1始苇、有限元分析的5大要素

對于有限元分析來說，支撐這個體系的4大要素就是：材料本構(gòu)筐喳、網(wǎng)格催式、邊界和載荷（載荷問題可以理解為數(shù)學(xué)物理方程的初值問題），然后疏唾，如果把求解技術(shù)也看作一個要素蓄氧，則也可以稱之為5大要素。

2槐脏、基本要素-網(wǎng)格

網(wǎng)格是一門復(fù)雜的邊緣學(xué)科喉童，是幾何拓?fù)鋵W(xué)和力學(xué)的雜交問題，也是支撐數(shù)值計算的前提保證。本文不做任何網(wǎng)格理論的探討（網(wǎng)格理論是純粹的數(shù)學(xué)理論）堂氯，僅限于盡量簡單化的應(yīng)用技術(shù)揭秘蔑担。?

網(wǎng)格出現(xiàn)的思想源于離散化求解思想，離散化把連續(xù)求解域離散為若干有限的子區(qū)域咽白，分別求解各個子區(qū)域的物理變量啤握，各個子區(qū)域相鄰連續(xù)與協(xié)調(diào)，從而達(dá)到整個變量場的協(xié)調(diào)與連續(xù)晶框。離散網(wǎng)格僅僅是物理量的一個“表征符號”排抬，網(wǎng)格是有形的，但被離散對象既可以是有形的（各類固體）授段，也可以是無形的（熱傳導(dǎo)蹲蒲、氣體），最關(guān)鍵的核心在于網(wǎng)格背后隱藏的數(shù)學(xué)物理列式侵贵，因此届搁，簡單點說，看得見的網(wǎng)格離散是形式窍育，而看不見的物理量離散才是本質(zhì)核心卡睦。

對計算結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，網(wǎng)格剖分主要包含幾個內(nèi)容：

桿系單元剖分（梁漱抓、桿表锻、索、彈簧等）辽旋；

二維板殼剖分（曲面或者平面單元）浩嫌；

三維實體剖分（非結(jié)構(gòu)化全六面體網(wǎng)格、四面體網(wǎng)格补胚、金字塔網(wǎng)格码耐、結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格、混合網(wǎng)格等）溶其；

計算熱力學(xué)和計算流體動力學(xué)的網(wǎng)格絕大部分是三維問題骚腥。對于CAE工程師而言，任何復(fù)雜問題域最終均直接表現(xiàn)為網(wǎng)格的堆砌瓶逃，工程師的任務(wù)等同于上帝造人的過程束铭，網(wǎng)格是一個機(jī)體，承載著靈魂（材料本構(gòu)厢绝、網(wǎng)格契沫、邊界和荷載），求解技術(shù)則是一個思維過程昔汉。

網(wǎng)格基本要素：

節(jié)點（node）

單元線（edge）

單元面（face）

單元體（body）

實質(zhì)上懈万，線、面、體只不過是為了讓網(wǎng)格看起來更加直觀会通，在分析求解過程中口予，線、面涕侈、體本質(zhì)上并沒有起多大的作用沪停，數(shù)值離散的落腳點在節(jié)點（node）上，所有的物理變量均轉(zhuǎn)化為節(jié)點變量實現(xiàn)連續(xù)和傳遞裳涛。在所有的CAE環(huán)境下木张，網(wǎng)格的基本要素均可以直接構(gòu)成，但對于復(fù)雜問題而言调违，這是一個在操作上很難實現(xiàn)的事情窟哺，因此，基于幾何要素的網(wǎng)格劃分技術(shù)成為現(xiàn)代網(wǎng)格剖分應(yīng)用的支點技肩，和網(wǎng)格基本要素完全相同，對應(yīng)的幾何要素分別稱之為點（point）浮声、線（curve）虚婿、面（surface）和實體（solid）。

數(shù)值離散求解器是不能識別幾何元素的泳挥，要對其添加“飼料”然痊，工程師必須對幾何元素進(jìn)行“精加工”，因此屉符，從這個意義上來說剧浸，網(wǎng)格剖分的本質(zhì)就是把幾何要素轉(zhuǎn)換為若干離散的元素組，這些元素組堆砌成形態(tài)上近似逼近原有幾何域的簡單網(wǎng)格集合體矗钟。因此唆香，這里說明了一個網(wǎng)格“加工”質(zhì)量的基本判別標(biāo)準(zhǔn)——和幾何元素的擬合逼近程度，理論上吨艇，越逼近幾何元素的網(wǎng)格質(zhì)量越好躬它，當(dāng)然，幾何逼近只是一個基本的判別標(biāo)準(zhǔn)东涡，網(wǎng)格質(zhì)量判別有一系列復(fù)雜的標(biāo)準(zhǔn)冯吓，本文不做討論。

