快速傅里葉變換FFT(Fast Fourier Transform)

快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)用來計算離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform,DFT）及其逆變換（IDFT），本質(zhì)上多項式乘法實際上是多項式系數(shù)向量的卷積（convolution）
（以上百度）

看了很多網(wǎng)上關(guān)于FFT的講解卦停，有一些是直接忽略了公式的推導(dǎo)疼阔，另外一些有推導(dǎo)，但是推導(dǎo)中的細(xì)節(jié)卻沒有講清楚待牵。本著不懂就學(xué)的心態(tài)，我把FFT的思維和推導(dǎo)細(xì)節(jié)用公式講清楚，方便后人能更細(xì)致地學(xué)習(xí)FFT氯质。

在了解FFT之前譬淳，需要有一些前置的知識档址，以下為目錄。

歐拉函數(shù)
復(fù)數(shù)及單位根
多項式的系數(shù)邻梆、點值表達(dá)和多項式相乘
FFT的思維過程（Cooley-Tukey 算法）
4.1 DFT
4.2 IDFT
FFT的實現(xiàn)過程以及FNT

一守伸、歐拉函數(shù)

$\tag{1} e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 其中i為虛數(shù)單位即 $\tag{2} i^2 = -1$ 即虛數(shù)單位 $\sqrt{-1}$

二、復(fù)數(shù)及單位根

復(fù)數(shù)形式： $a+bi$ 浦妄，其中i為虛數(shù)單位

復(fù)數(shù)乘法：對于兩個復(fù)數(shù) $A=a_0+b_0i$ 和 $B=a_1+b_1i$ 顽馋，則 $A*B = a_0a_1+b_0b_1i^2+(a_0b_1+a_1b_0)i=a_0a_1-b_0b_1+(a_0b_1+a_1b_0)i$
由于歐拉公式（見公式1）令 $a=rcos\theta , b=rsin\theta$ 則復(fù)數(shù) $\tag{3} a+bi = r(cos\theta + isin\theta)=re^{i\theta}$
其中 $r$ 為該復(fù)數(shù)所在復(fù)平面圓的半徑， $\theta$ 為該復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的幅角助被。則兩個復(fù)數(shù)為 $A=r_Ae^{i\theta_{A}}, B=r_Be^{i\theta_{B}}$ 鲸阻，即 $\tag{4}A*B=r_Ar_Be^{i(\theta_{A}+\theta_{B})}$
根據(jù)4式可得，兩個復(fù)數(shù)的相乘可以看作是幅角相加阅懦，模長相乘和二。

單位根：對于滿足 $w^n=1$ 方程的復(fù)數(shù)，我們稱其為n次單位根耳胎。由于根據(jù)復(fù)數(shù)乘法惯吕，我們可知：復(fù)數(shù)相乘為幅角相加惕它，模長相乘。則對于每個單位根废登，模長為1怠缸，幅角的n倍為0。即 $r=1,sin{(n \theta )} = 0$ （易得）钳宪。

為了保證幅角的n倍始終為0揭北，由于 $sin(2k\pi)=0,k=0,1,2,...,n$ 這個性質(zhì)，我們可以將單位根表示為 $e^{\frac{2k\pi i}{n}},k=0,1,2,...,n$ 吏颖，其中 $r=1,\theta=\frac{2k\pi }{n},k=0,1,2...,n$ 搔体。

我們發(fā)現(xiàn)無論k取值， $\theta$ 的n倍始終為0半醉。

記 $w_n=e^{\frac{2k\pi}{n}}$ 疚俱，則n次單位根可以表示為 $w_n^{0},w_n^{1},w_n^{2},...,w_n^{n-1}$

三、多項式的系數(shù)缩多、點值表達(dá)和多項式相乘

多項式的系數(shù)表達(dá)：給定一個多項式 $\tag{5} f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i =a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$
其中 $\mathbf {a} = (a_0,a_1,a_2,...,a_n)$ 為系數(shù)向量

