本章涉及知識點
1、前言
2裸影、案例問題的提出
3挣轨、決策變量的選擇
4、基本情景的假設
5轩猩、模型的分析和建立
6卷扮、多目標函數(shù)簡化為單目標函數(shù)
7、python編程求解模型
8均践、案例結果分析
9晤锹、心得體會
一、前言
線性規(guī)劃有著廣泛的實踐應用浊猾，通過有效的組合現(xiàn)有資源來安排生產(chǎn)抖甘，來生成一個獲取最大經(jīng)濟效益的plan。在運籌學領域里葫慎，其已經(jīng)構成了一個重要分支—數(shù)學規(guī)劃衔彻。關于線性規(guī)劃的表述形式、單純形算法的原理偷办、以及使用單純形算法求解目標函數(shù)的知識點艰额，我已經(jīng)在上一篇文章線性規(guī)劃的算法分析討論分析過了
在解決實際問題的過程中，我們需要先把問題高度抽象為一個線性規(guī)劃的數(shù)學模型椒涯，通過選擇合適的決策變量柄沮，然后做出合理的情景假設，最后用嚴謹?shù)乃惴▉砬蠼饽Ｐ?/b>废岂，本篇文章打算用一個實際案例祖搓，來說明數(shù)學建模到編程實現(xiàn)的思維殿堂過程
二、案例問題的提出
市場上有n種資產(chǎn)si提供任意選擇湖苞，現(xiàn)在用數(shù)額相當大的M作一個時期的投資拯欧，已知這n中資產(chǎn)在這一時期內(nèi)購買si的平均收益率分別為ri，風險損失率分別為qi财骨，而投資的總體風險可以用購買若干個si中最大的一個風險來度量镐作，在購買si時要付交易費藏姐，費率分別為pi，當購買的金額不超過定值ui時该贾，交易費按照購買ui來計算羔杨，另外，假定同期的銀行存款利率為r0杨蛋，銀行利率既無交易費兜材，又沒有風險（r0=5%）
已知n=4時的相關數(shù)據(jù)如下
現(xiàn)用給定的資金M，有理性選擇地購買若干資產(chǎn)或者存放銀行生息六荒，使得這一時期的凈收益盡可能大护姆，總體風險盡可能小，求這個投資方案掏击？
三、決策變量的選擇
（1）si表示第i種投資項目秩铆，如股票砚亭，債券等，i=0,1,2,...n殴玛，且s0表示存入銀行生息
（2）ri捅膘，qi，pi分別表示si的平均收益率滚粟、風險損失率和交易費率寻仗，i=0,1,2,...n，且r0表示銀行存款利率凡壤，顯然當i=0的時候署尤，p0=q0=0，表示銀行生息既無交易費又無風險
（3）ui表示購買si時的交易常量定額亚侠，i=1,2,...n
（4）xi表示購買si的資金注入曹体，i=0,1,2,...n
（5）a表示投資風險界限
（6）Q表示總體收益
四、基本情景的假設
（1）投資數(shù)額M相當大
（2）投資越分散硝烂，總的風險越小
（3）投資方案的總體風險度箕别，用購買的si中最大的一個風險來度量
（4）這n+1種資產(chǎn)si之間是完全相互獨立的
（5）在購買投資的這一時期內(nèi)，ri滞谢，pi串稀，qi為定值常量，不會受到外界政治因素的影響而改變
（6）凈收益和總體風險度只受限于ri狮杨，pi母截，qi這三個參數(shù)，不會受到外界政治因素的影響而改變
五禾酱、模型的分析和建立
我們根據(jù)上述的決策變量和基本情景的假設微酬，可以有效的用數(shù)學語言來翻譯題目中的各個條件
購買si的需要承擔的風險為：
購買si產(chǎn)生的交易費為：
這里因為ui為一個定值常量绘趋，相對M顯得非常的小，故我們可以簡化分段函數(shù)的交易費為pixi
購買si產(chǎn)生的總收益為：
購買si產(chǎn)生的凈收益為：
購買si需要總花費為：
而我們的投資方案需求為：凈收益盡可能大颗管，總體風險盡可能小
翻譯為數(shù)學語言就變成如下的目標函數(shù)
而上述目標函數(shù)是有約束條件限制的陷遮，我們需要考慮購買若干si產(chǎn)生的總費用必須等于總投資數(shù)額M，故約束條件可以翻譯為如下數(shù)學語言
至此垦江，我們通過對問題的分析提取和情景的假設帽馋，將原始問題翻譯為一個個數(shù)學語言，最終建立了一個以線性規(guī)劃為基礎的數(shù)學模型比吭，而這個模型是帶著等式約束條件和兩個目標函數(shù)的多目標線性規(guī)劃模型
