快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)

前言關(guān)于為什么又開始在這個(gè)博客上寫算法

FFT是我高中學(xué)競(jìng)賽階段接觸到的最后一個(gè)算法隅肥，也是我高中一直沒有學(xué)會(huì)的算法之一乓序，在高中畢業(yè)的時(shí)候認(rèn)為自己大學(xué)本科一定學(xué)的是CS仙畦，所以想要把這些自己之前沒有學(xué)會(huì)的算法都再琢磨一下态坦，可是基于當(dāng)時(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備我還完全不知道復(fù)數(shù)域和復(fù)平面以及多項(xiàng)式的各種定理，于是半途而廢了埂淮，F(xiàn)FT也成了在算法學(xué)習(xí)上我的一個(gè)心結(jié)之一姑隅。
但是巧合的是，我大學(xué)本科并沒有學(xué)CS倔撞，而是學(xué)了數(shù)學(xué)讲仰，這些我一直未曾學(xué)會(huì)的算法也就被一直擱置了兩年，直到昨天我在上數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課時(shí)误窖，數(shù)學(xué)院數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課所學(xué)內(nèi)容跟OI比起來簡(jiǎn)直不值一提叮盘，于是無聊的我突發(fā)奇想翻開了自己之前洛谷的提交記錄，發(fā)現(xiàn)FFT的版子還一直放在我的題單霹俺，于是就想利用這些時(shí)間把這些之前沒學(xué)懂的算法解決掉好了柔吼，也為明年考研跨考CS打下基礎(chǔ)。
這次在數(shù)學(xué)院歷練了兩年多的我拿著高等代數(shù)數(shù)學(xué)分析復(fù)變函數(shù)的知識(shí)再來看FFT丙唧，頓時(shí)覺得這些知識(shí)難度與我兩年前看的時(shí)候相比要簡(jiǎn)單了許多愈魏，在昨天晚上解決了自己所有的疑難點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了代碼拿到了AC。
看到我的這個(gè)博客之前發(fā)布的線段樹網(wǎng)絡(luò)流等等算法講解總瀏覽量都接近一萬了，那就繼續(xù)吧培漏，讓這個(gè)斷更了4年的博客重新活起來溪厘！

奈芙蓮封面是這個(gè)博客的靈魂！牌柄！

問題背景

多項(xiàng)式乘法
給定一個(gè) $n$ 次多項(xiàng)式 $A(x)$ 和 $m$ 次多項(xiàng)式 $B(n)$ 畸悬，求出 $F(x)$ 與 $G(x)$ 的卷積。

輸入格式

第一行兩個(gè)整數(shù) $n,mn,m$ 珊佣。
接下來一行 $n+1$ 個(gè)數(shù)字蹋宦，從低到高表示 $F(x)$ 的系數(shù)。
接下來一行 $m+1$ 個(gè)數(shù)字咒锻，從低到高表示 $G(x)$ 的系數(shù)冷冗。

輸出格式

一行 $n+m+1$ 個(gè)數(shù)字，從低到高表示 $F(x) \cdot G(x)$ 的系數(shù)惑艇。

輸入輸出樣例

輸入樣例

1 2
1 2
1 2 1

輸出樣例

1 4 5 2

問題分析

假設(shè)兩個(gè)多項(xiàng)式 $A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}$ 和 $B(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}$ 蒿辙，兩個(gè)多項(xiàng)式可以寫作：
$\begin{equation} A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\\ B(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i \end{equation}$
傳統(tǒng)方法是利用兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到一個(gè) $2n-2$ 次多項(xiàng)式 $C(x)$ ：
$\begin{equation} C(x)=\sum_{i=0}^{2n-2}c_ix_i \end{equation}$
這種卷積運(yùn)算的時(shí)間復(fù)雜度為 $O(n^2)$ 滨巴，顯然在數(shù)據(jù)范圍較大的情況下難以承受思灌，而利用快速傅里葉變換可將時(shí)間復(fù)雜度降為 $O(nlogn)$ 。

FFT介紹

快速傅里葉變換 (fast Fourier transform),即利用計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換（DFT)的高效兢卵、快速計(jì)算方法的統(tǒng)稱习瑰，簡(jiǎn)稱FFT绪颖』嗷纾快速傅里葉變換是1965年由J.W.庫(kù)利和T.W.圖基提出的。采用這種算法能使計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換所需要的乘法次數(shù)大為減少柠横，特別是被變換的抽樣點(diǎn)數(shù)N越多窃款，F(xiàn)FT算法計(jì)算量的節(jié)省就越顯著。
FFT（Fast Fourier Transformation）是離散傅氏變換（DFT）的快速算法牍氛。即為快速傅氏變換晨继。它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶搬俊、虛紊扬、實(shí)等特性，對(duì)離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的唉擂。
——百度百科

