方程與曲線：2015年理數(shù)廣東卷題20
20.（本小題滿分14分）
已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線 與圓
相交于不同的兩點(diǎn)
（1）求圓 的圓心坐標(biāo);
（2）求線段 的中點(diǎn)
的軌跡
的方程;
（3）是否存在實(shí)數(shù) ，使得直線
與曲線
只有一個(gè)交點(diǎn)? 若存在，求出
的取值范圍; 若不存在茂浮，說明理由.
【解答問題1】
圓 的方程變形可得：
所以锋恬，圓 的圓心坐標(biāo)為
，半徑為
.
【解答問題2】
如上圖所示宫屠，原點(diǎn) 在圓
之外匪煌，
是過原點(diǎn)的兩條直線。
是直角三角形裆悄，所以
直線 的斜率為：
兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：
根據(jù)垂徑定理可得：, 如下圖所示矛纹，
,
設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為
, 則
結(jié)論：點(diǎn) 的軌跡
的方程為：
【解答問題3】
直線 經(jīng)過定點(diǎn)
根據(jù)前面的結(jié)論可知：曲線 是以
為圓心的一段圓弧，其端點(diǎn)為
直線 經(jīng)過定點(diǎn)
當(dāng) , 直線
與加弧相切光稼，只有一個(gè)公共點(diǎn)或南；
的斜率分別為：
綜上可知，
【提煉與提高】
本題沒有用到多少高深的數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧艾君，但對(duì)考生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性有較高要求采够。
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