LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號對響應
傅里葉分析的重要價值在于:
1)相當廣泛的信號都能用復指數(shù)信號的線性組合來表示啃奴;
2)LTI系統(tǒng)對復指數(shù)的響應同樣是一個復指數(shù)。
傅里葉級數(shù)與傅里葉變換可以說明第一點雄妥,現(xiàn)證明第2點:
對任一輸入連續(xù)信號最蕾,LTI系統(tǒng)的輸出為:
同樣可證依溯,對于任一輸入離散信號
回顧傅里葉變換
連續(xù)時間傅里葉變換
離散時間傅里葉變換
拉普拉斯變換
連續(xù)時間傅里葉變換提供了將信號表示為形如的線性組合,然而LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應不局限于純虛數(shù)的情況瘟则,這就導致了連續(xù)時間傅里葉變換的推廣黎炉,稱為拉普拉斯變換。
回顧
當醋拧,即傅里葉變換慷嗜;
當s為一般復變量時,趁仙,即拉普拉斯變換洪添。
- 例:求信號
的拉普拉斯變換
前面已知,該信號的傅里葉變換為
其拉普拉斯變換為:
在求拉普拉斯變換時雀费,需要給出變換的代數(shù)表示式以及ROC(收斂域)干奢。
z變換
上述討論了連續(xù)時間傅里葉變換的推廣稱為拉普拉斯變換,而離散時間傅里葉變換的推廣稱為z變換盏袄。