2023-07-05 Black-Scholes期權(quán)定價模型

前言

本文要求概率論的基礎(chǔ)知識柒室，以及基本的微積分作為前置知識跺撼。如果讀者已經(jīng)具備了上述條件李皇，應(yīng)該可以很容易理解BS Model的邏輯。

股價模型

正經(jīng)的股價模型要從幾何布朗運(yùn)動建模說起聪建。這里我們直接引用其結(jié)論。
假設(shè)時刻 $0$ 的股價為 $S_0$ 茫陆，并且股價的變化符合增長率為 $\mu$ 金麸，方差為 $\sigma$ 的幾何布朗運(yùn)動。
則時刻 $t$ 的股價 $S_t$ 是均值參數(shù)為 $\log S_0 + (\mu - {\sigma^2 \over 2})t$ 簿盅，方差參數(shù)為 $\sigma^2 t$ 的lognormal分布挥下。
也就是:
$\log {S_t \over S_0} \sim N\left((\mu - {\sigma^2 \over 2})t, \sigma^2 t\right)$
注意到，對于該lognormal分布桨醋，其期望滿足 $E[S_t] = S_0 e^{\mu t}$ 棚瘟。
這也是為什么 $\mu$ 被稱為增長率的原因：通過統(tǒng)計一段時間內(nèi)股價的平均百分比漲幅，我們就可以得到 $\mu$ 的無偏估計喜最。

風(fēng)險中性測度下的股價模型

看起來似乎股價的增長率 $\mu$ 好像可以隨便設(shè)置偎蘸。但是，如果將一支股票放到一個完全市場/無套利市場中，那么其增長率就要受到限制禀苦，否則就會把整個經(jīng)濟(jì)體系搞崩蔓肯。

假如市場是風(fēng)險中性的，也就是所有人看價值只看期望振乏，風(fēng)險再高也不管蔗包，只要期望意義上收益為正，再假定市場的無風(fēng)險利率是 $r$ （也就是意味著可以從銀行以利率 $r$ 存貸任意額度的貨幣）慧邮，那么股價的增長率 $\mu$ 必然等于 $r$ 调限，否則就會有市場主體通過借款買股票或者賣空存銀行來獲得無限的收益，也就是產(chǎn)生了套利的可能性误澳。

實(shí)際的市場并不是風(fēng)險中性的耻矮，并且股價的增長率也不總是在 $r$ 附近。因此我們需要考慮風(fēng)險偏好問題忆谓。一種處理辦法是期望效用理論裆装。也就是我們給市場主體設(shè)定一個效用函數(shù) $u(s)$ ，表示擁有 $s$ 的資產(chǎn)對主體產(chǎn)生的實(shí)際價值倡缠，市場主體總是希望最大化這個實(shí)際價值（效用）哨免。

如果某個資產(chǎn)的價值是一個分布，例如未來的股價 $S_t$ 昙沦，那么它的總效用就是效用的期望琢唾。也就是 $U = E_{S_t}[u(S_t)]$ 。這時候盾饮，我們可以找到位于未來無波動的資產(chǎn) $S_t'$ 采桃，使得其效用與有波動的股價效用相等，也就是 $u(S_t') = E_{S_t}[u(S_t)]$ 丘损。這時候普办，我們就可以宣稱，有波動的股價 $S_t$ 與無波動的股價 $S_t'$ 效用相等徘钥。

這里可以給一個只對正資產(chǎn)價值可用的效用函數(shù)：log泌豆。使用log效用產(chǎn)生的后果就是市場主體總會嘗試最優(yōu)化隨機(jī)結(jié)果的幾何平均值 $s' = u^{-1}(E[u(s)]) = \exp\left({\sum \log s_i \over N} \right)$ ，它總是比算術(shù)平均值小一些吏饿，表征對風(fēng)險的厭惡踪危。

效用相等的重要結(jié)果就是我們可以為未來的股價定價了：無波動的股價折現(xiàn)到當(dāng)前時間就是那個波動的未來股價的價值： $S_0 = S_t'e^{-rt} = E_{S_t}[u(S_t)]$ 遗契。這里的關(guān)鍵在于未來股價的等效價值折現(xiàn)就應(yīng)該是當(dāng)前的股價祠汇，否則就存在套利空間，違反我們的假設(shè)了瓢捉。

使用效用函數(shù)定價要求我們總是對每一個波動資產(chǎn)單獨(dú)計算等效的效用笨忌，特別麻煩蓝仲。于是就有人發(fā)明了風(fēng)險中性測度的概念。與通過效用函數(shù)修改每個價格上的效用不同，這里我們直接修改了波動資產(chǎn)的概率分布袱结。使得這個概率分布下亮隙，波動資產(chǎn)的期望與等效股價相等。也就是 $S_t' = E_{S_t}^Q[S_t]$ 垢夹，這個 $Q$ 就表示是使用風(fēng)險中性概率（也叫風(fēng)險中性測度）來計算期望溢吻。

