作者：林夏水

《哲學(xué)研究》1996年第1期

柏拉圖是古希臘著名的哲學(xué)家,同時(shí)又是一個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)家止毕。他的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想迄今仍影響著當(dāng)代一些數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家《妫現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性日益提高,使得數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)在性或客觀性成為數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家關(guān)注的問題禁荒。本世紀(jì)三十年代以后,隨著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三大學(xué)派的爭(zhēng)論漸趨平靜,數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)在性問題成為形式主義與自稱柏拉圖主義論戰(zhàn)的焦點(diǎn)。為追溯現(xiàn)代數(shù)學(xué)柏拉圖主義的思想淵源,本文就柏拉圖的數(shù)學(xué)哲學(xué)作一探討寺庄。

時(shí)代背景

柏拉圖數(shù)學(xué)哲學(xué)思想的產(chǎn)生有其深刻的哲學(xué)和數(shù)學(xué)背景耀石。在哲學(xué)方面,當(dāng)時(shí)的哲學(xué)家都致力于尋找世界的本原。柏拉圖跟隨蘇格拉底學(xué)習(xí)哲學(xué)硬爆。蘇格拉底研究了倫理學(xué)中的普遍的東西欣舵、定義。例如,正義缀磕、美的本質(zhì)缘圈。他繼承他的老師從個(gè)別的事物中尋找普遍的東西,從現(xiàn)象中探求本質(zhì)的傳統(tǒng)。但他卻把普遍的東西袜蚕、定義與個(gè)別的東西分離開來,使之成為“單個(gè)的存在物”——理念糟把。柏拉圖還接受赫拉克利特關(guān)于“一切皆流”,無物常住的思想。但他又進(jìn)一步認(rèn)為,永恒變動(dòng)的事物不能成為知識(shí)的對(duì)象;知識(shí)只能是對(duì)永恒不變的事物的認(rèn)識(shí)牲剃。愛利亞學(xué)派的巴門尼德把可感事物的抽象歸結(jié)為思想性的存在,并把它和非存在絕對(duì)對(duì)立起來遣疯。柏拉圖則認(rèn)為,永恒不變的存在是客觀實(shí)在的,可感事物是處在存在與非存在之間。在解決理念與具體事物的關(guān)系時(shí),他吸收了畢達(dá)哥拉斯的“摹仿說”凿傅。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為,“萬物皆數(shù)”,事物是“摹仿”數(shù)而存在的缠犀。柏拉圖則認(rèn)為事物是分有理念而存在的。這樣,柏拉圖就逐漸建立起他的理念論:理念與其同名的可感事物分屬兩個(gè)對(duì)立的世界,理念先于可感事物而獨(dú)立存在;理念是本原聪舒、模型,它是永恒的辨液、客觀存在的,可感事物處于運(yùn)動(dòng)變化之中,它存在但不實(shí)在,它處于實(shí)在與非實(shí)在之間;可感事物是分有同名理念而存在的。

如果說理念論產(chǎn)生的哲學(xué)背景帶有思辨的性質(zhì),那么數(shù)學(xué)背景——第一次數(shù)學(xué)危機(jī),就是一個(gè)科學(xué)事實(shí)問題箱残。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了不可公度量,引起數(shù)學(xué)史上第一次危機(jī)滔迈。它迫使哲學(xué)家作出理論解釋止吁。可是這一重要事實(shí)常常被人忽略燎悍。這次危機(jī)及其解決,無論在數(shù)學(xué)方面還是在哲學(xué)方面都具有重大意義敬惦。就哲學(xué)意義來說,它首先動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”的自然觀。其次是它使人們認(rèn)識(shí)到感性知識(shí)是不可靠的,只有理性知識(shí)才是可靠的间涵。因?yàn)楦鶕?jù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的理論,任何事物都可以用正整數(shù)或正整數(shù)的比來表示,叫做可公度比(即具有公共度量單位)仁热。就兩條線段來說,從直觀上看,總是可以找到一個(gè)公共量度單位,把兩條線段都量盡,進(jìn)而用整數(shù)比來表示它們,使得它們成為可公度比。但是,在數(shù)學(xué)中根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理卻可以證明,等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比卻是一個(gè)無限不循環(huán)的數(shù),也就是說,找不到一個(gè)公共量度單位使得它的整數(shù)倍等于斜邊的值,或者說,等腰直角三角形的斜邊與直角邊是不可公度的勾哩。這一事實(shí)說明,感性直觀的知識(shí)是靠不住的。作為跟隨過畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重要成員举哟、數(shù)學(xué)家泰奧多魯斯和阿啟泰學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的柏拉圖是知道這次危機(jī)所引起的沖擊的,所以他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是研究抽象的,強(qiáng)調(diào)假設(shè)—演繹方法;而且他的學(xué)派的重要成員思劳、大數(shù)學(xué)家歐多克斯建立的比例論在解決危機(jī)的過程中實(shí)現(xiàn)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究重心的轉(zhuǎn)移方面作出重要貢獻(xiàn)。正是感性直觀知識(shí)的不可靠性,才促使柏拉圖一心一意地追求可靠的知識(shí),尋找實(shí)在的妨猩、永恒不變的知識(shí)對(duì)象——理念潜叛。