要解決的問題是多項(xiàng)式的乘法餐屎，而一個(gè)多項(xiàng)式的表示方法并不唯一，傳統(tǒng)意義上多項(xiàng)式的表示利用的是系數(shù)表示法玩祟，即對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式 $A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}$ 可由一個(gè)系數(shù)向量 $(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})$ 唯一表示腹缩。

而除了系數(shù)表示法之外，多項(xiàng)式也可以利用點(diǎn)值表示，對(duì)于多項(xiàng)式 $A(x)$ 藏鹊，選定 $n$ 個(gè) $x$ 值 $(x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})$ 帶入多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算润讥，得到 $n$ 個(gè)點(diǎn)值 $\{ (x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1)),(x_2,A(x_2)),\cdots,(x_{n-1},A(x_{n-1})) \}$ 這 $n$ 個(gè)點(diǎn)值也可唯一表示多項(xiàng)式 $A(x)$ 。

因此當(dāng)我們利用同一個(gè)向量 $x$ 得到了兩個(gè)兩個(gè)多項(xiàng)式的點(diǎn)值表示法后盘寡，用對(duì)應(yīng)點(diǎn)值相乘楚殿，得到 $(A(x_0)B(x_0),A(x_1)B(x_1),A(x_2)B(x_2),\cdots,A(x_{n-1})B(x_{n-1}))$ 即為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積多項(xiàng)式的點(diǎn)值表示，這個(gè)過程的時(shí)間復(fù)雜度為 $O(n)$ 竿痰。

需要注意的一點(diǎn)是勒魔，當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)為 $n,m$ 時(shí)，他們的乘積多項(xiàng)式次數(shù)為 $n+m$ 菇曲，因此利用點(diǎn)值表示計(jì)算時(shí)冠绢，計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式的點(diǎn)值表示時(shí)應(yīng)選用 $n+m+1$ 個(gè)變量，才能使得到的結(jié)果唯一表示乘積多項(xiàng)式 $C(x)$ 常潮。

然而對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式 $A(x)$ 來說弟胀，代入任意選定的變量 $(x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{n-1})$ 計(jì)算他的點(diǎn)值表示法時(shí)間復(fù)雜度依然是 $O(n^2)$ ，并沒有起到優(yōu)化的效果喊式，而快速傅里葉變換解決了這個(gè)問題孵户，使得系數(shù)表示法轉(zhuǎn)化為點(diǎn)值表示法的時(shí)間復(fù)雜度降低為 $O(nlogn)$ 。

快速傅里葉變換FFT

FFT在計(jì)算多項(xiàng)式的系數(shù)表示法變換為點(diǎn)值表示法時(shí)岔留，選定復(fù)平面上單位圓上的單位復(fù)根 $\omega_n^k$ 作為變量計(jì)算多項(xiàng)式的點(diǎn)值夏哭，在這里單位根 $\omega_n^k$ 滿足以下的一些性質(zhì)（如果有不理解的可以自行查閱復(fù)數(shù)的一些相關(guān)知識(shí)）：
$\begin{aligned} \omega_n^k&=e^{\frac{2k\pi}{n}i}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\\ n&=2^i,i\in N^+\quad k\in [0,n)\\ \omega_n^0&=\omega_n^n=1\\ \omega_n^{\frac{n}{4}}&=i\\ \omega_n^{\frac{3n}{4}}&=-i\\ \omega_{2n}^{2k}&=\omega_{n}^k\\ \omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}&=-\omega_n^k\\ \end{aligned}$
以上的這些性質(zhì)都可以由Euler公式得到，推導(dǎo)過程并非FFT重點(diǎn)這里就省略了献联。

