不可能一直為零共苛，也就是說(shuō)單方面裁軍的均勢(shì)是不可維持的判没。這也就是德國(guó)在凡爾賽條約下裁軍十萬(wàn)使得自己的武裝力量少于領(lǐng)國(guó)后，在1933-1936年大量重新武裝的原因隅茎。
當(dāng)防御成為方程中的主要因素時(shí)澄峰，就會(huì)導(dǎo)致軍備競(jìng)賽。也就是方程組：
其解有以下形式
因此當(dāng) A>0 時(shí)兩國(guó)武裝都將趨于無(wú)窮大辟犀。這也可以解釋為一場(chǎng)大戰(zhàn)即將來(lái)臨俏竞。
很顯然，我們的這個(gè)模型是不精確的堂竟，因?yàn)槲覀儧](méi)有把國(guó)際合作和經(jīng)濟(jì)交易考慮進(jìn)去魂毁。雙邊合作往往可以降低兩國(guó)的敵意。這促使我們重新審視 x(t) 以及 y(t) 的定義：我們應(yīng)把它們視為威脅量與合作量的差值出嘹。也就是說(shuō) x 是 Jedesland 的軍費(fèi)減去其對(duì) Andersland 的出口量席楚，對(duì) y 同理。注意到合作往往是雙贏税稼，而軍備競(jìng)賽往往帶來(lái)更大一輪的競(jìng)賽烦秩。并且，國(guó)家往往有出于開(kāi)銷的考慮而減少合作的傾向郎仆，因此我們的修正意義代表了一種更普遍的情況只祠。這里我們把修正記為
其中各項(xiàng)分別為 Jedesland 的軍費(fèi)支出，Jedesland 的出口量丸升，Andersland 的軍費(fèi)支出和 Andersland 出口量铆农。
原方程組存在單一的平衡解：
我們現(xiàn)在來(lái)考慮這個(gè)平衡解是否是穩(wěn)定的。因此我們用以下形式改寫方程：
將其平衡解設(shè)為
并設(shè)
時(shí)只有一個(gè)正根郊霎，意味著這個(gè)解不平衡。
接著我們考慮更為復(fù)雜的情況爷绘。顯然书劝，想要衡量 g 和 h 是不現(xiàn)實(shí)的，當(dāng)我們可以通過(guò)合理估計(jì)得到 a土至，b购对，k 和 l 的數(shù)值。他們的單位是時(shí)間的倒數(shù)陶因。物理學(xué)家稱這種數(shù)值為弛豫時(shí)間 （relaxation times）骡苞，因?yàn)楫?dāng) y 和 g 都為零時(shí)：
因此弛豫時(shí)間意味著當(dāng)國(guó)家在沒(méi)有敵意也沒(méi)有外界武裝壓力時(shí)軍備自然減少到2.718分之一的時(shí)間。理查德森把這個(gè)時(shí)間視為國(guó)家議會(huì)的換屆期楷扬。因此對(duì)于議會(huì)五年一換的英國(guó)解幽，他給出了 a=0.2 的數(shù)值。
為估計(jì) k 和 l 的數(shù)值烘苹，我們首先讓 g=0 以及 y=y1躲株，這樣我們得到
因此 k 的倒數(shù)意味著當(dāng)：(i) Andersland 的軍備維持不變時(shí)镣衡，(ii) Jedealand 對(duì) Andersland 無(wú)敵意霜定，(iii) 不考慮軍費(fèi)費(fèi)用時(shí)，Jedesland 追上 Andersland 的軍備所需的時(shí)間廊鸥∪槐考慮德國(guó)在1933-1936年之間的變化。德國(guó)從幾乎零武裝到趕上領(lǐng)國(guó)的力量只花了三年黍图。假設(shè)敵意的促進(jìn)作用和軍費(fèi)的阻礙作用恰好抵消曾雕，那么對(duì)于德國(guó)我們得到 k=0.3 每年。更進(jìn)一步助被，k 的值顯然和國(guó)家的工業(yè)水平相關(guān)剖张，那么若國(guó)家的工業(yè)水平是當(dāng)時(shí)德國(guó)的一半，那么我們可以得到 k=0.15 每年揩环，以此類推搔弄。
(譯者注：此處作者用了 k 在式子中的表觀意義（軍備擴(kuò)張能力）和實(shí)際決定因素（工業(yè)）來(lái)考慮 k 的值，這是數(shù)學(xué)建模的常用方法)
接著我們將其應(yīng)用到1909-1914的歐洲軍備競(jìng)賽丰滑。 法國(guó)和俄國(guó)結(jié)盟(Jedesland)顾犹，奧匈帝國(guó)和德國(guó)結(jié)盟(Andersland)，而意大利和英國(guó)并未明確加入任一方。當(dāng)時(shí)兩者的經(jīng)濟(jì)實(shí)力大約相等并且約等于德國(guó)單國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力的三倍(譯者：前面不是1933年到1936年的德國(guó)嗎炫刷，這個(gè)估計(jì)有點(diǎn)馬)擎宝，因此令 k=l=0.9 。同時(shí)假設(shè) a=b=0.2浑玛， 因此其平衡解是不穩(wěn)定的绍申。
顯然我們的模型十分粗糙，而其中一個(gè)原因是因?yàn)槲覀兗僭O(shè)兩國(guó)的敵意是不隨時(shí)間變化的顾彰。而事實(shí)上政治极阅，經(jīng)濟(jì)，突發(fā)事件等都可能引起敵意的巨大變化（甚至可以是不連續(xù)的）涨享，因此我們將兩個(gè)微分方程相加得到：其中歷史關(guān)系如下表：
其斜率
原書Reference：Richardson, L. F.., "Generalized foreign politics," The British Journal of Psychology, monograph supplement #23, 1939
翻譯完發(fā)現(xiàn)好累..后面還有一個(gè)以人數(shù)和武器建模的軍隊(duì)傷亡模型(并且用于硫磺島比這個(gè)吻合的多的)不知道要不要繼續(xù)..