另一方面,既然理念與可感事物是分立對(duì)立而存在的,它們作為認(rèn)識(shí)的對(duì)象,心靈所獲得的知識(shí),一個(gè)是可靠的一個(gè)是不可靠的,那么,如何使不可靠的知識(shí)上升為可靠的知識(shí)呢?柏拉圖正是在尋找知識(shí)的過渡形態(tài)過程中建立他的數(shù)學(xué)哲學(xué)理論——數(shù)學(xué)的居間性;數(shù)學(xué)對(duì)象分離獨(dú)立存在于可感事物之外;理念數(shù)論及物質(zhì)元素的幾何結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)的居間性

柏拉圖認(rèn)為,理念是客觀實(shí)在的,而分有同名理念的具體事物雖然存在但不實(shí)在壶硅。因此,怎樣使靈魂脫離變化的可見世界而進(jìn)入可知的實(shí)在世界,成為他研究的重要課題之一威兜。柏拉圖正是在尋找知識(shí)的過渡形態(tài)中發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)不僅具有實(shí)用意義,它是“一切技術(shù)的、思想的和科學(xué)的知識(shí)都要用到的,它是大家都必須學(xué)習(xí)的最重要的東西之一”(〔1〕,522C),而且具有重要的理論意義,它是“把靈魂拖著離開變化世界進(jìn)入實(shí)在世界的學(xué)問”(〔1〕,521D),即由可見世界進(jìn)入可知世界的階梯庐椒。為了說明數(shù)學(xué)的居間性,他從數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)論中的地位和存在不同等級(jí)的三種數(shù)來進(jìn)行論證椒舵。

數(shù)學(xué)在柏拉圖認(rèn)識(shí)論中的居間地位

柏拉圖在其認(rèn)識(shí)的四階段論中把數(shù)學(xué)定位于“比意見明確一些,但比知識(shí)要曖昧一些”的理智階段(〔5〕,205)。他在“線喻”中闡明了這一思想约谈。

認(rèn)識(shí)的四個(gè)階段——“線喻”

柏拉圖在《國家篇》中根據(jù)知識(shí)的實(shí)在性和真實(shí)性的程度,通過“線喻”把知識(shí)分為四個(gè)等級(jí)笔宿。首先他把世界分為可見世界和可知世界兩部分,然后在這兩部分中按認(rèn)識(shí)對(duì)象的不同再把可見世界分為:實(shí)物影象和實(shí)物本身;把可知世界劃分為:以實(shí)物作影象和理念。這樣,對(duì)應(yīng)于不同的認(rèn)識(shí)對(duì)象,就有四種不同的靈魂?duì)顟B(tài):想象棱诱、信念泼橘、理智、理性,而從可見世界獲得的只能是一種意見,只有從可知世界才能獲得真實(shí)的知識(shí)迈勋。其中:

第1等級(jí):以實(shí)物的影象為對(duì)象,它所對(duì)應(yīng)的心理狀態(tài)是想象炬灭。

第2等級(jí):以實(shí)際的東西(也就是我們周圍的生物以及一切自然物和人造物)為對(duì)象,它所對(duì)應(yīng)的心理狀態(tài)是信念。

第3等級(jí):以實(shí)物作為影象的對(duì)象,是數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,它是向第4等級(jí)過渡的中間階段,它所對(duì)應(yīng)的心理狀態(tài)是理智靡菇。

第4等級(jí):以理念為對(duì)象,無論從實(shí)在性或真理性來說,都是最高等級(jí)的,是純哲學(xué)研究的范圍重归。它所對(duì)應(yīng)的心理狀態(tài)是理念。

由此可見,柏拉圖通過“線喻”不僅展現(xiàn)出認(rèn)識(shí)的四個(gè)階段(想象镰官、信念提前、理智、理性),而且把數(shù)學(xué)的對(duì)象和知識(shí)確定為過渡性的中間階段泳唠。

數(shù)學(xué)處于理智認(rèn)識(shí)階段

柏拉圖認(rèn)為,數(shù)學(xué)雖然屬于可知世界,但它在研究的對(duì)象狈网、方法、目的以及真實(shí)性等方面又不同于理性,所以它是處于從意見過渡到知識(shí)的理智階段。

