值得一提的是：伽利略變換也應(yīng)有相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)之分。?例如：

１昏滴、伽利略變換

? ? ? 相離運(yùn)動(dòng)：ｘ′?＝ｘ－ｖｔ猴鲫，

? ? ? 相向運(yùn)動(dòng)：ｘ′?＝ｘ－ｉｖｔ．

２、洛侖茲變換

§4??空間反演的兩類對(duì)稱性

虛數(shù)i 的數(shù)學(xué)意義我們都很清楚谣殊。下面通過對(duì)空間反演兩類對(duì)稱性的論述拂共，進(jìn)一步闡明共軛洛侖茲變換公式中出現(xiàn)虛數(shù)單位ｉ的物理意義；為相互共軛的兩組洛侖茲變換新公式的并存提供依據(jù)姻几。

§4.1什么叫相離運(yùn)動(dòng)宜狐，什么叫相向運(yùn)動(dòng)势告？

相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)都是比較而言，它們都是相對(duì)于靜系統(tǒng)而言的抚恒，否則就無法判別咱台。

圖１所示，Σ為靜系統(tǒng)俭驮，Σ′為動(dòng)系統(tǒng)以速度ｖ沿Ｘ軸增大方向運(yùn)動(dòng)回溺。Σ〞也是動(dòng)系統(tǒng)以速度ｖ沿Ｘ軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。Σ〞構(gòu)成了Σ′的鏡像混萝。相離運(yùn)動(dòng)（包括靜系統(tǒng)遗遵、鏡像系統(tǒng)）構(gòu)成了洛侖茲群，洛侖茲變換公式

適用于此群逸嘀。

如圖２所示车要，Σ為靜系統(tǒng)，Σ′為動(dòng)系統(tǒng)厘熟，在Ｘ軸的正側(cè)屯蹦，沿Ｘ軸減小的方向以速度ｖ向靜系統(tǒng)原點(diǎn)Ｏ處觀察者運(yùn)動(dòng)，Σ〞是Σ′的鏡像绳姨。相向運(yùn)動(dòng)（包括靜系統(tǒng)登澜、鏡像系統(tǒng)）構(gòu)成了共軛洛侖茲群，洛侖茲變換公式

適用于此群飘庄。

4.2 兩種鏡像對(duì)稱

　　如圖３所示脑蠕，ＡＢ是相對(duì)于靜系統(tǒng)以速度ｖ向Ｘ軸增大方向運(yùn)動(dòng)的桿。ｘ′＝ｘ－ｖｔ表示桿ＡＢ的長度跪削。

這里ｘ′為常數(shù)谴仙，ｘ是ｔ的函數(shù)，可以寫成ｘ（ｔ）碾盐。在相離運(yùn)動(dòng)中晃跺，隨著時(shí)間ｔ的流逝，ｖｔ增大毫玖，ｘ（ｔ）也增大掀虎，保持ｘ′ ＝ｘ(ｔ)－ｖｔ值不變。

在相向運(yùn)動(dòng)中付枫，我們?cè)鯓訉⒖臻g坐標(biāo)ｘ烹玉，時(shí)間ｔ，速度ｖ和不變的桿長ＡＢ（ｘ′）聯(lián)系起來呢阐滩？

　　為了建立相向運(yùn)動(dòng)桿長和空間、時(shí)間卑惜、速度三者之間的聯(lián)系膏执，需要建立新的概念。

　　一露久、第一種鏡像對(duì)稱

　　我們知道更米，速度等于位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，空毫痕、時(shí)蜡塌、速三者聯(lián)系式為

　　這就是通常所說的空間反演對(duì)稱性（或左右對(duì)稱瘤旨、鏡像對(duì)稱）梯啤。式(1) 中的ｋ＝±１稱為鏡像對(duì)稱系數(shù)。

　　如圖１存哲、圖２所示的相離運(yùn)動(dòng)或相向運(yùn)動(dòng)因宇，觀察者和鏡子處于同一位置七婴，即觀察者處于對(duì)稱中心。在這種情況下察滑，無論是相離運(yùn)動(dòng)（圖１）還是相向運(yùn)動(dòng)（圖２）打厘，對(duì)稱系數(shù)都是ｋ＝±１實(shí)物運(yùn)動(dòng)取ｋ＝＋１時(shí)贺辰，鏡像運(yùn)動(dòng)則然Фⅰｋ＝－１∷腔或者反之莽鸭。

　　因而，只要觀察者處于對(duì)稱中心（鏡子位置）吃靠，無論是相離運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性還是相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性硫眨，都有