六绽族、多目標函數(shù)簡化為單目標函數(shù)
為了更好的使用單純形算法來求解模型，我們希望將模型中的多目標函數(shù)衩藤，化簡為單目標函數(shù)
由于在實際投資對象中吧慢，每個投資者都會承擔不一樣的風險程度，小戶型投資者只能承受低風險赏表，而賭徒型投資者愿意承擔高風險（只要他們愿意相信高回報）检诗，為此我們可以設置一個參數(shù)a用來表示該投資方案的風險界限，用它來約定限制投資方案的總風險和總投資數(shù)額的比率瓢剿，即：
則我們可以將風險最小的目標函數(shù)變化為用風險界限a來約束限制的不等式約束條件逢慌，原數(shù)學模型可以變形為：
至此，我們就轉化得到了單目標函數(shù)的線性規(guī)劃數(shù)學模型间狂，下面就可以使用單純形算法來求解模型了
七攻泼、python編程求解模型
我們根據(jù)上述建立的數(shù)學模型，帶入案例的數(shù)據(jù)來寫出案例的具體模型
其中我們假設總投資M=1鉴象，a即是風險界限忙菠，我們可以從a=0開始以常數(shù)值的步長來循環(huán)計算出與不同風險對應的目標函數(shù)最優(yōu)解收益
我們使用上一篇文章實現(xiàn)的單純形算法來求解，具體算法之前文章已經(jīng)詳細說明炼列，我們這里直接寫業(yè)務代碼即可
這里我們固定了總投資M=1只搁，循環(huán)迭代了在步長為0.001的風險度下，單純形算法求解出對應的最大利益俭尖，當風險超過0.05時停止計算并畫圖來顯示結果
八氢惋、案例結果分析
不同的風險，對應計算出不同的利潤如下
從結果上觀察分析稽犁，我們可以推理出以下幾點信息：
（1）當風險增大時焰望，收益也在隨之增大
（2）在a=0.006附近有第一個拐點A，在a=0.025附近有第二個拐點B
（3）當在A點的左邊時已亥，函數(shù)斜率很大熊赖，即風險增加很少時，利潤增長很快
（4）當在A點和B點之間時虑椎，函數(shù)斜率變小震鹉，即風險增加很多時俱笛，利潤增長較慢
（5）當在B點右邊時，函數(shù)的斜率達到最小传趾，即隨著風險的不斷增加迎膜，利潤基本保持不變
（6）當投資越分散的時候（即購買的產(chǎn)品越多），投資者承擔的風險就越小浆兰，利潤也相對較小
（7）當投資越集中的時候（即購買產(chǎn)品較為單一）磕仅，投資者承擔的風險就越大，利潤也相對較大
根據(jù)以上的推理簸呈，作為金融理財經(jīng)理或者交易員榕订，我們可以得出下面2條建議
（1）保守投資者，應該選擇拐點A作為最佳投資組合
（2）冒險投資者蜕便，應該選擇拐點B作為最佳投資組合劫恒，而B點之后的點由于收益增長太慢應該放棄
A點的投資組合為：
風險度a=0.006俗孝，收益Q=0.2019萤捆，x0=0，x1=0.24彼硫，x2=0.4吃溅，x3=0.1091，x4=0.2212（分散投資）
B點的投資組合為：
風險度a=0.025鸯檬，收益Q=0.2673决侈，x0=0，x1=0.9901喧务，x2=0赖歌，x3=0，x4=0（集中投資）
九功茴、心得體會
我們通過一個實際的案例庐冯，體驗了金融+數(shù)學+編程的整個思維建設推導過程，從現(xiàn)實問題的抽象坎穿、數(shù)學語言的翻譯展父、數(shù)學模型的建立，再到求解模型的算法分析和編程實現(xiàn)玲昧，最后從結果中證明了符合情景假設和得到最優(yōu)的收益方案栖茉，可以看到數(shù)學思維建模之美！
最后我們需要說明孵延，一切的編程推理都出自于數(shù)學模型的建立吕漂，而模型的建立往往依賴于我們的情景假設約定，如案例里我們約定ri尘应，qi惶凝，pi在投資的這一時期是常量吼虎，不會受到外界隱私的干擾，可是現(xiàn)實世界里苍鲜，這些參數(shù)往往會受到市場變動思灰，戰(zhàn)略生成，政策下達等影響而發(fā)生突變坡贺，為此我們數(shù)學建模計算得到的收益方案官辈，只能是存在于理論假設階段里，其作為最終制定投資方案的一個參考意見