在研究對(duì)象上拓哺。柏拉圖認(rèn)為,數(shù)學(xué)家研究的是各種圖形,他把實(shí)際事物作為影象,這些“圖形乃是實(shí)際的東西”,它們屬于感性的事物;他們所研究的雖然不是所畫的這些特殊的圖形,而是圖形本身,但他們所要看到的是,只有用思想才能認(rèn)識(shí)到的理念勇垛。他說:“顯然,他們利用各種可見的圖形,談到這些圖形,但他們所思考的實(shí)際上并不是這些圖形,而是這些圖形所摹仿的那些東西。他們所研究的并不是他們所畫的這個(gè)特殊的正方形和這個(gè)特殊的對(duì)角線等等,而是正方形本身,對(duì)角線本身等等士鸥。他們所作的圖形乃是實(shí)際的東西,有其水中的影子和影象闲孤。但是他們現(xiàn)在又把這些東西當(dāng)作影象,而他們實(shí)際要求看到的則是只有用思想才能認(rèn)識(shí)到的那些理念”(〔5〕,200頁)。理性的研究對(duì)象是理念,它不引用感性事物,而只引用理念烤礁。他說:“人的理性決不引用任何感性事物,而只引用理念,從一個(gè)理念到另一個(gè)理念,并且歸結(jié)到理念”(〔5〕,201頁)讼积。

在研究的方法和目的上。數(shù)學(xué)研究的方法是假設(shè)—演繹法,“由假設(shè)下降到結(jié)論”脚仔。例如,“研究幾何勤众、數(shù)學(xué)以及這類學(xué)問的人,在開始的時(shí)候要假定偶數(shù)與奇數(shù)、各種圖形鲤脏、三角形以及其他類似的東西,把這些東西看成已知的,看成絕對(duì)的假設(shè),不覺得需要為他們自己或別人來對(duì)這些東西加以說明,而是把這些東西當(dāng)作自明的们颜。他們就從這些假設(shè)出發(fā),通過一系列的邏輯推論而最后達(dá)到他們所要的結(jié)論”×源迹“由于人的思想不能超出這些假設(shè),因此人的思想不能向上活動(dòng)而達(dá)到第一原理”(〔5〕,200頁)窥突。所以,幾何學(xué)家所研究的東西“雖然確實(shí)屬于我們所說的可知的東西一類,但是有兩點(diǎn)除外:第一,在研究它們的過程中必須要用假設(shè),靈魂由于不能突破與超出這些假設(shè),因此不能向上活動(dòng)而達(dá)到原理;第二,在研究它們的過程中利用了在它們下面一部分中的那些實(shí)物作影象——雖然這些實(shí)物也有自己的影象,并且是比自己的影象來得更清楚的更重的”(〔1〕,511)。

而理性的研究方法是假設(shè)—辯證法,由假設(shè)上升到第一原理硫嘶。他說:“至于講到可知世界的另一部分,你會(huì)了解我指的是人的理性憑著辯證法的力量而認(rèn)識(shí)到的那種東西阻问。在這種認(rèn)識(shí)活動(dòng)中人的理性不是把它的假設(shè)當(dāng)作絕對(duì)的起點(diǎn)或第一原理,而是把這些假設(shè)直截了當(dāng)?shù)禺?dāng)作假設(shè),即是把它們當(dāng)作暫時(shí)的起點(diǎn),或者說當(dāng)作跳板,以便可以從這個(gè)起點(diǎn)升到根本不是假設(shè)的某種東西,上升到絕對(duì)的第一原理并且在達(dá)到這種第一原理之后,又可以回過頭來把握那些以這個(gè)原理為根據(jù)的、從這個(gè)原理提出來的東西,最后下降到結(jié)論”(〔5〕,201頁)音半。

正是由于在研究方法和目的上的不同,所以他“把幾何學(xué)家和研究這類學(xué)問的人的心理狀態(tài)叫做理智而不叫做理性,把理智看成介于理性和意見之間的東西”(〔5〕,201頁)则拷。

在知識(shí)的真實(shí)性上。柏拉圖認(rèn)為:由于數(shù)學(xué)在研究方法和目的上的局限性,使得它不能真正理解其研究對(duì)象,不能給假設(shè)以合理的說明,所以它雖然在某種程度上認(rèn)識(shí)到實(shí)在,但只能象做夢(mèng)一樣,不能算做真正的知識(shí)曹鸠。他說:“研究這些科學(xué)技術(shù)的人在思考感官所不能感覺到的對(duì)象時(shí),必得要用思想,但是,由于他們是從假設(shè)出發(fā)而不能回到第一原理煌茬。因此,你不會(huì)認(rèn)為他們真正理解這些對(duì)象”(〔5〕,201頁)〕固遥“只有幾何學(xué)及與之相關(guān)的科學(xué),才的確在某種程度上認(rèn)識(shí)到實(shí)在坛善。但是我們也看到就連這種科學(xué),對(duì)于事物的認(rèn)識(shí)也只能象做夢(mèng)一樣,因?yàn)樗鼈冎皇羌俣ㄋ鼈兯玫募僭O(shè),而不能給這些假設(shè)以合理的說明。如果你的前提是你所不能夠真正知道的東西,那么這種認(rèn)識(shí)如何能夠算得真正的知識(shí)或真正的科學(xué)呢?”(〔5〕,205頁)