多項式的點值表達(dá)：給定一個多項式如公式（5）呆奕，我們將其離散化，設(shè)取 $n+1$ （這里為什么是n+1項衬吆，將在第四節(jié)中講到）互不相同的值 $P = \lbrace p_0,p_1,p_2,p_3,...,p_{n-1},p_n\rbrace$ 梁钾，將其代入可得 $\tag{6} A(x)=\lbrace(p_0,f(p_0)),(p_1,f(p_1)),(p_2,f(p_2)),...,(p_n,f(p_n))\rbrace$ ，則 $A(x)$ 為 $f(x)$ 在 $P$ 上的點值表達(dá)逊抡。

多項式系數(shù)表達(dá)的乘法：給定兩個多項式 $\tag{6} A(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$
$\tag{7} B(x)=\sum_{i=0}^nb_ix^i=b_0x^0+b_1x^1+b_2x^2+...+b_{n-1}x^{n-1}+b_nx^n$
則多項式系數(shù)表達(dá)的乘法為 $\tag{8} C(x)=A(x)*B(x)=\sum_{i=0}^{2n}c_ix^i$
其中:
$\tag{9} c_i = \sum_{j+k=i,0\leq j,k\leq n} a_jb_kx^i$
有式（9）可得姆泻，計算復(fù)雜度為 $\omicron(n^2)$

多項式點值表達(dá)的乘法：給定兩個多項式如式（6）與（7），則其在 $P=\lbrace p_0,p_1,p_2,...,p_{n-1},p_n \rbrace$ 上的點值表達(dá)分別為：
$\tag{10} A'(x)=\lbrace(p_0,A(p_0)),(p_1,A(p_1)),(p_2,A(p_2)),...,(p_n,A(p_n))\rbrace$
$\tag{11} B'(x)=\lbrace(p_0,B(p_0)),(p_1,B(p_1)),(p_2,B(p_2)),...,(p_n,B(p_n))\rbrace$
則多項式點值表達(dá)的乘法為
$\tag{12} C'(x) =A'(x)*B'(x)=\lbrace (p_0,A(p_0)*B(p_0)),(p_1,A(p_1)*B(p_1)),(p_2,A(p_2)*B(p_2)),...,(p_n,A(p_n)*B(p_n))\rbrace$
可見冒嫡，當(dāng)我們已知 $A'(x)和B'(x)$ 即可在 $\omicron(n)$ 的復(fù)雜度下求得結(jié)果多項式的點值表達(dá)拇勃。

四、FFT的思維過程（Cooley-Tukey 算法）

對于一個多項式的乘法孝凌，根據(jù)上述前置知識的補(bǔ)充方咆，我們可以得知：降低多項式乘法復(fù)雜度的方法是將常見的多項式系數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)變?yōu)槎囗検降狞c值表達(dá)，做完點值表達(dá)的乘法后蟀架，最后再將點值表達(dá)轉(zhuǎn)化為系數(shù)表達(dá)瓣赂，即可完成多項式乘法。
所以問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋?br> 1.如何將多項式系數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)變?yōu)槎囗検近c值表達(dá)
2.如何將多項式點值表達(dá)轉(zhuǎn)變?yōu)槎囗検较禂?shù)表達(dá)
由此引出了離散傅里葉變換 DFT（Discrete Fourier Transformation）和逆離散傅里葉變換 IDFT(Inverse Discrete Fourier Transformation)

4.1 離散傅里葉變換DFT(Discrete Fourier Transformation)

離散化多項式的一種方法是將值代入到多項式中辜窑，依次求出點值钩述。顯而易見，這種方法的復(fù)雜度是 $\omicron(n^2)$ 的穆碎，這與我們降低復(fù)雜度的想法是沖突的。
于是我們引入了FFT的經(jīng)典算法——Cooley-Tukey 算法职恳，來降低離散化的復(fù)雜度所禀，這是一個基于分治策略的算法方面。