3疮跑、網(wǎng)格類型

本文專門解釋幾個基本概念：點網(wǎng)格组贺；一維線網(wǎng)格；二維三角形面網(wǎng)格祖娘、二維四邊形面網(wǎng)格失尖；三維四面體網(wǎng)格（tetrahedra）、三維金字塔單元（pyramid）、五面體單元（prism）雹仿、三維六面體單元（hexahedra）增热；結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（structural grid）院究、非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（nonstructural grid）炼吴、混合網(wǎng)格（blend grid）。

需要專門說明的是哆致，網(wǎng)格（grid & net）不等同于單元（element）邑商，單元是基于有限元思想的一個專用名詞摄咆，而網(wǎng)格則是網(wǎng)格理論體系下的專用稱呼，當(dāng)網(wǎng)格用于有限元分析的時候人断，便可以轉(zhuǎn)而稱為線單元吭从、面單元、實體單元恶迈，因此兩者的本質(zhì)差別在于涩金，單元具有物理意義，一般具有特定的物理列式暇仲，而網(wǎng)格只是純粹幾何意義上的基本元素步做。

3.1、點網(wǎng)格

主要針對CSD中的質(zhì)量單元和CTD中的點狀熱源奈附，通過對幾何point直接mesh生成全度，應(yīng)用較為簡單，屬性也較為簡單斥滤，一般僅僅包含質(zhì)量特性或者溫度特性将鸵。值得一提的是，在考慮行波效應(yīng)的振動分析中佑颇，質(zhì)量單元常被妙用顶掉，作為基底無限大質(zhì)量塊，巧妙地將加速度激勵轉(zhuǎn)變?yōu)榱钿龇瑥亩_(dá)到可以多點施加激勵的作用一喘。

3.2、一維線網(wǎng)格

主要針對計算結(jié)構(gòu)力學(xué)問題嗜暴，主要針對基本的桁架（truss）凸克、梁（frame or beam）、索（cable）闷沥、連桿(link)和彈簧（spring）等工程單元萎战。需要特別說明的是，link實際上沒有具體的工程構(gòu)件對號入座（不等同于機(jī)械工程的連桿）舆逃，只是一種單元節(jié)點物理量協(xié)調(diào)的邊界單元蚂维，常用一維線網(wǎng)格描述戳粒。對于梁系單元，理論上通過桿件軸長方向的node描述其物理量變化虫啥，node越多蔚约，描述相對越精確，對于常用的梁涂籽、桿通常達(dá)到6～9個節(jié)點就具備足夠的工程精度（可以捕捉到關(guān)鍵截面位置的力學(xué)響應(yīng)）苹祟。一維單元可以根據(jù)內(nèi)力變化隨意加密局部網(wǎng)格點。

從工程意義上來說评雌，通過加密網(wǎng)格節(jié)點树枫，完全可以替代高次一維單元。需要注意的是景东，桿系構(gòu)件的一維網(wǎng)格并不是一味的追求增加剖分節(jié)點砂轻，對于桁架（truss）或者拉索（cable），當(dāng)劃分成多節(jié)點一維網(wǎng)格時斤吐，如果構(gòu)件缺少初始剛度（一般是初始張拉剛度）搔涝，則中間節(jié)點會由于缺少轉(zhuǎn)動自由度約束，而形成類似鉸鏈的機(jī)構(gòu)運(yùn)動曲初，導(dǎo)致計算失敗体谒。而彈簧或者link則只需要兩個網(wǎng)格節(jié)點便可以完全描述其物理特性，這是最簡單的一維網(wǎng)格單元臼婆。

3.3、二維網(wǎng)格

主要針對CSD中的板殼單元幌绍、平面應(yīng)力單元颁褂、平面應(yīng)變單元；CTD和CFD中的二維問題也是其應(yīng)用領(lǐng)域傀广。二維網(wǎng)格包含兩類：其一是三角形網(wǎng)格颁独；其二是四邊形網(wǎng)格，當(dāng)然伪冰，兩種網(wǎng)格也可以混合使用誓酒。

三角形網(wǎng)格：一般用于線性二維單元（線性單元只有一個積分點，當(dāng)然也有3積分點贮聂、4積分點的高次三角形單元）靠柑，因此，精度一般相對較差吓懈，同時歼冰，單元數(shù)量和節(jié)點數(shù)量均較高，造成計算負(fù)荷加大耻警，但其幾何逼近的適應(yīng)性很好隔嫡，因此對由復(fù)雜二維曲面構(gòu)成的三維問題甸怕，有一定的適應(yīng)性。