而理性則不同,它把假設(shè)當(dāng)作跳板,并且通過辯證法達(dá)到第一原理,所以它能夠給假設(shè)以合理的說明,才真正認(rèn)識(shí)到實(shí)在邻眷。因此,辯證法研究的可知的實(shí)在比把假設(shè)當(dāng)作第一原理的所謂科學(xué)技術(shù)的對(duì)象,具有更大的真實(shí)性眠屎。他說:“當(dāng)一個(gè)人根據(jù)辯證法企圖只用推理而不要任何感覺以求達(dá)到每個(gè)事物本身,并且這樣堅(jiān)持下去,一直到他通過純粹的思想而認(rèn)識(shí)到善本身的時(shí)候,他就達(dá)到了可知世界的極限”(〔5〕,203頁)。

數(shù)學(xué)數(shù)處于可感覺數(shù)和理念數(shù)之間

柏拉圖在《國家篇》講到算術(shù)的作用時(shí)談到“純數(shù)”和“可見物體的數(shù)”肆饶。他說:算術(shù)“用力將靈魂向上拉,并迫使靈魂討論純數(shù)本身;如果有人要它討論屬于可見物體或可觸物體的數(shù),它是永遠(yuǎn)不會(huì)茍同的”(〔1〕,525D)改衩。他在《PHILEBUS》中講到兩類算術(shù)的區(qū)別時(shí)又說到計(jì)數(shù)的不同單位和相同單位。他說:“有些算術(shù)家計(jì)數(shù)不同的單位,例如,兩支軍隊(duì)驯镊、兩頭牛葫督、兩件很大的東西或兩件很小的東西竭鞍。反對(duì)他們的一伙人堅(jiān)決認(rèn)為,在一萬以內(nèi)的每一個(gè)單位都必須與其他單位相同”(〔10〕,56)。這里的“可見物體的數(shù)”和“計(jì)數(shù)不同的單位”在數(shù)學(xué)中叫做名數(shù),而亞里士多德把它叫做感覺的數(shù);而“純數(shù)”和“每一個(gè)單位都必須與其他單位相同”的數(shù)是指抽象的數(shù)學(xué)數(shù)橄镜。這說明柏拉圖認(rèn)為存在著兩種數(shù),即數(shù)學(xué)的數(shù)和可感覺的數(shù)偎快。至于第三種數(shù)即理念數(shù),那是他在后期把理念論與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”相結(jié)合的產(chǎn)物。他的學(xué)生亞里士多德在《形而上學(xué)》中就說到他認(rèn)為存在著另一類數(shù)——理念數(shù)洽胶。亞里士多德說:“抽象的眾數(shù)與物質(zhì)世界的眾數(shù)是相同的數(shù),抑或不相同的兩類數(shù)呢?柏拉圖說這是不相同的;可是他也認(rèn)為數(shù)可以作事物之量度,也可以成事物之原因,其分別恰是這樣,事物本身的數(shù)是感覺數(shù),為之原因之?dāng)?shù)則是理知數(shù)”(〔4〕,990a29—34)晒夹。這里講的“理知數(shù)”是抽象的、可作事物之量度,又是事物之原因姊氓。就其抽象性和作為事物之量度而言,它類似于數(shù)學(xué)數(shù),就其“成事物之原因”而言,它又區(qū)別于數(shù)學(xué)數(shù)丐怯。所以它只能是一種新的數(shù)——理念數(shù)。亞里士多德還在《形而上學(xué)》(1080a17—37)一書中,按數(shù)的單位的可結(jié)合性把數(shù)分成三類:

1.每一個(gè)數(shù)的單位無例外地都不能結(jié)合;

2.各個(gè)數(shù)的單位彼此都能互相結(jié)合,如數(shù)學(xué)數(shù);

3.有些單位可結(jié)合,有些單位不能結(jié)合他膳。

并說“有些人(指柏拉圖)說兩類數(shù)都存在,其中先后各數(shù)為品種有別者等同于理念,數(shù)學(xué)數(shù)既不同于理念又不同于可感事物,但這兩類數(shù)與可感事物相分離”(〔4〕,1080b10—14)响逢。“那些最初斷定數(shù)有理念和數(shù)學(xué)兩類的人既沒有說也不能說數(shù)學(xué)之?dāng)?shù)怎樣存在和由什么組成棕孙。他們把數(shù)學(xué)數(shù)安置在理念數(shù)與可感覺數(shù)之間”(〔4〕,1090b33—35)。亞里士多德在這里不僅直接講到理念數(shù),而且指出它的特點(diǎn)是,不同的理念數(shù)在性質(zhì)上是不同的,其單位是不能互相結(jié)合的,但它們都與可感事物相分離些膨。