給定一個多項式 $\tag{13} A(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$
我們將其根據(jù)奇偶項分成兩個項數(shù)相同的多項式(將多項式補(bǔ)充到 $2^k項,n\leq 2^k$ ，補(bǔ)充項數(shù)系數(shù)為0色徘。PS：為什么是 $2^k$ 項呢恭金，后續(xù)將會提及)：
$\tag{14} A_0(x)=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}x^{2i}=a_0x^0+a_2x^2+...+a_nx^n$
$\tag{15} A_1(x)=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}x^{2i+1}=x\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}x^{2i}=a_1x^1+a_3x^3+...+a_{n-1}x^{n-1}$
顯而易見： $A(x)=A_0(x)+A_1(x)$

在進(jìn)一步之前：我們需要返回單位根的知識點。根據(jù)n次單位根的表達(dá) $w_n^k,k=0,1,2,...,n-1$ 褂策，我們可以獲得一個等式
$\tag{16} w_n^{\frac{n}{2}+k}=w_n^{\frac{n}{2}}·w_n^k=-w_n^k$

我們將其代入式子（14）横腿，（15）可得：
$\tag{17} A_0(w_n^k)=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}w_n^{2ki}=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}w_{\frac{n}{2}}^{ki}$
$\tag{18} A_1(w_n^k)=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}w_n^{2ki+1}=w_n^k\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}w_n^{2ki}=w_n^k\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}w_{\frac{n}{2}}^{ki}$
即 $\tag{19} A(w_n^k)=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}w_{\frac{n}{2}}^{ki}+w_n^k\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}w_{\frac{n}{2}}^{ki}$
至此我們發(fā)現(xiàn)原本需要 $n$ 次代入值的等式降低到了 $\frac{n}{2}$ 次，依次遞歸下去斤寂，則我們只需要遞歸 $log_2{n}$ 次即可在 $\omicron(1)$ 的復(fù)雜度下求得式子耿焊，即我們求得 $n+1$ 個點值對的復(fù)雜度為 $\omicron(nlog_2n)$ ，是可以接受的復(fù)雜度遍搞。

為了更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明罗侯，以下過程供還有疑問的讀者參考
由于式子（16）可得 $w_n^k=-w_n^{\frac{n}{2}+k}$
則 $\tag{20} A(w_n^{\frac{n}{2}+k})=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}w_{\frac{n}{2}}^{(\frac{n}{2}+k)i}+w_n^{\frac{n}{2}+k}\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}w_{\frac{n}{2}}^{(\frac{n}{2}+k)i}=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i}w_{\frac{n}{2}}^{ki}-w_n^k\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}a_{2i+1}w_{\frac{n}{2}}^{ki}$
其中求和中的 $w_{\frac{n}{2}}^{(\frac{n}{2}+k)i}$ 直接被替換為 $w_{\frac{n}{2}}^{ki}$ 的原因是，經(jīng)過平方以后溪猿，負(fù)號被抵消钩杰。
復(fù)雜度公式則為 $T(n)=T(\frac{n}{2})+\omicron({n})=\omicron({nlog_2n})$

以上為Cooley-Tukey離散傅里葉變換DFT的思路。

我們回到為什么我們要將多項式補(bǔ)充到 $2^k$ 項的問題上诊县，我們發(fā)現(xiàn)讲弄，根據(jù)Cooley-Tukey 分治的策略，我們需要每次分治的兩部分都有同樣的項數(shù)依痊，則總項數(shù)必須為 $2^k$ 項垂睬。

4.2 逆離散傅里葉變換IDFT(Inverse Discrete Fourier Transformation)

經(jīng)過DFT，我們將多項式的系數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)換為多項式的點值表達(dá)抗悍。在完成乘法運(yùn)算以后驹饺，我們?yōu)榱双@取系數(shù)的變換，需要將多項式的點值表達(dá)轉(zhuǎn)換為多項式的系數(shù)表達(dá)缴渊。這時我們使用的方法是逆離散傅里葉變換IDFT赏壹，他是DFT的逆。