有了這個工具后，我們就可以不再考慮風(fēng)險偏好的問題果元，只要按照風(fēng)險中性的思路求期望就可以了促王。那顯然我們有 $S_t' = S_0e^{rt} = E_{S_t}^Q[S_t]$ ，也就是未來股價在風(fēng)險中性測度下的期望應(yīng)當(dāng)是當(dāng)前股價乘以無風(fēng)險利率增長而晒∮牵可以證明，對于lognormal建模的股價模型倡怎，其風(fēng)險中性概率也是一個lognormal迅耘，并且其 $\mu = r$ 。因此监署，我們就可以直接讓 $\mu = r$ 然后不再考慮風(fēng)險偏好的問題颤专，一切按照期望處理。

總結(jié)一下焦匈，在一個無套利的市場假設(shè)下，考慮了風(fēng)險偏好后昵仅，使用風(fēng)險中性概率調(diào)整股價模型缓熟，得到的股價概率分布必然是一個 $\mu = r$ 的lognormal分布。其中 $r$ 是無風(fēng)險利率摔笤。

期權(quán)定價

同上上一小節(jié)的討論够滑，我們的主要結(jié)論就是 $\mu = r$ 。也就是：
$x_t = \log {S_t \over S_0} \sim N\left((r - {\sigma^2 \over 2})t, \sigma^2 t\right)$
我們再引入變量 $y_t = x_t - (r - {\sigma^2 \over 2})t)$ 吕世，使得 $y_t$ 是一個均值為0的正態(tài)分布彰触。

下面考慮在時刻0，對一個到期時間為 $t$ 命辖，行權(quán)價為 $K$ 的Call期權(quán)（暫定對應(yīng)1股）進(jìn)行定價况毅，其價格為 $C$ 。
這個Call在 $t$ 時刻的期望價值是： $E_{S_t}^Q [\max(S_t - K, 0)]$ 尔艇。也就是如果股價大于K尔许，則收益為其差值，否則期權(quán)價值歸零终娃。這里我們使用風(fēng)險中性測度來求期望味廊，因此才有 $\mu = r$ 。

在無套利市場中，這個期權(quán)的價格應(yīng)當(dāng)?shù)扔谄湮磥韮r值的折現(xiàn)余佛。也就是：
$C = e^{-rt} E_{S_t}^Q [\max(S_t - K, 0)]$
只要把這個式子解出來柠新，就可以得到期權(quán)定價了。下面是具體的推導(dǎo)辉巡。

首先直接把期望展開恨憎，然后一路將積分變量從 $S_t$ 替換到 $y_t$ ：
$e^{rt} C =\int_{K} f_{S_t}(s)(s - K) ds = \int_{K} f_{S_t}(s) s ds - K \int_{K} f_{S_t}(s) ds \\ = S_0 \int_{\log {K \over S_0}}f_{x_t}(x) e^{x} dx - K \int_{\log {K \over S_0}}f_{x_t}(x) dx \\ = S_0 \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) e^{y + rt - {\sigma^2 \over 2}t} d y - K \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy \\ = S_0 e^{rt} \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) e^{y - {\sigma^2 \over 2}t} d y - K \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy$
注意到其中有：
$f_{y_t}(y)e^{y - {\sigma^2 \over 2}t} = {1 \over \sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{y^2 \over 2\sigma^2t} + y - {\sigma^2 \over 2}t} = {1 \over \sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{y^2 - y\sigma^2t + \sigma^4t \over 2\sigma^2t}} = {1 \over \sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{(y - \sigma^2t)^2 \over 2\sigma^2t}}$
替換 $z = y - \sigma^2 t$ ，然后利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)的對稱性红氯，所以有：
$e^{rt} C = S_0 e^{rt} \int_{\log {K \over S_0} - rt - {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(z) d z - K \int_{\log {K \over S_0} - rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy \\ = S_0 e^{rt} \int^{\log {S_0 \over K} + rt + {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(z) d z - K \int^{\log {S_0 \over K} + rt - {\sigma^2 \over 2}t} f_{y_t}(y) dy$
上述兩個積分項(xiàng)都是關(guān)于正態(tài)分布概率密度函數(shù)的積分框咙，因此可以用正態(tài)分布的累計概率分布函數(shù)表示。
我們定義 $N(x)$ 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累計概率分布函數(shù)痢甘。然后方便起見做如下定義：
$K_0 = e^{-rt} K \\ d = {\log {S_0 \over K} + rt \over \sigma \sqrt t} = {\log {S_0 \over Ke^{-rt}} \over \sigma \sqrt t } = {\log {S_0 \over K_0} \over \sigma \sqrt t } \\ d_+ = d + {\sigma\sqrt t \over 2} , \quad d_- = d - {\sigma\sqrt t \over 2}$
然后我們就可以得到:
$C = S_0 N(d_+) + K_0N(d_-) \\ K_0 = e^{-rt} K, \quad d ={\log {S_0 \over K_0} \over \sigma \sqrt t }, \quad d_+ = d + {\sigma\sqrt t \over 2} , \quad d_- = d - {\sigma\sqrt t \over 2}$
至此喇嘱，我們完成了期權(quán)定價的工作。只要已知當(dāng)前股價 $S_0$ 塞栅，股價的波動率參數(shù) $\sigma$ 者铜，Call的到期時間 $t$ ，Call的行權(quán)價 $K$ 放椰，無風(fēng)險利率 $r$ 作烟，我們就可以給出這個Call的價格 $C$ 。