以上說明,柏拉圖確實(shí)認(rèn)為存在著三種數(shù):感覺數(shù)蟀俊、數(shù)學(xué)數(shù)和理念數(shù),而且數(shù)學(xué)數(shù)是處于中間位置的。關(guān)于數(shù)學(xué)數(shù)的居間性,除了在“線喻”中作了說明以外,這里還就數(shù)學(xué)數(shù)與理念數(shù)在生成和成為事物的原因方面的不同,作進(jìn)一步說明订雾。柏拉圖在《巴門尼得斯篇》中詳細(xì)地講到數(shù)學(xué)數(shù)的生成過程:

1.從“如若一是”推出`一’必然分有`是’肢预。

2.從“一”分有“是”引繹出“異”。因?yàn)椤耙弧狈钟小笆恰闭f明“一”所分有的“是”與“一”自身是各異的洼哎。所以就產(chǎn)生“一”烫映、“是”、“異”不同的三者噩峦。

3.由一锭沟、是、異三者引繹出數(shù):(1)從一识补、是族淮、異中任選一個(gè)就產(chǎn)生1;(2)從一、是凭涂、異中任選一對(duì)就產(chǎn)生2;(3)由2加1就產(chǎn)生3;

由于2是偶數(shù),3是奇數(shù),所以不僅有了奇數(shù)與偶數(shù),而且也有了奇倍與偶倍祝辣。這樣,就可通過偶倍偶數(shù)、偶倍奇數(shù)切油、奇倍偶數(shù)蝙斜、奇倍奇數(shù)產(chǎn)生一切數(shù)了。所以柏拉圖說:“如若一是,必然地有數(shù)”(〔2〕,143C—144A)澎胡。當(dāng)然這其中還必須補(bǔ)充一加法才能真正產(chǎn)生所有的正整數(shù)(〔2〕,注249)孕荠。

柏拉圖的理念數(shù)論首先肯定理念是數(shù),是事物的原因,然后指出理念數(shù)的生成原則(〔4〕,1081a14—17):一和不定的二(dyad)娩鹉。

既然理念數(shù)與數(shù)學(xué)數(shù)的生成不同,那么它們的計(jì)數(shù)法也不同:“數(shù)學(xué)數(shù)是這樣計(jì)數(shù)的:1,2(由1與前一個(gè)1組成),3(由兩個(gè)1和1組成),其余類似。而理念數(shù)是這樣計(jì)數(shù)的:1,接著是不同的2(不包含第一個(gè)1),3(不包含2),其余類似”(〔11〕,1080a30—34)岛琼。

正因?yàn)閿?shù)學(xué)數(shù)與理念數(shù)存在著這些區(qū)別,特別是理念數(shù)是事物的原因,而數(shù)學(xué)數(shù)不是,這就決定數(shù)學(xué)數(shù)低于理念數(shù)底循。另一方面,感覺數(shù)是與事物的質(zhì)相聯(lián)系的,它的抽象程度自然比脫離事物的質(zhì)的抽象的數(shù)學(xué)數(shù)低。所以,數(shù)學(xué)數(shù)必然處于中間體的地位槐瑞。

數(shù)學(xué)對(duì)象的存在方式

在這個(gè)問題上,柏拉圖把他在理念論中的分離說應(yīng)用到數(shù)學(xué)對(duì)象上,認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象分離獨(dú)立存在于可感事物之外熙涤。

亞里士多德認(rèn)為,數(shù)學(xué)對(duì)象不可能分離獨(dú)立存在于可感事物之外,并從七個(gè)方面作了反駁。這里只選取其中的四個(gè)來說明亞里士多德是怎樣進(jìn)行反駁和論證的困檩。

第一個(gè)論證以柏拉圖關(guān)于理念的在先性祠挫、分離性和要素的非組合性為前提,推論出:如果在可感的立體之外存在一個(gè)先于并且與可感事物相分離的另一種立體,那末根據(jù)同樣的道理,在可感的面、線悼沿、點(diǎn)之外,也應(yīng)該獨(dú)立存在著在先的面等舔、線、點(diǎn)糟趾。也就是說,在可感的體慌植、面、線义郑、點(diǎn)之外還存在一組數(shù)學(xué)對(duì)象的體蝶柿、面、線非驮、點(diǎn)交汤。根據(jù)組合物是由在先的、獨(dú)立存在的要素組成的,以及面是由線組成的,線是由點(diǎn)組成的,就可以推出:存在兩套體劫笙、三套面芙扎、四套線、五套點(diǎn)填大。那末數(shù)學(xué)家究竟研究其中那一套呢?(〔4〕,1076b13—40)

第二個(gè)論證說,如果幾何學(xué)的對(duì)象脫離可感事物而獨(dú)立存在,那么作為數(shù)學(xué)的一部分的天文學(xué),其對(duì)象也將脫離可感事物而獨(dú)立存在,可是,天空及其各個(gè)部分怎么可能脫離可見的天空及其各部分而獨(dú)立存在呢?同樣,光學(xué)和聲學(xué)的對(duì)象也將獨(dú)立自存,否則,為什么有的對(duì)象能與可感對(duì)象相分離,有的就不能呢?(〔4〕,1077a1—9)