求解IDFT的過程實際上是一個求解線性方程的問題衔沼，給出 $n$ 個線性方程為：
$\tag{21}\begin{cases} a^0(w_n^0)^0+a^1(w_n^0)^1 + ... +a^{n-1}(w_n^0)^{n-1} = A(w_n^0)\\ a^0(w_n^1)^0+a^1(w_n^1)^1 + ... +a^{n-1}(w_n^1)^{n-1} = A(w_n^1)\\...\\a^0(w_n^{n-1})^0+a^1(w_n^{n-1})^1 + ... +a^{n-1}(w_n^{n-1})^{n-1} = A(w_n^{n-1}) \end{cases}$ 矩陣形式如下：
$\tag{22} \begin{bmatrix} (w_n^0)^0 & (w_n^0)^1&...&(w_n^0)^{n-1} \\ (w_n^1)^0 & (w_n^1)^1&...&(w_n^1)^{n-1}\\...\\(w_n^{n-1})^0 & (w_n^{n-1})^1&...&(w_n^{n-1})^{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a^0\\a^1\\...\\a^{n-1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A(w_n^0)\\A(w_n^1)\\...\\A(w_n^{n-1})\end{bmatrix}$
假設(shè)上述矩陣為 $\mathbf V$ 蝌借，則對于矩陣 $\mathbf D$ 中值 $d_{ij}=-v_n^{ij}$
$\tag{23} D=\begin{bmatrix} (w_n^{-0})^0 & (w_n^{-0})^1&...&(w_n^{-0})^{n-1} \\ (w_n^{-1})^0 & (w_n^{-1})^1&...&(w_n^{-1})^{n-1}\\...\\(w_n^{-(n-1)})^0 & (w_n^{-(n-1)})^1&...&(w_n^{-(n-1)})^{n-1} \end{bmatrix}$
設(shè)兩個矩陣相乘以后的結(jié)果為 $\mathbf E=\mathbf D ·\mathbf V$
$\tag{24} e_{ij} =\sum_{k=0}^{n-1}d_{ik}v_{kj}=\sum_{k=0}^{n-1}w_n^{-ik}w_n^{kj}=\sum_{k=0}^{n-1}w_n^{k(j-i)}$
當(dāng) $j=i$ 時， $e_{ij}=n$
當(dāng) $j\neq i$ 時指蚁， $e_{ij}=\frac{1-(w_n^{j-i})^n}{1-(w_n^{j-i})}=0$
（其中由于 $w_n^{j-i}$ 為 $n$ 次單位根菩佑，又因為 $n$ 次單位根的 $n$ 次為1，所以上式成立）
所以 $\mathbf E=n\mathbf I,\mathbf D=\frac{1}{n}\mathbf V^{-1}(其中\(zhòng)mathbf I 為單位矩陣)$
則 $\tag{25} \begin{bmatrix}a^0\\a^1\\...\\a^{n-1}\end{bmatrix}= \frac{1}{n}\begin{bmatrix} (w_n^{-0})^0 & (w_n^{-0})^1&...&(w_n^{-0})^{n-1} \\ (w_n^{-1})^0 & (w_n^{-1})^1&...&(w_n^{-1})^{n-1}\\...\\(w_n^{-(n-1)})^0 & (w_n^{-(n-1)})^1&...&(w_n^{-(n-1)})^{n-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}A(w_n^0)\\A(w_n^1)\\...\\A(w_n^{n-1})\end{bmatrix}$
則IDFT便是將 $w_n^{i}=w_n^{-i}$ 對結(jié)果再做一次DFT凝化，即可獲得最后的系數(shù)稍坯。

