首次積分和行波法解偏微分方程

2017-1-11. 求方程的通解以及定解條件下的特解磷蜀。

$\begin{align*} & x^2u_x+y^2u_y+z(2y-z)u_z=0 , \quad z>x>y>0 \\ & u=\frac{2z}{z-y} \quad \mathrm{when} \quad x=2y \end{align*}$

特征方程為 $\frac{\mathrm dx}{x^2}=\frac{\mathrm dy}{y^2}=\frac{\mathrm dz}{z(2y-z)}$

由 $\frac{\mathrm dx}{x^2}=\frac{\mathrm dy}{y^2}$ 召耘，易得 $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=C_1$

根據(jù)等比定理，有 $\frac{\mathrm dy}{y^2}=\frac{\mathrm dy -\mathrm dz}{y^2-2zy+z^2}$ 褐隆，易得 $\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z}=C_2$

所以污它，通解為 $u=F(\frac{1}{x}-\frac{1}{y} , \frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})$ ， $F$ 為任意二元可微的函數(shù)庶弃。

由定解條件有衫贬， $u(2y,y,z)=F(\frac{1}{2y}-\frac{1}{y} , \frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})=F(-\frac{1}{2y},\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z})=\frac{2z}{z-y}$

令 $\xi =-\frac{1}{2y},\eta =\frac{1}{y}-\frac{1}{y-z}$

所以 $y=-\frac{1}{2\xi},z=\frac{1}{\eta +2\xi}-\frac{1}{2\xi}$

所以 $F(\xi,\eta)=-\frac{\eta}{\xi}$

所以，定解為 $u(x,y,z)=\frac{xz}{(x-y)(z-y)}$

2017-1-14. 求解下列柯西問(wèn)題

$\begin{align*} & \sqrt y u_{xy}+2yu_{yy}+u_y=0 , \quad x>0 , y>0 \\ & u|_{y=4}=2, u_y|_{y=4}=-\frac{1}{4}, \quad 0 < x < 1 \end{align*}$

顯然歇攻，上述偏微分方程的特征方程為
$-\sqrt y \mathrm dx \mathrm dy+2y(\mathrm dx)^2=0$
所以固惯，積分曲線為
$\begin{cases} x=C_1 \\ x-\sqrt y =C_2 \end{cases}$
所以，作特征變換
$\begin{cases} \xi = x \\ \eta = x - \sqrt y \end{cases}$
易得缴守，原微分方程化為 $-\frac{1}{2}u_{\xi \eta}=0$

通解為 $u=f(\xi)+g(\eta)$ 葬毫，代入定解條件可得，
$\begin{cases} f(x)+g(x-2)=2 \\ -\frac{1}{4}\frac{\mathrm dg(\eta)}{\mathrm d\eta}=-\frac{1}{4} \end{cases}$
易得 $g(\eta)=\eta+C,\quad -2<\eta<-1$

$f(\xi)=4-\xi-C,\quad 0<\xi<1$

所以屡穗， $u=4-\sqrt y,\quad 0 < x < 1,-2 < x-\sqrt y < -1$

2017-2-11. 求方程的通解以及定解條件下的特解贴捡。

$\begin{align*} & xyu_x-yu_y+(z+xe^y)u_z=0,\quad x>0,y>0,z>0 \\ & u=z \quad \mathrm{when} \quad y=1 \end{align*}$

同2017-1-11，中間需要用等比定理構(gòu)造 $\frac{\mathrm dy}{-y}=\frac{e^y\mathrm dx+xe^y\mathrm dy+dz}{z+xe^y}$ 鸡捐，最終易得

通解 $u=F(xe^y,y(z+xe^y))$

定解 $u=yz-(y-1)xe^y$

2017-2-14. 求解下列柯西問(wèn)題

$\begin{align*} & 2\sqrt y u_{xy}+2yu_{yy}+u_y=0, \quad x>0 , y>0 \\ & u|_{y=4}=-2, u_y|_{y=4}=-\frac{1}{2}, \quad 0 < x < 1 \end{align*}$