第三個(gè)論證是,柏拉圖認(rèn)為,數(shù)學(xué)對(duì)象是處于理念和可感事物的中間體戒洼。根據(jù)這種觀點(diǎn),我們可以從理念與中間體之間再分離出另一類中間體,它既不是數(shù)也不是點(diǎn),既不是空間量也不是時(shí)間。如果這是不可能的,那末數(shù)學(xué)對(duì)象也不可能與可感事物相分離而獨(dú)立存在栋盹。(〔4〕,1077a9—14)

第七個(gè)論證是,立體是一種本體,因?yàn)樗谀撤N意義上已經(jīng)具有完整性了施逾。但是,線怎么能夠成為本體呢?它既不是象靈魂那樣作為一種形式,也不是象立體那樣作為一種質(zhì)料。因?yàn)槲覀儧]有關(guān)于把點(diǎn)例获、線汉额、面放在一起的經(jīng)驗(yàn),如果它們也是一種物質(zhì)實(shí)體,我們就應(yīng)該看到把它們放在一起所組成的東西(〔11〕,1077a31—36)。他說:“假定點(diǎn)榨汤、線蠕搜、面的定義在先,但并不是所有定義上在先的東西在本體上也在先。因?yàn)楸倔w上在先的東西,當(dāng)它與其他事物分離時(shí),更具有獨(dú)立存在的能力,而事物在定義上先于那些其定義是由事物的定義合成的事物;因此,這兩種屬性不是共同擴(kuò)張的收壕。因?yàn)槿绻麑傩圆皇敲撾x其本體而獨(dú)立自存的(例如,`運(yùn)動(dòng)的’或`蒼白的’),那末`蒼白的’在定義上就先于蒼白的人,而在本體上卻不是在先的妓灌。因?yàn)樗豢赡芊蛛x獨(dú)立存在,而總是跟隨著具體事物,我所說的具體事物是指蒼白的人轨蛤。因此很清楚,抽象的結(jié)果并不是在先的,由于加上一些決定性因素而產(chǎn)生的那些東西,也不是在后的,因?yàn)槲覀兯f的蒼白的人,正是由于把一個(gè)決定性因素加給`蒼白的’”(〔11〕1077b1—11)。

亞里士多德通過七個(gè)方面的論證得出結(jié)論:“數(shù)學(xué)對(duì)象并不是比物體更高級(jí)的本體,它們?cè)诒拘陨喜⒉幌扔诳筛惺挛?而只是定義上在先;它們不可能獨(dú)立存在于某個(gè)地方”(〔11〕1077b11—14)虫埂。從而否定了柏拉圖關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象獨(dú)立存在于可感事物之外的觀點(diǎn)祥山。

理念數(shù)論及物質(zhì)元素的幾何結(jié)構(gòu)

柏拉圖的理念論在學(xué)園內(nèi)部引起爭(zhēng)論,他自己也意識(shí)到其中的“分有說”遇到困難。所以他在晚年一方面在《巴門尼德篇》和《智者篇》中提出“通種論”,即最普遍的種有三對(duì):存在與非存在掉伏、動(dòng)與靜缝呕、同與異,它們既互相區(qū)別又互相聯(lián)系;它們可以互相連接而成為集體,連接越多內(nèi)容越豐富,于是,`種”的集體就成為個(gè)別事物。這樣,他就避免了`分有說’帶來的困難斧散。另一方面,他在“線喻”中講到數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)論中具有階梯的作用后,在《Philebus》中又明確地講到兩種算術(shù)和兩種幾何供常。他把研究“兩支軍隊(duì)、兩頭牛鸡捐、兩件很大的東西或兩件很小的東西”這類不同計(jì)數(shù)單位的算術(shù)叫做普通算術(shù)(Popular arithmetic),而把研究數(shù)的各個(gè)單位都可以互相結(jié)合的抽象數(shù)的學(xué)問,叫做哲理算術(shù)(Philosophical arithmetic)栈暇。類似地,他把研究建筑學(xué)中的測(cè)量這類生產(chǎn)性技藝叫做普通幾何學(xué)(Popular geometry),把抽象地研究圖形的幾何關(guān)系的學(xué)問叫做哲理幾何學(xué)(Philosophical geometry)(〔10〕,55,56)。哲理數(shù)學(xué)的提出,說明柏拉圖認(rèn)為數(shù)學(xué)還具有哲理性的一面,更傾向于把數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)中的階梯地位提升到理性的階段箍镜。這就為他提出理念數(shù)論奠定了思想基礎(chǔ)源祈。同時(shí),他又把畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的`數(shù)本說’(數(shù)為萬物之本原)與理念論結(jié)合起來,提出一種不成文的學(xué)說——理念數(shù)論。它其所以稱為不成文的學(xué)說是,因?yàn)樗皇窃趯W(xué)園內(nèi)部講課時(shí)提出的,既未正式發(fā)表也不成體系,我們只能在亞里士多德的批判中略知梗概色迂。

