作業(yè)思路
習(xí)題1：投擲N枚硬幣啃勉，正面出現(xiàn)57次双妨，嘗試通過計算回答，假設(shè)N=100枚泣特，要舍棄還是接受挑随？
tips：投擲N枚硬幣的數(shù)據(jù)近似于均值為N/2，S.D.為sqrt(N)/2的正態(tài)分布兜挨。
假設(shè)95%的置信區(qū)間是可接受的，若57被包含在該區(qū)間中柒桑，則接受噪舀，否則舍棄
μ=N/2=50，σ=sqrt(N)/2=5
代入方程 1.96 ≤ (X - μ)/ σ ≤ +1.96界逛，解方程得95%的置信區(qū)間纺座。
習(xí)題2：隨機抽樣30個GRE成績，平均分數(shù)為1082分该溯，標(biāo)準差為108分别惦，決定下列參數(shù)的95%和99%置信區(qū)間。
1）總體均值
2）總體標(biāo)準差
剛開始看到題目氯庆，我也有點發(fā)蒙，均值和標(biāo)準差不是已經(jīng)知道了么堤撵，還要怎么求呢实昨？google了一會，才明白已知的均值和標(biāo)準差只是局部的荒给，基于當(dāng)前抽樣的，不能等同于總體的∈镅剩現(xiàn)在是要從局部推導(dǎo)總體挑辆，把總體均值和總體標(biāo)準差都看做是變量，求它們的95%和99%的置信區(qū)間洒嗤。
我們都知道蚀乔，如果X服從正態(tài)分布，則有1.96 ≤ (X - μ)/ σ ≤ +1.96 的區(qū)間概率為95%。
- 求總體均值的置信區(qū)間
問題轉(zhuǎn)化為婉弹，求出總體均值的均值镀赌，總體均值的標(biāo)準差，代入上述方程商佛，便可獲得總體均值的95%置信區(qū)間良姆。
設(shè)μμ為該總體均值的均值玛追，σμ為總體均值的標(biāo)準差闲延，這兩個值怎么求呢韩玩？
μμ用抽樣得出的均值代替。作業(yè)中的抽樣均值為1082.
根據(jù)總體平均數(shù)的估計中的公式合愈，σμ的求法分為兩種情況：
- 當(dāng)總體標(biāo)準差σ已知時击狮，σμ=σ/sqrt(N)
- 當(dāng)總體標(biāo)準差σ未知時，無偏估計：σμ=S/sqrt(N)说莫，有偏估計：σμ=S/sqrt(N-1)寞焙。S為樣本的標(biāo)準差。
作業(yè)中的總體標(biāo)準差未知辽狈，采用有偏估計σμ=S/sqrt(N-1)=108/sqrt(30-1)
代入前面的方程
-1.96 ≤ (X - 1082)/ (108/sqrt(30-1) )≤ 1.96 呛牲，解方程得95%置信區(qū)間
同理，求總體均值99%的置信區(qū)間着茸，解方程
2.576 ≤ (X - 1082)/ (108/sqrt(30-1) )≤ 2.576
- 求總體標(biāo)準差的置信區(qū)間
問題轉(zhuǎn)化為琐旁，求出總體標(biāo)準差的均值，總體標(biāo)準差的標(biāo)準差敬特，代入上述方程
設(shè)μσ為總體標(biāo)準差的均值牺陶，σσ為總體標(biāo)準差的標(biāo)準差，這兩個值怎么求呢皱炉？
根據(jù) 標(biāo)準差與方差的區(qū)間估計 ,當(dāng)樣本容量n>30時碱工，樣本標(biāo)準差的分布漸近正態(tài)分布奏夫，
由該文中的公式可知：
μσ=抽樣的標(biāo)準差酗昼。作業(yè)中的抽樣標(biāo)準差為108梳猪。
σσ=S/sqrt(2N)，S為抽樣標(biāo)準差即108.
代入得方程
-1.96 ≤ (X - 108)/ (108/sqrt(2*30) )≤ 1.96 春弥，解方程得95%的置信區(qū)間置信區(qū)間
-2.576 ≤ (X - 108)/ (108/sqrt(2*30) )≤ 1.96匿沛，解方程得99%的置信區(qū)間置信區(qū)間為
還有一種方法是求方差的置信區(qū)間，再開平方鳖孤，用的是卡方分布抡笼。具體見 標(biāo)準差與方差的區(qū)間估計 。
1.以上解法平匈，是基于一定的前提:若分布X服從正態(tài)分布藏古，則其均值和標(biāo)準差也服從正態(tài)分布。否則應(yīng)該是不能這樣做的弟跑。
2.根據(jù)標(biāo)準差與方差的區(qū)間估計,在總體方差未知時防症，樣本平均數(shù)的分布為t分布哎甲，所以應(yīng)該要查t值表。
但我不知道如果已知總體分布是正態(tài)分布奈嘿，是不是可以用正態(tài)表的值比如1.96吞加？
3.兩個參數(shù)為什么可以用這樣的公式求得尽狠，我也不清楚叶圃，暫且理解為用一系列數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)出來的掺冠，統(tǒng)計學(xué)還得繼續(xù)看……
寫完才看到石頭同學(xué)的作業(yè)，推導(dǎo)專業(yè)多了斥黑∶汲看了小密圈里其他同學(xué)的作業(yè)，我的總體標(biāo)準差的區(qū)間和大家的出入比較大鹿蜀，同學(xué)們是先通過卡方分布求總體方差荔燎，再求標(biāo)準差。但我看到標(biāo)準差與方差的區(qū)間估計中的 例1也是這樣求的琐簇，是做法的不同座享，還是我的理解是錯誤的？
用ipython 求方程的解
import sympy #導(dǎo)入sympy庫丈秩，用于數(shù)學(xué)計算
x = sympy.Symbol('x') #將x轉(zhuǎn)換成符號淳衙，才能用在后面的方程中
sympy.solve(x * 2 - 4, x) #以一個簡單線性方程為例，第一個參數(shù)為要解的方程肠牲，要求右端等于0靴跛，第二個參數(shù)為要解的未知數(shù)。解為2肥印。
[2]
習(xí)題1：求解方程1.96 ≤ (X - μ)/ σ ≤ +1.96，μ=N/2=50腹鹉，σ=sqrt(N)/2=5
sympy.solve((x - 50)/5+1.96,x)
[40.2000000000000]
sympy.solve((x - 50)/5-1.96,x)
[59.8000000000000]
置信區(qū)間為[40.2,59.80]莹痢，所以57是可以接受的
習(xí)題2:求總體均值的95%置信區(qū)間
sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)+1.96,x) #求總體均值95%的置信區(qū)間
[1042.69201081468]
sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)-1.96,x)
[1121.30798918532]
置信區(qū)間為[1042.69,1121.3]
習(xí)題2:求總體均值的99%置信區(qū)間
sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)+2.576,x)
[1030.33807135644]
sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)-2.576,x)
[1133.66192864356]
置信區(qū)間為[1030.33,1133.66]
習(xí)題2:求總體標(biāo)準差的95%置信區(qū)間
sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)+1.96,x)
[80.6722295091604]
sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)-1.96,x)
[135.327770490839]
置信區(qū)間為[80.67,135.32]
習(xí)題2:求總體標(biāo)準差的99%置信區(qū)間
sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)+2.576,x)
[72.0835016406109]
sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)-2.576,x)
[143.916498359389]
置信區(qū)間為 [72.08,143.91]