? ?二、第二種“鏡像”對(duì)稱

?第二種“鏡像”對(duì)稱和第一種鏡像對(duì)稱不同巢块，所以鏡像對(duì)稱系數(shù)Ｋ的取值也不同礁阁。這第二種“鏡像”對(duì)稱正是我們要建立的新概念。

　　如圖５所示族奢，對(duì)于觀察者Ｋ來說Ａ的運(yùn)動(dòng)是相離運(yùn)動(dòng)姥闭；Ａ′的運(yùn)動(dòng)是相向運(yùn)動(dòng)．這也是一種鏡像對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，但是這和第一種鏡像對(duì)稱不同歹鱼，第一種鏡像對(duì)稱是鏡子必須置于觀察者處泣栈，或者說觀察者必須處于對(duì)稱中心。而這里相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性弥姻，鏡子不是置于觀察者處南片，觀察者不在對(duì)稱中心。為了區(qū)別這種情況庭敦，我們引入第二類鏡像對(duì)稱系數(shù)：

或者反之秧廉。

? ? ?應(yīng)該注意伞广，相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，ｘ和ｖｔ不是從同一點(diǎn)取值的疼电，換成ｉｖｔ后嚼锄，就可以和ｘ在同一點(diǎn)（ｖｔ的鏡像點(diǎn)）取值了。這樣蔽豺，桿的長度ｘ′就可以和空間坐標(biāo)ｘ区丑，時(shí)間ｔ以及速度v建立聯(lián)系了。由圖４，我們得到

　　　　 X′＝ x － i v t ? ? ? ?(4)

這和相離運(yùn)動(dòng)

　　　　 X′＝ x－v t

具有第二類鏡像對(duì)稱的形式沧侥。

　　對(duì)于第一類鏡像對(duì)稱可霎，k＝±1，表示物質(zhì)實(shí)際運(yùn)動(dòng)（實(shí)像）和鏡像運(yùn)動(dòng)（虛像）之間的方向關(guān)系宴杀，（當(dāng)然癣朗，鏡像運(yùn)動(dòng)也是實(shí)際可以發(fā)生的）。此時(shí)旺罢，物理規(guī)律相同旷余，洛侖茲變換也相同。這是愛因斯坦通過φ(v)＝φ(－v)證明了的主经。

　　對(duì)于第二類鏡像對(duì)稱荣暮，

　　但是砾跃，就一個(gè)觀察者來說，他看到一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)节吮，在某一時(shí)刻抽高，要么是相離而去，要么是相向而來透绩。因而總的格式應(yīng)該如下

? ?歸納一下應(yīng)有：

　　 對(duì)應(yīng)于K洛侖茲變換公式不同翘骂； 對(duì)應(yīng)于K洛侖茲變換形式相同。見表１帚豪。

表１兩類鏡像對(duì)稱公式的比較表

§4.3??直線運(yùn)動(dòng)中的虛數(shù)

　　質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上點(diǎn)的諧振動(dòng)碳竟，反映在數(shù)值上應(yīng)是實(shí)數(shù)的變化，怎么會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)ｉ呢狸臣？

　　式（５）已經(jīng)給出物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的空莹桅、時(shí)、速三者的關(guān)系

式中：

　一铐达、第一類鏡像對(duì)稱系數(shù) Ｋ＝±１

如圖６－１所示，２和３是關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性檬果；１和４是關(guān)于原點(diǎn)的相向運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性娶桦。在這兩種情況下，鏡像對(duì)稱系數(shù)都由Ｋ＝±１給出。２戎云琛Ｋ＝＋１時(shí)，３戎啤Ｋ＝－１祈争。１取Ｋ＝＋１時(shí)角寸，４绕谢臁Ｋ＝－１”馀海或者反之沮峡。若就速度而論，這就是通常的ｖ與－ｖ的概念亿柑。

二邢疙、第二類鏡像對(duì)稱系數(shù)

在圖６－１中，１和２或者３和４對(duì)于原點(diǎn)處的觀察者來說都屬于相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的非原點(diǎn)對(duì)稱性望薄。

這由圖６－２會(huì)看得更清楚疟游。在這兩種情況下，鏡像對(duì)稱系數(shù)都由

例如：

　〔毂痢１干签、伽利略變換

? ? ? ? ?相離運(yùn)動(dòng)：ｘ′＝ｘ－ｖｔ，

　　　　? ? ? ?相向運(yùn)動(dòng)：ｘ′＝ｘ－ｉｖｔ．

２拆撼、洛侖茲變換

§4.4? ?量子力學(xué)中的復(fù)數(shù)

　　量子力學(xué)公式中經(jīng)常出現(xiàn)ｉ容劳，這是什么原因呢？至今所有的教科書中只是使用闸度，沒有解釋〗叻罚現(xiàn)在我來給出其物理意義。

