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• Reflexivity r(R) 自反閉包
• Symmetry s(R) 對稱閉包
• Transitivity t(R) 傳遞閉包
• Supremum sup{a,b}上確界
• infimum inf{a,b} 下確界

相容關(guān)系 集合A上的關(guān)系ρ恰矩，若ρ是自反的毕荐、對稱的
等價(jià)關(guān)系 非空集合A上的關(guān)系R,R是自反的窖式，對稱的已卸，傳遞的
等價(jià)類集合A的一個(gè)劃分確定A的元素間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系淀衣，劃分中的集合是等價(jià)類

序關(guān)系

• 偏序關(guān)系 設(shè)A是一個(gè)非空集合，如果A的上的關(guān)系R滿足*自反性芯咧、反對稱性蕾盯、傳遞性* ，則稱R是A上第一個(gè)

• 覆蓋 偏序集<A,≤ >太惠，對任意a,b∈A, a<b 且不存在 c∈A舍得a<c<b,則稱b覆蓋a磨淌，COVA = {<a,b> | a∈A，b∈A凿渊，b覆蓋a}
• 擬序關(guān)系 反自反的梁只、傳遞的 缚柳，同時(shí)擬序關(guān)系必定反對稱
• 全序關(guān)系 若偏序中任意兩個(gè)元素都可比，則此偏序集為全序集
• 良序關(guān)系 全序集A的任何非空子集都含有最小元

• 最小元 偏序集A搪锣，A的子集B秋忙，B中元素x，確定的y ,對任意x都有y≤x构舟，則稱y是B的最小元,最小元是B中最小元素,與B中所有元素都可比
• 極小元 偏序集A翰绊，A的子集B，B中元素x旁壮，確定的y，對任意x谐檀，如果x≤y抡谐，那么x=y .
• 注意：若P則Q的命題形式，則表明這個(gè)y不一定要比任何一個(gè)B中元素小桐猬，而是在與他可比的元素中最小麦撵，所以極小元可能有多個(gè)，若果是一個(gè)溃肪，則一定是 -----最小元
最大元 免胃、極大元的定義類似，不再贅述

• 上界 偏序集A ,子集B惫撰，a∈A羔沙，B中任意元素x，都小于等于a厨钻，則稱a為子集B的上界扼雏，反之為下界
• 上確界 上界中最小的為上確界，下界中最大的為下確界

@TIME 2017-1-14 00:55

代數(shù)系統(tǒng)

設(shè)A為任意集合夯膀，一個(gè)從A^n 到B的映射诗充，成為集合A上的一個(gè)n元運(yùn)算，如果B包含于A诱建，則稱n元運(yùn)算時(shí)封閉的
一個(gè)非空集合A蝴蜓，連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算f1,f2....，所組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)俺猿，簡稱為代數(shù)茎匠，記作：<A，f1,f2...,fk>

• 幺元 幺元e乘以任何一個(gè)元素辜荠，還是那個(gè)元素
• 零元 零元乘以任何一個(gè)元素汽抚，還是零元
• 逆元兩個(gè)元素 a*b =b*a=e，則兩個(gè)元素互為逆元

群

• 半群 V=<S , * >代數(shù)系統(tǒng)伯病，*是二元運(yùn)算造烁，* 封閉且可結(jié)合

• 含幺半群 +存在幺元 則稱<S , * > 為獨(dú)異點(diǎn)或含幺半群
• 群 +任意元素都有逆元否过，則稱<G , *> 為群
• 循環(huán)群
  1. |G|>1 則群為非平凡群 （即群中元素大于1）
  2. 滿足交換律則為Abel群
  3. 存在元素a∈G，使得任意元素都可用a的冪表示惭蟋，循環(huán)群苗桂，a為G的生成元

環(huán)與域

• 環(huán) <A , + , * >是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，+,* 是二元運(yùn)算
  1. <A, + >是Abel 群
  2. <a,* >是半群
  3. *對+ 是可分配的
     則<A , + , * >為環(huán)

• 可交換環(huán) *滿足交換律告组， 可交換環(huán)

• 含幺環(huán) 乘法*存在幺元煤伟，則稱1為環(huán)<A , + , * >的幺元

• 零因子 元素a,b≠0，但a*b=0,b*a=0,則稱a,b是一個(gè)零因子

• 無零因子環(huán) 若a*b=b*a=0 則 a=0或b=0,則為無零因子環(huán)

• 整環(huán) 交換木缝、含幺便锨、無零因子 <A , + , * > 為整環(huán)

• 域 一個(gè)整環(huán)|R|>2,R去掉0因子對每個(gè)元素做逆是封閉的，自稱我碟，<R , + , * >是域

格

<A , ≤ > 是一個(gè)偏序集放案，任意a,b∈A,{a,b}在A中都有上確界sup{a,b}和下確界inf{a,b},則稱<A , ≤ >是一個(gè)格

• 進(jìn)一步定義inf{a,b} = a∨b ,sup{a,b} = a∧b <A , ∧,∨> 為由格所誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)。

• 分配格 <A , ∧,∨>是格, ∧,∨滿足分配律
• 有界格 <A , ∧,∨>存在全下界和全上界矫俺，則稱A為有界格吱殉，記作<A , ∧,∨，0厘托，1> （偏序集的最大最小元）
• 有補(bǔ)格 <A , ∧,∨友雳，0，1> 是一個(gè)有界格铅匹，對于任意a∈A押赊，在A中都有a的補(bǔ)元，則A為有補(bǔ)格
• 布爾代數(shù) 格有補(bǔ)且分配伊群，則稱之為布爾代數(shù)或布爾格