理念數(shù)論的基本思想是:1新博、理念是數(shù);2、理念數(shù)的生成原則是,一和`不定的二’(indefinitedyad);3脚草、理念數(shù)的實(shí)在性比數(shù)學(xué)數(shù)高一等級(jí),因?yàn)椤八麄儼褦?shù)學(xué)數(shù)安置在理念數(shù)與可感覺數(shù)之間”(〔4〕,1090b35—36);4、理念數(shù)與數(shù)學(xué)數(shù)的區(qū)別,在單位的可結(jié)合性上,數(shù)學(xué)數(shù)的單位無例外地彼此可以互相結(jié)合;而理念數(shù)中不同數(shù)的單位是不能結(jié)合的,如`本2’的單位不能與`本3’的單位結(jié)合,其余的理念數(shù)也如此原献。在計(jì)數(shù)方面,也有區(qū)別(〔11〕,1080a24—35)馏慨。

盡管理念數(shù)論因?yàn)橛龅皆S多麻煩,而成為一種不成文的理論。但是,在柏拉圖看來,既然數(shù)等同于理念,成為萬物的本原,作為數(shù)學(xué)的一部分的幾何學(xué),其研究的對(duì)象——點(diǎn)線面體也應(yīng)該成為萬物的本原,所以,他在《蒂邁歐篇》用它們來構(gòu)造物質(zhì)元素的幾何結(jié)構(gòu)姑隅。

他認(rèn)為,構(gòu)成物質(zhì)世界的火写隶、土、水讲仰、氣四種元素都是物體,而每一種物體都占有體積,都是立體慕趴。立體必然被一些平面所包圍,每一個(gè)平面直線圖形都是由三角形組成。原始的三角形有兩種:等邊直角三角形和不等邊直三角形鄙陡。所以,“我們假設(shè),這些三角形是火和其他物體的原始元素”(〔9〕,53C)冕房。接著,他分別按照這兩種三角形的不同組合和連接,構(gòu)造出四種立方體:角錐體、立方體趁矾、八面體和二十面體耙册。然后,根據(jù)這些立體圖形的穩(wěn)定性、體積的大小以及立體角的大小,結(jié)合四種元素的物理特點(diǎn),分別把它們指派給火毫捣、土详拙、氣和水帝际。他說:“我們把已經(jīng)說明過其形成的那些圖形分配給火、土饶辙、水和氣蹲诀。我們把立方體指派給土,因?yàn)樵谒姆N物體中土是最穩(wěn)定的,而且最具有可塑性的,其基面最穩(wěn)定的圖形必定最符合那種描述;我們開頭假定,如果取這些三角形作基面,那么依性質(zhì),等邊三角形的面比不等邊三角形的面更穩(wěn)定;而且,由這兩種三角形合成的兩個(gè)等邊面,其正方形無論從局部看還是從整體上看,都必然比三角形具有更穩(wěn)定的基面。因此,我們將盡可能維持我們的理由,如果我們把這種圖形指派給土;剩下的,把最小變動(dòng)的圖形指派給水,把最不穩(wěn)定的圖形指派給火,把穩(wěn)定性方面居中的圖形指派給氣弃揽。另一方面,我們把最小的立體指派給火,把最大的立體指派給水,把大小適中的立體指派給氣脯爪。其次,把最尖的角指派給火,接著分別指派給氣和水。現(xiàn)在在所選取的圖形中,面數(shù)最少的圖形角錐體(pyramid)必定是最不穩(wěn)定的,因?yàn)樗睦夂徒鞘亲罴怃J的蹋宦。第二種立體是八面體(octahedron),它在這些關(guān)系中處于第二位,第三種立體是二十面體(icosahedron),它處于第三位”(〔9〕,55d,56a,b)披粟。

因此,“可以把角錐體看作火的元素或種子;把依次生成的第二種立體圖形(八面體)看作氣元素;把第三種立體圖形(二十面體)看作水的元素”(〔9〕,56b)。為什么這四種立體圖形能夠分別被看作土冷冗、水守屉、火、氣的元素呢?因?yàn)椤拔覀儽仨氃O(shè)想,這些立體是如此之小,以致任何一種單個(gè)立體圖形都是因?yàn)槠湫⌒?smallness)而看不見的,盡管把一定數(shù)目的立體圖形聚合在一起時(shí)是看得見的蒿辙。關(guān)于它們的數(shù)目拇泛、運(yùn)動(dòng)和性質(zhì),我們必須假定,上帝按照適當(dāng)?shù)谋壤{(diào)整它們,使得它們成為最精確、最完美的東西”(〔9〕,56b)思灌。