四邊形網(wǎng)格：是矩形腮恩、梯形梢杭、斜梯形等四邊形網(wǎng)格的總稱，四邊形網(wǎng)格單元容易增加單元積分點分布（4積分點秸滴、8積分點武契、9積分點、16積分點等）缸榛，因此吝羞，對應(yīng)單元的精度往往較高。但在其應(yīng)用之初内颗，限于網(wǎng)格生成技術(shù)的原因钧排，對幾何域的擬合逼近不如三角形好，網(wǎng)格生成算法也較為復(fù)雜均澳，影響了其使用恨溜，現(xiàn)在的網(wǎng)格技術(shù)已經(jīng)完美解決這一問題，因此找前，理論上糟袁，任意復(fù)雜的曲面幾何域均可以采用完全四邊形網(wǎng)格構(gòu)成。但對于很多復(fù)雜工程問題躺盛，往往存在一些幾何尺度變化較劇烈的區(qū)域（俗稱極短邊界项戴、破碎面、破碎線）槽惫，這些區(qū)域如果純粹用四邊形網(wǎng)格填充周叮，會大幅度增加網(wǎng)格數(shù)量，且形狀逼近也不好界斜，因此可以采用混合三角形——四邊形網(wǎng)格的剖分策略仿耽，這是一種兼顧網(wǎng)格形狀、計算效率和精度的網(wǎng)格組合方式各薇，主要以四邊形單元為主项贺，局部填充數(shù)量極少的三角形網(wǎng)格。

3.4峭判、三維實體網(wǎng)格

三維實體網(wǎng)格是最復(fù)雜的網(wǎng)格技術(shù)开缎，主要針對計算域中的塊狀體或者空間三維狀封閉區(qū)域，填充網(wǎng)格形狀包括四面體朝抖、六面體啥箭、棱柱體、四棱錐體（俗稱金字塔網(wǎng)格）治宣，目前的三維網(wǎng)格剖分技術(shù)已經(jīng)相對完善急侥，四面體網(wǎng)格可以高效填充任意復(fù)雜的空間三維域砌滞，很多網(wǎng)格生成軟件并且已經(jīng)可以做到自動剖分、自適應(yīng)加密坏怪。

最具挑戰(zhàn)性的三維六面體網(wǎng)格剖分技術(shù)仍然處于完善發(fā)展?fàn)顟B(tài)贝润，雖然理論上分塊（block）結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以實現(xiàn)任意形狀三維空間的結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格填充，但復(fù)雜的分塊技術(shù)對工程師的幾何拓?fù)湟?guī)劃能力是一個嚴(yán)重的挑戰(zhàn)铝宵，往往進(jìn)行區(qū)域分塊會花掉工程師整個分析工作過程近80%的時間打掘，同時，由于結(jié)構(gòu)化要求鹏秋，導(dǎo)致有時候網(wǎng)格質(zhì)量難以控制尊蚁，網(wǎng)格數(shù)量有時候可能比四面體單元的數(shù)量更加巨大，但結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格排序簡單明了侣夷，因此數(shù)值離散插值非常方便横朋，往往用線形插值的求解精度就可以達(dá)到非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格非線性插值的精度，且結(jié)構(gòu)網(wǎng)格占用內(nèi)存較低（單個結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格占用內(nèi)存為四面體網(wǎng)格的4倍百拓，但但其節(jié)點總數(shù)大約為四面體網(wǎng)格的1/6琴锭，因此總占用內(nèi)存較低），因此衙传，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格仍然是網(wǎng)格高端技術(shù)的象征决帖，目前，專業(yè)網(wǎng)格處理器ICEM-CFD主要以這種技術(shù)為主蓖捶，在CFD和CTD計算領(lǐng)域地回，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格仍然是網(wǎng)格剖分的首選。

針對結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成技術(shù)的難點俊鱼，非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格逐漸形成CSD領(lǐng)域的主流落君，非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格的主要生成技術(shù)是sweep技術(shù)，sweep網(wǎng)格要求剖分區(qū)域具有sweep路徑和路徑兩端的邊界面亭引，網(wǎng)格生成的一般順序是先完成路徑斷面的網(wǎng)格剖分（程序自動完成，很容易）皮获，接下來程序往往會自動搜尋出端面的網(wǎng)格影射關(guān)系焙蚓，從而沿著sweep路徑形成三維體網(wǎng)格。針對復(fù)雜幾何區(qū)域洒宝，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格也需要預(yù)先進(jìn)行幾何域分塊购公，但其分塊難度相對很低，一般僅需要工程師尋找出具備近似sweep拓補(bǔ)特征的幾何域雁歌，直接進(jìn)行幾何域剖分即可宏浩。

最簡單的具備近似sweep拓補(bǔ)特征的幾何域包括圓柱體、立方體以及經(jīng)過異化（梯形化靠瞎、扭曲化比庄、楔化等）的對應(yīng)元素求妹，這些分區(qū)塊共同構(gòu)成網(wǎng)格剖分的初始幾何子域集。