對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式 $A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}$ 竖配，我們可以對(duì)其進(jìn)行劃分，將偶數(shù)次項(xiàng)與奇數(shù)次項(xiàng)分開里逆，在這里假設(shè) $n-1$ 為奇數(shù)进胯，得到：
$A(x)=(a_0+a_2x^2+\cdots +a_{n-2}x^{n-2})+x(a_1+a_3x^2+\cdots +a_{n-1}x^{n-2})$
我們分別定義兩個(gè)多項(xiàng)式 $A_1(x),A_2(x)$ ：
$\begin{aligned} &A_1(x)=a_0+a_2x^1+\cdots +a_{n-2}x^{\frac{n}{2}-1}\\ &A_2(x)=a_1+a_3x^2+\cdots +a_{n-1}x^{\frac{n}{2}-1}\\ \end{aligned}$
那么原多項(xiàng)式 $A(x)$ 就可以表示為：
$A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2)$
將 $\omega_n^k$ 代入上式：
$\begin{aligned} A(\omega_n^k)&=A_1(\omega_n^{2k})+\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\\ &=A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^k)+\omega_n^kA_2(\omega_{\frac{n}{2}}^k) \end{aligned}$
將 $\omega_n^{k+\frac{n}{2}}$ 代入上式：
$\begin{aligned} A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})&=A_1(\omega_{n}^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}A_2(\omega_n^{2k+n})\\ &=A_1(\omega_n^n\times \omega_n^{2k})-\omega_n^kA_2(\omega_n^n\times \omega_n^{2k})\\ &=A_1(\omega_n^{2k})-\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})\\ &=A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^k)-\omega_n^kA_2(\omega_{\frac{n}{2}}^k) \end{aligned}$
由此可以發(fā)現(xiàn)， $A(\omega_n^k)$ 和 $A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}} )$ 在計(jì)算的過程中只有一個(gè)符號(hào)不同原押，因此在進(jìn)行枚舉計(jì)算 $A(\omega_n^k)$ 時(shí)即可直接得到 $A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}} )$ 的值胁镐，利用這種方法進(jìn)行分治，便可以將復(fù)雜度降至 $O(nlogn)$ 诸衔。

逆傅里葉變換IFFT

利用上述的方法得到了乘積多項(xiàng)式的點(diǎn)值表示法盯漂，那么現(xiàn)在需要解決的問題時(shí)如何將點(diǎn)值表示法再轉(zhuǎn)換回系數(shù)表示法。

假設(shè)得到多項(xiàng)式的FFT點(diǎn)值表示為 $(y_0,y_1,y_2,\cdots ,y_{n-1})$ 笨农，其系數(shù)表示為 $(a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1})$ 就缆，根據(jù)FFT原理， $y_k$ 可如下表示：
$y_k=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(\omega_n^k)^i$
取 $\omega_n^k$ 的共軛復(fù)數(shù) $\omega_n^{-k}$ 磁餐，如下定義向量 $(c_0,c_1,c_2,\cdots ,c_{n-1})$ ：
$c_k=\sum_{i=0}^{n-1}y_i(\omega_n^{-k})^i$
那么由定義可以推導(dǎo)出如下的公式：
$\begin{aligned} c_k&=\sum_{i=0}^{n-1}y_i(\omega_n^{-k})^i\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^i)^j)(\omega_n^{-k})^i\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^{j-k})^i\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i \end{aligned}$
對(duì)于復(fù)平面上的單位根 $\omega_n^k$ 违崇，有如下的性質(zhì)：
$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i&=0\quad(j\neq k)\\ \sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{j-k})^i& =\omega_n^ 0=1 \quad (j= k ) \end{aligned}$
因此可以得到：
$\begin{aligned} &c_k=na_k\\ &a_k=\frac{c_k}{n} \end{aligned}$
因此阿弃，利用FFT得到了多項(xiàng)式的點(diǎn)值表示后只需要將變量換為原本選定的單位根的共軛復(fù)數(shù)再進(jìn)行一次FFT就能得到多項(xiàng)式的系數(shù)表示。

這里需要說明一個(gè)問題羞延，我們以上的討論都是建立在 $n$ 為 $2$ 的冪次的條件下的渣淳，那么當(dāng) $n$ 不是 $2$ 的冪次時(shí)需要將 $n$ 擴(kuò)大為大于 $n$ 的最小的 $2$ 的冪次，在進(jìn)行逆傅里葉變換時(shí)伴箩，通過上述的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)入愧，當(dāng)我們計(jì)算的 $c_k$ 中 $k$ 的值大于原本的 $n$ 時(shí)，就不存在 $j=k$ 的情況了嗤谚，因此求得的 $a_k$ 為 $0$ 棺蛛，表示該多項(xiàng)式的 $k$ 次項(xiàng)系數(shù)為 $0$ 。

代碼實(shí)現(xiàn)

下面是利用遞歸實(shí)現(xiàn)FFT的代碼巩步，具體的解釋見代碼注釋好了旁赊。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;

const int N=1e6+10;
const double Pi=acos(-1.0);
int n,m,l=1;