柏拉圖除了構(gòu)造四種元素的幾何結(jié)構(gòu)以外,還研究火俺叭、氣、水這三種元素及其幾何結(jié)構(gòu)圖形是如何轉(zhuǎn)化的,用以說明宇宙間萬物的多樣性和復(fù)雜性以及宇宙的演化泰偿。

柏拉圖的物質(zhì)元素的幾何結(jié)構(gòu)理論比德謨克利特的原子論和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)本說前進(jìn)了一步,他猜到物質(zhì)元素具有數(shù)學(xué)形式,并用幾何結(jié)構(gòu)來表述熄守。他的這一思想得到現(xiàn)代物理學(xué)家的肯定。當(dāng)代理論物理學(xué)家和原子物理學(xué)家W.海森伯說:“在德謨克利特的哲學(xué)中,原子是物質(zhì)的永恒的耗跛、不可毀滅的單位,它們決不能互相轉(zhuǎn)化裕照。關(guān)于這個(gè)問題,現(xiàn)代物理學(xué)采取了明確地反對(duì)德謨克利特的唯物主義而支持柏拉圖和畢達(dá)哥斯的立場(chǎng)〉魉基本粒子的確不是永恒的晋南、不可毀滅的物質(zhì)單位,它們實(shí)際上能夠互相轉(zhuǎn)化「崂……,現(xiàn)代觀點(diǎn)和柏拉圖與畢達(dá)哥拉斯的觀點(diǎn)的類似性還多少能進(jìn)一步發(fā)展”(〔6〕,34—35頁)负间。

同時(shí),W.海森伯也承認(rèn)自己受柏拉圖和畢達(dá)哥拉斯的影響:“柏拉圖的《蒂邁歐篇》中的基本粒子最終不是實(shí)體,而是數(shù)學(xué)形式。`萬物皆數(shù)’,這是畢達(dá)哥拉斯的名言姜凄。那時(shí)唯一應(yīng)用的數(shù)學(xué)形式是這樣一些幾何形式,例如正多面體或構(gòu)成它們表面的三角形政溃。在現(xiàn)代量子論中,無疑地,基本粒子最后也還是數(shù)學(xué)形式,但具有更為復(fù)雜的性質(zhì)”(〔6〕,35頁)。綜上所述,柏拉圖是在尋找如何從可見世界進(jìn)入可知世界的過程中建立他的數(shù)學(xué)哲學(xué)的:數(shù)學(xué)是使靈魂脫離變化世界進(jìn)入實(shí)在世界的學(xué)問;數(shù)學(xué)對(duì)象具有居間的性質(zhì),數(shù)學(xué)家的心理狀態(tài)是介乎理性與意見之間的理智;由于數(shù)學(xué)研究的對(duì)象和方法存在著局限性,所以它雖然對(duì)實(shí)在有了某種認(rèn)識(shí),但只是象做夢(mèng)似地看見實(shí)在;數(shù)學(xué)對(duì)象是存在的,但它是分離獨(dú)立存在于可感事物之外的檀葛。他在晚年為克服理念論的困難,把理念論與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)”的理論結(jié)合起來,提出一種不成文的理念數(shù)論,構(gòu)造了物質(zhì)元素的幾何結(jié)構(gòu)形式玩祟。

〔1〕 柏拉圖:《理想國》,郭斌和、張竹明譯,商務(wù)印書館,1986.

〔2〕 柏拉圖:《巴門尼得斯篇》,陳康譯,商務(wù)印書館,1982.

〔3〕柏拉圖:《泰阿泰德智術(shù)之師》,嚴(yán)群譯,商務(wù)印書館,1963.

〔4〕亞里士多德:《形而上學(xué)》,吳壽彭譯,商務(wù)印書館,1981.

〔5〕北京大學(xué)哲學(xué)系外國哲學(xué)史教研室編譯:《古希臘羅馬哲學(xué)》,商務(wù)印書館,1982.

〔6〕W.海森伯:《物理學(xué)和哲學(xué):現(xiàn)代科學(xué)中的革命》,商務(wù)印書館,1981.

〔7〕范明生:《柏拉圖哲學(xué)述評(píng)》,上海人民出版社,1984.

〔8〕A.E.泰勒:《柏拉圖——生平及其著作》,謝隨知等譯,山東人民出版社1991.

〔9〕Timaeus, The Dialogues of plato, Vol.3, B.Jowett ed., OxfordUnivetsity press, 1892 Thirded., 1924I mpression.

〔10〕Philebus, The Dialoguesof Plato, Vol.4, B.Jowett ed., Oxford University Press, 1892 Thirded., 1924 Impression.

〔11〕The Works of Aristolte,Vol. Ⅲ, W. D. Rossed., Oxford,Second, 1928.

〔12〕J. N. Findlay, Plato:The Written and Unwritten Doctrines, New York, Humanities Press, 1974.

〔13〕A. Wedberg, Plato's Philosophyof Mathematics, Appelbergs Boktryckeri A B, 1955.

〔14〕F. M. Cornford, Plato'sCosmology, London, 1937.