拉普拉斯變換與z變換

LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號對響應

傅里葉分析的重要價值在于：
1）相當廣泛的信號都能用復指數(shù)信號的線性組合來表示啃奴；
2）LTI系統(tǒng)對復指數(shù)的響應同樣是一個復指數(shù)。
傅里葉級數(shù)與傅里葉變換可以說明第一點雄妥，現(xiàn)證明第2點：
對任一輸入連續(xù)信號x(t) = e^{st}最蕾，LTI系統(tǒng)的輸出為：
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau
{\boxed{y(t) = H(s)e^{st}\\ H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau}}
同樣可證依溯，對于任一輸入離散信號x[n] = z^n
{\boxed{y[n] = H(z)z^n\\ H(z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}}}

回顧傅里葉變換

連續(xù)時間傅里葉變換
{\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}X(jw)e^{jwt}dw\\ X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt}}
離散時間傅里葉變換
{\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw\\ X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}}}

拉普拉斯變換

連續(xù)時間傅里葉變換提供了將信號表示為形如e^{st}, s=jw的線性組合，然而LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應不局限于純虛數(shù)的情況瘟则，這就導致了連續(xù)時間傅里葉變換的推廣黎炉，稱為拉普拉斯變換。
回顧H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau
當s=jw, X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt醋拧，即傅里葉變換慷嗜；
當s為一般復變量時，X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt趁仙，即拉普拉斯變換洪添。

  • 例:求信號x(t) = e^{-at}u(t)的拉普拉斯變換
    前面已知，該信號的傅里葉變換為X(jw) = \frac 1{jw+a},a>0
    其拉普拉斯變換為：X(s) = \int_0^{\infty}e^{-(s+a)t}dt=\frac 1{s+a}=\frac 1{\sigma+a+jw}, Re(s)>-a
    在求拉普拉斯變換時雀费，需要給出變換的代數(shù)表示式以及ROC（收斂域）干奢。
    {\boxed{x(t) = \frac 1{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds\\ X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-st}dt}}

z變換

上述討論了連續(xù)時間傅里葉變換的推廣稱為拉普拉斯變換，而離散時間傅里葉變換的推廣稱為z變換盏袄。
{\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz\\ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}}

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