值得一提的是佳窑，幾何域初始剖分過程中各個子域需要保證幾何上的連通制恍，對于非常復(fù)雜的幾何域，這樣的連通有些時候是高階復(fù)連通過程神凑，其剖分也比較復(fù)雜净神。

棱柱體不是網(wǎng)格主流形狀，一般作為非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格的補(bǔ)充搭配使用——當(dāng)sweep端面不適合采用全四邊形網(wǎng)格填充時溉委，可以局部采用三角形網(wǎng)格——三角形網(wǎng)格沿厚度方向掃略便形成了棱柱體單元（5面體）鹃唯；棱柱體網(wǎng)格另外一個重要的用途便是流場計算的壁面邊界層網(wǎng)格，因為流場壁面法向附近變量變化非常劇烈瓣喊，因此往往要求沿法向網(wǎng)格具有結(jié)構(gòu)化特征坡慌，利于數(shù)值離散插值，提高計算精度型宝，而如果該區(qū)域是非結(jié)構(gòu)四面體單元八匠，要形成結(jié)構(gòu)化排序是非常困難的，因此趴酣，一個折中的方案便是對壁面附近四面體網(wǎng)格進(jìn)行層狀化劈分處理（涉及劈層以后的局部網(wǎng)格重構(gòu)梨树，技術(shù)難度很大），經(jīng)劈分處理得到表層網(wǎng)格便是棱柱體網(wǎng)格岖寞。

金字體網(wǎng)格在CSD領(lǐng)域應(yīng)用較少抡四，主要用于CTD和CFD計算——比如某一個幾何子域采用四面體網(wǎng)格，另外的子域采用六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格仗谆，則在兩個子域上可以采用金字塔單元進(jìn)行過渡處理指巡，一般“塔底”（四邊形）連接六面體網(wǎng)格，“塔尖”連接四面體網(wǎng)格隶垮。

3.5藻雪、結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格

這兩者只是針對網(wǎng)格排序方式而言，簡單點說狸吞，當(dāng)幾何域內(nèi)部的每一個子域上勉耀，其網(wǎng)格針對子域的面或者邊線，具有一一對應(yīng)的網(wǎng)格排序（比如四邊形的對邊網(wǎng)格具有映射關(guān)系蹋偏，且這樣的影射關(guān)系在網(wǎng)格路徑上也嚴(yán)格滿足）便斥，一個最簡單的例子，便是一個方柱體sweep六面體網(wǎng)格和結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的對比威始，當(dāng)路徑端面網(wǎng)格上為自由劃分四面邊形網(wǎng)格（端面的對邊方向網(wǎng)格并不具備映射關(guān)系）最終形成的sweep網(wǎng)格便是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格——沿網(wǎng)格路徑方向具有映射關(guān)系（最終全部是六面體）枢纠，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格則要求其端面網(wǎng)格也同時滿足映射關(guān)系（即使這個映射關(guān)系經(jīng)過異化，比如梯形化黎棠、扭曲化）晋渺。

因此镰绎，總結(jié)來說，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在空間子域內(nèi)部滿足三維映射些举，而非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格最多只滿足一維映射（sweep網(wǎng)格）跟狱，同時，四面體户魏、棱柱體驶臊、金字塔網(wǎng)格也均屬于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。

網(wǎng)格節(jié)點和積分點是普通CAE工程師很容易混淆的概念叼丑，網(wǎng)格節(jié)點構(gòu)成了網(wǎng)格分布和形狀关翎，通常，這些節(jié)點是數(shù)值離散插值鸠信、網(wǎng)格“溝通交流”的“基地”纵寝，而積分點一般位于網(wǎng)格內(nèi)部或者節(jié)點之間，是“基地”傳輸過來的變量信息進(jìn)行“再加工”（積分計算）的“封裝測試車間”星立，最后的結(jié)果是積分點計算結(jié)果通過插值“回退”到節(jié)點上的結(jié)果爽茴，要增加積分點，要求單元至少是2節(jié)點一維桿系單元绰垂，同時室奏，2節(jié)點單元可以具備2個積分點、3個積分點劲装、4個積分點甚至更多胧沫，二維3節(jié)點單元（3角形單元）、4節(jié)點單元占业、4節(jié)點實體單元绒怨、5節(jié)點實體單元（金字塔單元）、6節(jié)點實體單元（棱柱體單元）谦疾、8節(jié)點實體單元（六面體單元）也具有類似的屬性南蹂。

通常說的高次單元和線性單元的區(qū)別主要體現(xiàn)在積分點的區(qū)別上，高次單元理論上具有更高的精度念恍，但對塑性問題不合適碎紊。工程上常常通過增加網(wǎng)格數(shù)量和節(jié)點數(shù)量來提高線性單元的計算結(jié)果精度。