回到為什么要有 $n+1$ 取值的原因在于：為了多項式的點值表達(dá)轉(zhuǎn)換為多項式的系數(shù)表達(dá)，我們需要系數(shù)矩陣可逆，為了使得系數(shù)矩陣可逆瞧哟，需要滿足矩陣滿秩混巧，為了滿足矩陣滿秩，我們需要使得矩陣的行數(shù)大于等于列數(shù)勤揩。則對于有 $n+1$ 個系數(shù)的多項式咧党，必須要有 $n+1$ 個以上的取值

四、FFT的實現(xiàn)過程以及FNT

在具體實現(xiàn)FFT的過程中陨亡，還需要考慮到對于每一次遞歸我們?nèi)绾芜M(jìn)行合理的劃分傍衡。于是這里引入bitreverse算法，也叫做蝴蝶變換负蠕。

16個數(shù)進(jìn)行DFT變換劃分過程

如圖所示蛙埂，這是16個數(shù)進(jìn)行DFT變換劃分的過程。網(wǎng)上的步驟說的很復(fù)雜虐急，簡單來說箱残，對于DFT的第

i

次劃分，二進(jìn)制第

i

位上為

1

的分為一類止吁，為

0

的分為一類被辑，即可完成。
舉例說明：

對于步驟一來說敬惦，第1次劃分盼理，二進(jìn)制第1位（即右邊第一位）為0的分到左邊，為1的分到右邊俄删。我們可以發(fā)現(xiàn)左邊都為偶數(shù)宏怔，右邊都為奇數(shù)。（因為奇數(shù)二進(jìn)制第1位為1）
對于步驟二的左半部分畴椰，第2次劃分臊诊，二進(jìn)制第2位（即右邊第二位）為0的分到左邊，為1的分到右邊斜脂。同理抓艳，右半部分，第2次劃分帚戳，也是二進(jìn)制第2位（即右邊第二位）為0的分到左邊玷或，為1的分到右邊。
同理片任，對每次的分組進(jìn)行劃分偏友，即可將所有的數(shù)字劃分到對應(yīng)的組中。

通過這種劃分方法对供，我們同時還能總結(jié)出另外一個規(guī)律位他，對于對于 $2^k$ 個數(shù)字中的任意一個位置的數(shù)字，假設(shè)原本位置為 $x$ ，二進(jìn)制反轉(zhuǎn)的函數(shù)為 $inverse(x)$ 棱诱，則最后其所在的位置為 $inverse(x)$ （第一個位置為0）泼橘，其中 $x$ 為 $k$ 位二進(jìn)制涝动。
舉例說明：
對于 $16（2^4）$ 個數(shù)字中的 $14（1110）$ 迈勋，則其 $4$ 位二進(jìn)制的反轉(zhuǎn)為 $0111（7）$ ，則其最后的位置為第 $7$ 位（ps：圖中沒有繼續(xù)將所有的數(shù)字劃分到每組一個醋粟，讀者可自行劃分檢驗）

這里可以補(bǔ)充一個寫法：假如我們將原數(shù)組定義為 $A$ 靡菇，經(jīng)過反轉(zhuǎn)后的數(shù)組定義為 $B$ ，則 $A[reverse(i)]=B[i]$ 米愿。
又因為如果 $i$ 是偶數(shù)厦凤，則 $i=(i>>1)<<1$ ，則對于 $reverse(i)=reverse(i>>1)>>1$ 育苟，但考慮到如果是 $i$ 是奇數(shù)较鼓，則 $((i>>1) << 1) | 1$ ，則對于 $reverse(i)=reverse(i>>1)>>1|(1<<(k-1))$ 其中 $k$ 為滿足 $2^k>n$ 的最小值违柏。
綜合寫可以寫成 $reverse(i)=reverse(i>>1)>>1 | (i\&1) << (k-1)$
通過這個寫法博烂，我們可以直接寫出所有數(shù)字經(jīng)過DFT劃分后的結(jié)果。

參考：從多項式乘法到快速傅里葉

最后編輯于：2021.03.22 17:16:00

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