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9' && c>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+(int)(c-'0');c=getchar();}
    return x*f;
}

struct Complex{
    double re,im;
    Complex (double xx=0,double yy=0){re=xx,im=yy;}
};

Complex operator + (Complex a,Complex b){
    return Complex(a.re+b.re,a.im+b.im);
}

Complex operator - (Complex a,Complex b){
    return Complex(a.re-b.re,a.im-b.im);
}

Complex operator * (Complex a,Complex b){
    return Complex(a.re*b.re-a.im*b.im,a.im*b.re+a.re*b.im);
}

Complex a[N<<1],b[N<<1];

inline void FFT(Complex *a,int t,int inv){//inv表示當(dāng)前進(jìn)行FFT還是IFFT
    if(t==1)return;//計(jì)算長(zhǎng)度為1時(shí)回溯
    int mid=t>>1;
    static Complex tmp[N];
    rep(i,0,mid-1)
        tmp[i]=a[2*i],tmp[i+mid]=a[2*i+1];//將多項(xiàng)式按照次數(shù)奇偶進(jìn)行二分
    rep(i,0,t-1)a[i]=tmp[i];
    FFT(a,mid,inv);
    FFT(a+mid,mid,inv);
    Complex wn(cos(2.0*Pi/t),inv*sin(2.0*Pi/t)),w(1,0);//單位根
    rep(i,0,mid-1){
        tmp[i]=a[i]+w*a[i+mid];
        tmp[i+mid]=a[i]-w*a[i+mid];
        w=w*wn;
    }
    rep(i,0,t-1)a[i]=tmp[i];
}

int main(){
    n=read(),m=read();
    rep(i,0,n) a[i].re=read();
    rep(i,0,m) b[i].re=read();
    while(l<=(n+m))l<<=1;//找到大于等于n+m的最小2的冪次
    FFT(a,l,1);
    FFT(b,l,1);
    rep(i,0,l)
        a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,l,-1);
    rep(i,0,n+m)
        printf("%d ",(int)(a[i].re/l+0.5));//輸出整數(shù)，需要注意精度
    return 0;
}

但是問題到這里并沒有結(jié)束

當(dāng)有的毒瘤數(shù)據(jù)范圍非常大的時(shí)候椅野，用遞歸進(jìn)行計(jì)算時(shí)终畅，大量的遞歸會(huì)造成棧溢出，那么是否有不用遞歸的做法竟闪？

FFT的迭代實(shí)現(xiàn)

對(duì)于這樣一個(gè)序列 $(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)$ 离福，我們觀察對(duì)其進(jìn)行二分的過程：

我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)神奇的性質(zhì)，在對(duì)這個(gè)序列進(jìn)行二分以后的序列的二進(jìn)制可以由原序列的二進(jìn)制進(jìn)行翻轉(zhuǎn)得到炼蛤，那么我們可以利用這個(gè)性質(zhì)妖爷，用一個(gè)

O(n)

的方法可以直接得到最終的序列，從而省去了遞歸的過程理朋，用最終的序列反向遞推實(shí)現(xiàn)即可絮识。

Rader算法

Rader算法即為實(shí)現(xiàn)上述操作的一種算法，對(duì)于 $N$ 個(gè)數(shù)暗挑，我們把遞增自然數(shù) $(0,1,2,3,\cdots)$ 稱為順序數(shù)列笋除；對(duì)順序數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)斜友，將其二進(jìn)制倒序后轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制炸裆，稱為倒序數(shù)列。
對(duì)于一個(gè)順序數(shù)列鲜屏，第 $i$ 個(gè)數(shù)的二進(jìn)制可以視為將第 $i/2$ （這里是整除）個(gè)數(shù)的二進(jìn)制左移一位烹看，再根據(jù) $i$ 的奇偶性對(duì)其末尾加 $1$ 或者不加 $1$ 。
那么要得到它的倒序數(shù)列洛史，只需要將這個(gè)操作反向進(jìn)行即可惯殊，即第 $i$ 個(gè)數(shù)的二進(jìn)制可以視為將第 $i/2$ 個(gè)數(shù)的二進(jìn)制右移一位，再根據(jù) $i$ 的奇偶性對(duì)其最高加 $1$ 或者不加 $1$ 也殖，這里最高位即為第 $\log_{2}n$ 位土思。