　一莺禁、平面中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是和二維復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

　　電子繞核運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道是兩個(gè)互相垂直的諧振動(dòng)的合成留量。

? ? ? ?如圖７所示，ｘ和ｙ軸把電子的橢圓軌道四等分。２和４是ｘ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性楼熄，同時(shí)也是ｙ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性忆绰。１和３是ｘ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相向運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性，同時(shí)也是ｙ軸方向關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可岂。鏡像對(duì)稱系數(shù)都是Ｋ＝±１错敢。

? ２和３或１和４，無論在ｘ軸方向還是在ｙ軸方向都是關(guān)于原點(diǎn)的相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱缕粹，屬于第二類鏡像對(duì)稱稚茅，對(duì)稱系數(shù)都是

　　電子在橢圓軌道上不斷運(yùn)動(dòng)，由ｘ軸正向運(yùn)動(dòng)到ｙ軸正向時(shí)平斩，方向變化了90°亚享，相當(dāng)于變化了一個(gè)ｉ，再運(yùn)動(dòng)到ｘ軸負(fù)向绘面，方向又變化了90°欺税，相當(dāng)于又變化了一個(gè)ｉ，但對(duì)ｘ軸正向而言方向變化了180°飒货， 屬于第一類鏡像對(duì)稱了魄衅。

　　為了綜合反映出電子繞核運(yùn)動(dòng)的這兩類不斷變化同時(shí)存在的對(duì)稱性，就必須用復(fù)數(shù)來描述塘辅。

　　　』纬妗ｗ＝ｘ＋ｙｉ．

或用量子力學(xué)公式

　　　　ψ(r,t)＝ψ。(r,t)（cosθ＋ｉsinθ）扣墩，

式中：

　 二、空間中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是和三維復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

　　我們定義三維復(fù)數(shù)為

　　　∩胩琛ｗ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｉ．

三維復(fù)數(shù)的模為

當(dāng)ｘ＝ｘ，ｙ＝ｙ亚脆，ｚ＝ｚ時(shí)做院，三維復(fù)數(shù)

　　　　ｗ＝ｗ．

同一虛軸上的純虛數(shù)可以加濒持、減键耕，即

　　 ? ｗ±ｗ＝（ｘ±ｘ）＋（ｙ±ｙ）ｉ＋（ｚ±ｚ）ｉ，

不同虛軸上的純虛數(shù)不能相加柑营、減屈雄，即

　　　　ｗ＝ｘ＋ｙｉ±ｚｉ≠ｘ＋（ｙ±ｚ）ｉ．

于是官套，電子繞核在三維空間中的運(yùn)動(dòng)就可以用三維復(fù)數(shù)來描述了

　　【颇獭ｗ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｉ．

或者如圖８所示蚁孔，由

　　　　ｘ＝ｒcosφcosθ惋嚎，

　　　「芮狻ｙ＝ｒcosφsinθ，

　　　∪惩ｚ＝ｒsinφ．

得

　　　　w＝ｒ（cosφcosθ＋ｉcosφsinθ＋ｉsinφ）

式中：

　　空間任意物體的曲線運(yùn)動(dòng)總是由平移和轉(zhuǎn)動(dòng)合成的修然，有時(shí)相離觀察者而去，有時(shí)相向觀察者而來质况，為了綜合反映運(yùn)動(dòng)物體同時(shí)存在的兩類對(duì)稱性，用波函數(shù)來表示為

　　　　ψ(ｒ玻靡，ｔ)＝ψ结榄。(ｒ，ｔ)（cosφcosθ＋ｉcosφsinθ＋ｉsinφ）

式中：

若用能量囤捻、動(dòng)量以及直角坐標(biāo)的指數(shù)函數(shù)表示臼朗，則為

現(xiàn)在我們明白了，原來量子力學(xué)公式和共軛洛侖茲變換公式中的虛數(shù)ｉ蝎土，只是第二類鏡像對(duì)稱的對(duì)稱系數(shù)视哑。例如：

1、ｖ與（－ｖ）或者ｉｖ與（－ｉｖ）誊涯，對(duì)稱系數(shù)Ｋ＝±１挡毅。

2、ｖ與ｉｖ或者（－ｖ）與（－ｉｖ）暴构，對(duì)稱系數(shù)

? ?第一類鏡像對(duì)稱用于相離運(yùn)動(dòng)或相向運(yùn)動(dòng)的空間反演；第二類鏡像對(duì)稱用于相離運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)的空間反演取逾。這里請(qǐng)?zhí)貏e注意：“或”與“和”的區(qū)別耗绿！