對Put也可以進(jìn)行類似的推導(dǎo)砾医，Put的價格 $P$ 滿足 $P = e^{-rt} E_{S_t}^Q [\max(K - S_t , 0)]$ 拿撩。
最終的定價公式為：
$P = K_0 N(-d_-) - S_0 N(- d_+)$

時間價值與內(nèi)在價值

下面僅針對Call進(jìn)行考慮，Put可以類似的推理如蚜。
首先考慮當(dāng) $S_0$ 遠(yuǎn)大于 $K_0$ 的情況压恒。此時 $d$ 非常大，導(dǎo)致 $N(d_+)$ 和 $N(d_-)$ 都趨近于1错邦，于是有：
$C = S_0 - K_0$
此時股價的波動率帶來的價值趨近于0探赫，立即行權(quán)于未來行權(quán)沒有區(qū)別（風(fēng)險偏好已經(jīng)通過風(fēng)險中性測度處理）。于是我們將任何時候 $V_C = \max(S_0 - K_0)$ 叫做期權(quán)的內(nèi)在價值撬呢，表征波動率影響因素以外期權(quán)的價值（當(dāng)股價小于 $K_0$ 時內(nèi)在價值就是0）伦吠。對應(yīng)的，剩余部分我們稱之為時間價值魂拦，它主要由波動率帶來： $T_C = C - \max(S_0 - K_0)$ 毛仪。

下面我們將說明：時間價值總是大于0，并且在 $S_0 = K_0$ 時達(dá)到頂峰芯勘。

首先我們考慮期權(quán)價格 $C, P$ 相對當(dāng)前股價 $S_0$ 的導(dǎo)數(shù)潭千。在此之前，我們先將期權(quán)價格的公式做一個變量替換：
$C = S_0 N(d_+) - K_0N(d_-) = S_0[N(d_+) - {K_0 \over S_0}N(d_-)]\\ C = S_0[N(d_+) - e^{-\sigma\sqrt t d}N(d_-)] \\ P = S_0[e^{-\sigma \sqrt t d}N(-d_-) - N(-d_+)]$

于是借尿，我們可以得到：
${\partial C \over \partial S_0} = N(d_+) - e^{-\sigma\sqrt t d}N(d_-) + S_0[f(d_+) - e^{-\sigma\sqrt t d}f(d_-) + \sigma\sqrt t e^{-\sigma\sqrt t d}N(d_-)] {\partial d \over \partial S_0} = N(d_+) \\ {\partial P \over \partial S_0} = e^{-\sigma \sqrt t d}N(-d_-) - N(-d_+) + S_0[-\sigma\sqrt t e^{-\sigma\sqrt td}N(-d_-) - e^{-\sigma\sqrt td}f(-d_-) + f(-d_+)] {\partial d \over \partial S_0}= -N(-d_+) \\$
上面用到了一個關(guān)鍵的等式： $f(d_+) = e^{-\sigma \sqrt t d} f(d_-)$ 刨晴，總的結(jié)論就是：
${\partial C \over \partial S_0} = N(d_+), \quad {\partial P \over \partial S_0} = -N(-d_+)$
也就是屉来，期權(quán)價格相對于股價 $S_0$ 的變化率絕對值總是小于1的。

而內(nèi)在價值對股價的導(dǎo)數(shù)只有在 $S_0 \ge K_0$ 時才為1狈癞，因此時間價值的導(dǎo)數(shù)一開始等于 $C$ 的導(dǎo)數(shù)（大于0）茄靠，在股價超過 $K_0$ 后，由于需要減去內(nèi)在價值的導(dǎo)數(shù)蝶桶，因此變?yōu)樾∮?的負(fù)數(shù)慨绳。
從而我們得到結(jié)論：“時間價值在 $S_0 = K_0$ 時達(dá)到峰值 ”。

另一方面真竖，在股價遠(yuǎn)大于 $K_0$ 時脐雪，時間價值無限趨近于0（想想我們一開始引入內(nèi)在價值時的case）。于是我們有：“時間價值總是大于0”恢共。

一些討論

可以發(fā)現(xiàn)战秋，我們對期權(quán)的內(nèi)在價值、時間價值的推演時讨韭，使用的變量都是 $K_0 = e^{-rt}K$ 脂信。也就是考慮了折現(xiàn)后的行權(quán)價。這點(diǎn)在很多地方都會被忽略透硝，直接使用行權(quán)價 $K$ 作為錨點(diǎn)狰闪。
通常情況下到期時常 $t$ 很小，對應(yīng)的無風(fēng)險利率比較低濒生，忽略是正常的埋泵。但是如果考慮以年為單位的期權(quán)時，折現(xiàn)的影響無法忽略罪治，需要更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目紤]丽声。

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