2019-05-01

滾降設(shè)計
- 若是LPF涯冠，時域 $x(t)$ 的拖尾按 $\frac{1}{t}$ 衰減磁滚，意味著對抽樣時鐘信號的準(zhǔn)確度要求很高。
- 頻域 $X(f)$ 是邊緣銳降的理想LPF擦酌，不可實現(xiàn)俱诸。
- 解決途徑：以犧牲頻帶為代價，改銳降為滾降
頻譜滾降
- 改銳降為滾降
  - $W_1 = \frac{1}{2T_s}$
  - 與奈奎斯特極限帶寬 $W_1$ 相比赊舶，因滾降而多花費的帶寬的比例叫滾降因子或滾降系數(shù)： $\alpha = \frac{W_2}{W_1}$
  - 滾降系數(shù)為0就是奈奎斯特極限
  - 滾降后的帶寬是 $W_1(1+\alpha) = \frac{1+\alpha}{2T_s} = (1+\alpha)\frac{R_s}{2}$ 睁搭，頻帶利用率是 $\frac{2}{1+\alpha}Baud/Hz$
直線滾降
- 寬度為A和B的兩個矩形卷積后是梯形，梯形的頂寬是 $|A-B|$ ,底寬是 $|A+B|$
- 直線滾降是兩個矩形的卷積笼平，一個寬度是 $2W_1 = \frac{1}{T_s}$ 园骆，另一個寬度是 $2W_2 = 2\alpha W_1$ 。卷積后的梯形的頂寬是 $2(W_1-W_2) = 2(1-\alpha)W_1$ 寓调，底寬是 $2(W_1+W_2) = 2(1+\alpha)W_1$ 锌唾。頻域卷積對應(yīng)時域乘積，直線滾降的總體沖激響應(yīng)是 $x(t) = sinc(2W_1t)sinc(2W_2t) = sinc(\frac{t}{T_s})sinc(\frac{\alpha t}{T_s}) = T_s^2 \frac{sin(\frac{\pi t}{T_s})sin(\frac{\alpha\pi t}{T_s})}{\pi^2t^2}$
- $x(t)$ 按 $\frac{1}{t^2}$ 衰減
升余弦滾降
- 實際中最常用的是升余弦滾降夺英，其滾降部分的形狀是升起的余弦（取余弦的半個周期后升起）晌涕，滾降系數(shù)是 $\alpha = \frac{W_2}{W_1},W_1 =\frac{1}{2T_s}$
升余弦滾降的總體傳遞函數(shù)
- - $\alpha = 0$ 理想低通LPF
  - $\alpha = 1$ ， $X(f) = \begin{cases}\frac{T_s}{2}[1+cos\pi f T_s],|f| \leq \frac{1}{T_s}\\0,|f|> \frac{1}{T_s} \end{cases}$
  - $x(t) = sinc(\frac {t}{T_s})\cdot \frac{cos(\frac {\alpha \pi t}{T_s})}{1-4\alpha^2 (\frac{t}{T_s})^2}$ . $x(t)$ 按照 $\frac{1}{t^3}$ 衰減.
  - $\alpha = 1$ 痛悯， $x(t) = sinc(\frac {t}{T_s})\cdot \frac{cos(\frac {\pi t}{T_s})}{1-4(\frac{t}{T_s})^2}$
  - - 滾降系數(shù)介于0到1之間渐排， $\alpha$ 越小，波形震蕩起伏越大灸蟆，傳輸頻帶擴展小，反之亲族，波形震蕩起伏越小炒考，頻帶擴展增大。
$\alpha$ 越大霎迫，則衰減越快斋枢，帶寬越大，滾降越緩知给，實現(xiàn)難度越小
$\alpha$ 越小瓤帚，則衰減越慢，帶寬越小涩赢，滾降越陡戈次，實現(xiàn)難度越大
升余弦滾降應(yīng)用
- WCDMA參數(shù)
  - 碼片成形的滾降因子0.22
  - 碼片速率3.84MChips/s
  - 信道帶寬5MHz
- TD-CDMA
  - 碼片成形的滾降因子0.22
  - 碼片速率4.096MChips/s
帶寬的計算
- 擬用二進制方式在基帶信道中傳送10Mbps信號，給出以下帶寬
  - 最小Nyquist帶寬： $W = \frac{R_s}{2}$
  - 采用 $\alpha = 0.25$ 升余弦滾降的帶寬： $W = \frac{R_s}{2}(1+\alpha)$
  - 采用manchester碼的主瓣帶寬： $\tau = \frac{T_s}{2} = \frac{1}{2R_s}$
  - 采用NRZ碼的主瓣帶寬： $\tau = T_s = \frac{1}{R_s}$
  - 采用半占空的RZ碼的主瓣帶寬： $\tau = \frac{T_s}{2} = \frac{1}{2R_s}$

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