迭代進(jìn)行FFT（蝴蝶變換）

利用Rader算法求得了遞推序列务热，那么如何通過迭代得到最終的答案？
這其實(shí)跟迭代實(shí)現(xiàn)01背包的做法思路差不多己儒，對(duì)于求 $A(x)$ 在 $n$ 次單位根的各冪次的點(diǎn)值時(shí)崎岂， $m=n/2$ 次單位根的各冪次在 $A_1$ 或 $A_2$ 處的點(diǎn)值已經(jīng)被計(jì)算并且儲(chǔ)存在了 $A$ 數(shù)組中，那么在下一層的迭代過程中直接使用 $A$ 數(shù)組存儲(chǔ)的答案繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算即可闪湾。

迭代優(yōu)化FFT代碼實(shí)現(xiàn)

詳細(xì)解釋依舊見代碼注釋冲甘。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;

const int N=1e7+10;
const double Pi=acos(-1.0);
int n,m,l=1,t=0;
int bin[N<<1];

inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9' && c>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+(int)(c-'0');c=getchar();}
    return x*f;
}

struct Complex{
    double re,im;
    Complex (double xx=0,double yy=0){re=xx,im=yy;}
};

Complex operator + (Complex a,Complex b){
    return Complex(a.re+b.re,a.im+b.im);
}

Complex operator - (Complex a,Complex b){
    return Complex(a.re-b.re,a.im-b.im);
}

Complex operator * (Complex a,Complex b){
    return Complex(a.re*b.re-a.im*b.im,a.im*b.re+a.re*b.im);
}

Complex a[N<<1],b[N<<1];

inline void FFT(Complex *A,int inv){
    rep(i,0,l-1)
        if(i<bin[i]) swap(A[i],A[bin[i]]);//得到倒序數(shù)列
    for(int mid=1;mid<l;mid<<=1){//枚舉當(dāng)前迭代區(qū)間的中點(diǎn)
        Complex wn(cos(Pi/mid),inv*sin(Pi/mid));//單位根
        for(int r=mid<<1,j=0;j<l;j+=r){//j枚舉迭代區(qū)間位置，用r來得到區(qū)間右端點(diǎn)
            Complex w(1,0);
            rep(k,0,mid-1){//k枚舉當(dāng)前迭代區(qū)間
                Complex x=A[k+j],y=w*A[k+j+mid];
                A[k+j]=x+y;
                A[k+j+mid]=x-y;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
}

int main(){
    n=read(),m=read();
    rep(i,0,n) a[i].re=read();
    rep(i,0,m) b[i].re=read();
    while(l<=(n+m)){
        l<<=1,t++;
    }
    rep(i,0,l)//Rader算法
        bin[i]=(bin[i>>1]>>1)|((i&1)<<(t-1));
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    rep(i,0,l)
        a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    rep(i,0,n+m)
        printf("%d ",(int)(a[i].re/l+0.5));
    return 0;
}

最后編輯于：2024.03.20 15:59:28

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救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門遏插，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來捂贿，“玉大人，你說我怎么就攤上這事胳嘲〕” “怎么了？”我有些...
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道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵了牛，是天一觀的道長(zhǎng)颜屠。經(jīng)常有香客問我，道長(zhǎng)鹰祸，這世上最難降的妖魔是什么甫窟？我笑而不...
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?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮蛙婴，結(jié)果婚禮上粗井，老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己街图，他們只是感情好浇衬，可當(dāng)我...
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惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布。她就那樣靜靜地躺著餐济，像睡著了一般耘擂。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上絮姆，一...
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城市分裂傳說
那天醉冤，我揣著相機(jī)與錄音秩霍，去河邊找鬼。笑死蚁阳，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛前域，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播韵吨，決...
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雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼匿垄，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼！你這毒婦竟也來了归粉？” 一聲冷哼從身側(cè)響起椿疗，我...
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萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎糠悼，沒想到半個(gè)月后届榄，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
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?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡倔喂，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
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?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年铝条，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片席噩。...
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活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡班缰，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情，我是刑警寧澤挂滓，帶...
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?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站莹妒，受9級(jí)特大地震影響，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏绰上。R本人自食惡果不足惜旨怠，卻給世界環(huán)境...
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男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望蜈块。院中可真熱鬧鉴腻，春花似錦、人聲如沸疯趟。這莊子的主人今日做“春日...
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一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽信峻。三九已至，卻和暖如春瓮床，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間盹舞，已是汗流浹背产镐。一陣腳步聲響...
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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國(guó)打工，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留踢步，地道東北人癣亚。一個(gè)月前我還...
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代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像获印，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親述雾。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
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