書名：皇帝新腦（第一推動叢書·綜合系列）
作者：羅杰·彭羅斯
譯者：許明賢,吳忠超
出版社：湖南科學(xué)技術(shù)出版社
出版時間：2018-01-01
ISBN：9787535794444
第4章 真理、證明和洞察
- 數(shù)學(xué)的希爾伯特計劃
- 形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)
- 哥德爾定理
- 數(shù)學(xué)洞察
- 柏拉圖主義或直覺主義
- 從圖靈結(jié)果到類哥德爾定理
- 遞歸可列集
- 芒德布羅集是遞歸的嗎
- 一些非遞歸數(shù)學(xué)的例子
- 芒德布羅集像非遞歸數(shù)學(xué)嗎
- 復(fù)雜性理論
- 物理事物中的復(fù)雜性和可計算性
三璧函、哥德爾定理
略
四、數(shù)學(xué)洞察
略
五本讥、柏拉圖主義或直覺主義
1、數(shù)學(xué)哲學(xué)的三個派別
- 形式主義學(xué)派
- 柏拉圖主義學(xué)派
- 直覺主義
1）形式主義學(xué)派數(shù)學(xué)哲學(xué)
- 它是一種主張數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)烦磁，數(shù)學(xué)的存在即無矛盾的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想炭分。
在數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中，自稱形式主義的有克里(Curry , H. )买决、魯賓孫(Robinson, A.)等.
他們把數(shù)學(xué)定義為關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué).。
在數(shù)學(xué)本體論問題上吼畏，形式主義學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)對象是一堆毫無實際內(nèi)容的形式符號體系督赤。不管從什么假設(shè)出發(fā)，只要這些假設(shè)能以符號形式明顯地表示泻蚊，用形式的演繹來推理躲舌，就成為數(shù)學(xué)。
形式主義學(xué)派完全否定了討論數(shù)學(xué)本體論問題的必要性性雄，更不承認(rèn)數(shù)學(xué)對象有任何客觀意義没卸。
在數(shù)學(xué)認(rèn)識論問題上，形式主義學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)體系無真理性可言秒旋，只能考慮其可接受性問題约计。
形式主義學(xué)派把數(shù)學(xué)認(rèn)識活動完全限于認(rèn)識主體自身范圍內(nèi)，認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力是內(nèi)在的原因滩褥，也就是對于要解決的問題本身的深人思考，而問題的來源如何關(guān)系不大炫加。
形式主義學(xué)派并不贊成毫無根據(jù)的抽象和形式化公理化瑰煎，而是要求解決問題铺然，富有成果，但其所指問題絕大部分是數(shù)學(xué)自身問題酒甸。因此魄健，形式主義學(xué)派對數(shù)學(xué)發(fā)展中經(jīng)驗和應(yīng)用的啟示不屑一顧。有的形式主義者甚至主張在數(shù)學(xué)教育中也無須引人直覺插勤、經(jīng)驗和應(yīng)用因素沽瘦，只要把形式化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系直接灌輸給學(xué)生就可以了。
2）柏拉圖主義學(xué)派數(shù)學(xué)哲學(xué)
- 柏拉圖數(shù)學(xué)哲學(xué)是古希臘的一種數(shù)學(xué)哲學(xué)觀农尖，它主張數(shù)學(xué)觀念是天賦的析恋、先驗的，它居于感性世界與理念世界之間盛卡，是人通往理念世界的必經(jīng)階段的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想助隧。
- 數(shù)學(xué)對象的客觀性：
柏拉圖主義認(rèn)為數(shù)學(xué)的對象（如數(shù)、量滑沧、函數(shù)等）是客觀存在的并村，它們存在于一個特殊的理念世界里，不依賴于時間滓技、空間和人的思維哩牍。 - 柏拉圖主義的觀點，也就是數(shù)學(xué)真理是絕對的令漂、外在的膝昆、永恒的，并不基于人造的判據(jù)之上洗显；數(shù)學(xué)對象具有超越時間的自身的存在外潜，既不依賴于人類社會，也不依賴于特定的物體挠唆。
3）直覺主義
直覺主義（或稱作有限主義）处窥，它走到拒絕任何無窮集合的完整存在的另一極端。
直覺主義是1924年由荷蘭數(shù)學(xué)家L . E . J．布勞威爾作為對某些（諸如羅素的）悖論的與形式主義相區(qū)別的響應(yīng)而倡導(dǎo)的玄组。這些悖論是由于在數(shù)學(xué)推理中太過自由地應(yīng)用無窮集合所引起的滔驾。
直覺主義否認(rèn)（無窮或其他）集合自身的“存在性”，而集合僅僅被當(dāng)作可能確定其成員的規(guī)則俄讹。
直覺主義的一個特征是排斥“排中律”哆致。
該定律宣稱，一個陳述的否定之否定等效于該陳述患膛。
對于直觀主義者來說摊阀，“存在”的意思是“構(gòu)造存在”。布勞威爾經(jīng)常關(guān)心提及的一個例子是π的小數(shù)展開：3.141592653589793…。是否在這個展開的某一處存在20個接連的7的序列胞此。
以布勞威爾的直覺主義的極端形式臣咖，他會宣稱：現(xiàn)在斷言“在π的小數(shù)展開中的某處存在20位連續(xù)的7的序列”既不是真的亦不是假的。
