Chernoff Bound

若 $X_i$ 是相互獨(dú)立的Bernoulli變量拇颅， $E(X_i) = p_i$ ，記 $X=\sum X_i$ 岸夯， $\mu = E(X)$ 那么，我們有concentration表達(dá)式：

$P(X > (1+\delta)\mu) <= e^{-\frac{\delta^2}{3}}$ .

證明方法：

$P(X > (1+\delta)\mu) = P(e^{tX} > e^{(1+\delta)t\mu}) <\frac{E(e^{tX})}{e^{(1+\delta)t\mu}}$

而求解 $E(e^{tX})$ 需要 $X_i$ 的獨(dú)立性惑惶，變成乘積形式僵控。

$E(e^{tX}) = E(e^{t\sum_{i=1}^n X_i}) = \prod E(e^{tX_i})$

$E(e^{tX_i}) = p_ie^t+1-p_i = 1+p_i(e^t-1) \leq e^{p_i(e^t-1)}$

$E(e^{tX}) \leq e^{\mu(e^t-1)}$

$P(X > (1-\delta)\mu) < (\frac{e^{e^t-1}}{e^{(1+\delta)t}})^\mu$ 千绪。求導(dǎo)可知當(dāng) $t = \log(1+\delta)$ 時(shí)盹靴，取最大值 $(\frac{e^{-\delta}}{(1+\delta)^{(1+\delta)}})^{\mu}$ 瑞妇。

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