同2017-2-14栈暇，易得 $u=2-2\sqrt y,\quad 0 < x < 1,-4 < x-2\sqrt y < -3$

2017-3-11. 求方程的通解以及定解條件下的特解麻裁。

$\begin{align*} & x(y+z)u_x+y(z-y)u_y+z(y-z)u_z=0 , \quad x>0 , z>y>0 \\ & u=x^2 \quad \mathrm{when} \quad z=2y \end{align*}$

同2017-1-11箍镜，中間需要用等比定理構(gòu)造 $\frac{\mathrm dx}{x(y+z)}=\frac{\mathrm dz-\mathrm dy}{(z+y)(y-z)}$ ，最終易得

通解 $u=F(yz,x(z-y))$

定解 $u=\frac{2x^2(z-y)^2}{yz}$

2017-3-14. 求解下列柯西問(wèn)題

$\begin{align*} & 3y^3 u_{xy}+yu_{yy}-2u_y=0, \quad x>0,y>0 \\ & u|_{y=1}=3, u_y|_{y=1}=-3, \quad 0 < x < 1 \end{align*}$

同2017-1-14煎源，易得 $u=4-y^3,\quad 0 < x < 1,0 < y^3-x < 1$

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末色迂，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市，隨后出現(xiàn)的幾起案子手销，更是在濱河造成了極大的恐慌歇僧，老刑警劉巖，帶你破解...
沈念sama閱讀 222,590評(píng)論 6贊 517
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件锋拖，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異诈悍，居然都是意外死亡，警方通過(guò)查閱死者的電腦和手機(jī)兽埃，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 95,157評(píng)論 3贊 399
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門(mén)侥钳，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來(lái)，“玉大人柄错，你說(shuō)我怎么就攤上這事舷夺】嘟矗” “怎么了？”我有些...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 169,301評(píng)論 0贊 362
道士緝兇錄：失蹤的賣(mài)姜人
文/不壞的土叔我叫張陵给猾，是天一觀的道長(zhǎng)疫萤。經(jīng)常有香客問(wèn)我，道長(zhǎng)敢伸，這世上最難降的妖魔是什么扯饶？我笑而不...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 60,078評(píng)論 1贊 300
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮详拙，結(jié)果婚禮上帝际，老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己饶辙，他們只是感情好蹲诀，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 69,082評(píng)論 6贊 398
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來(lái)的
文/花漫我一把揭開(kāi)白布。她就那樣靜靜地躺著弃揽，像睡著了一般脯爪。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上矿微，一...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 52,682評(píng)論 1贊 312
城市分裂傳說(shuō)
那天痕慢，我揣著相機(jī)與錄音，去河邊找鬼涌矢。笑死掖举，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的娜庇。我是一名探鬼主播塔次，決...
沈念sama閱讀 41,155評(píng)論 3贊 422
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開(kāi)眼，長(zhǎng)吁一口氣：“原來(lái)是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼名秀！你這毒婦竟也來(lái)了励负？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 40,098評(píng)論 0贊 277
萬(wàn)榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬(wàn)榮一對(duì)情侶失蹤匕得，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎继榆，沒(méi)想到半個(gè)月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇?shù)林里發(fā)現(xiàn)了一具尸體汁掠，經(jīng)...
沈念sama閱讀 46,638評(píng)論 1贊 319
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡略吨，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,701評(píng)論 3贊 342
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了考阱。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片翠忠。...
茶點(diǎn)故事閱讀 40,852評(píng)論 1贊 353
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖羔砾，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出负间，到底是詐尸還是另有隱情偶妖，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 36,520評(píng)論 5贊 351
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布政溃，位于F島的核電站趾访，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏董虱。R本人自食惡果不足惜扼鞋，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 42,181評(píng)論 3贊 335
男人毒藥：我在死后第九天來(lái)索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望愤诱。院中可真熱鬧云头，春花似錦、人聲如沸淫半。這莊子的主人今日做“春日...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 32,674評(píng)論 0贊 25
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽(yáng)科吭。三九已至昏滴，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間对人，已是汗流浹背谣殊。一陣腳步聲響...
開(kāi)封第一講書(shū)人閱讀 33,788評(píng)論 1贊 274
情欲美人皮
我被黑心中介騙來(lái)泰國(guó)打工，沒(méi)想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留牺弄，地道東北人姻几。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 49,279評(píng)論 3贊 379
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像势告，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親蛇捌。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 45,851評(píng)論 2贊 361