傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

Heinrich

作 者：韓 昊

知 乎：Heinrich

微 博：@花生油工人

知乎專欄：與時(shí)間無關(guān)的故事

謹(jǐn)以此文獻(xiàn)給大連海事大學(xué)的吳楠老師凌受，柳曉鳴老師谐算，王新年老師以及張晶泊老師属拾。

轉(zhuǎn)載的同學(xué)請保留上面這句話午衰，謝謝。如果還能保留文章來源就更感激不盡了啸箫。

——更新于2014.6.6耳舅，想直接看更新的同學(xué)可以直接跳到第四章————

我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同震叙，這是12年還在果殼的時(shí)候?qū)懙母Γ钱?dāng)時(shí)沒有來得及寫完就出國了……于是拖了兩年揽碘，嗯，我是拖延癥患者……

這篇文章的核心思想就是：

要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析园匹。

傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具雳刺，更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前世界觀的思維模式。但不幸的是偎肃，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了煞烫，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實(shí)說累颂，這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了。（您把教材寫得好玩一點(diǎn)會死嗎紊馏？會死嗎料饥？）所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種朱监。所以岸啡，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂赫编，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感巡蘸。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻擂送，仔細(xì)讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)悦荒。

————以上是定場詩————

下面進(jìn)入正題：

抱歉，還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來就不是易事嘹吨，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來更加輕松搬味，充滿樂趣。但是千萬蟀拷！千萬不要把這篇文章收藏起來碰纬，或是存下地址，心里想著：以后有時(shí)間再看问芬。這樣的例子太多了悦析，也許幾年后你都沒有再打開這個(gè)頁面。無論如何此衅，耐下心强戴，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松炕柔、開心得多……

p.s.本文無論是cos還是sin酌泰，都統(tǒng)一用“正弦波”（Sine Wave）一詞來代表簡諧波。

一匕累、什么是頻域

從我們出生陵刹，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢欢嘿、人的身高衰琐、汽車的軌跡都會隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析炼蹦。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為羡宙，世間萬物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來掐隐。但如果我告訴你狗热，用另一種方法來觀察世界的話钞馁，你會發(fā)現(xiàn)<u style="text-decoration: none; border-bottom: 1px dashed gray;">世界是永恒不變的</u>，你會不會覺得我瘋了匿刮？我沒有瘋僧凰，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。

先舉一個(gè)<u style="text-decoration: none; border-bottom: 1px dashed gray;">公式上并非很恰當(dāng)</u>熟丸，但意義上再貼切不過的例子：

在你的理解中训措，一段音樂是什么呢？

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這是我們對音樂最普遍的理解光羞，一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動绩鸣。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：

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好的纱兑！下課呀闻，同學(xué)們再見。

是的萍启，其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了总珠。上圖是音樂在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子勘纯。所以頻域這一概念對大家都從不陌生局服，只是從來沒意識到而已。

現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的驳遵。

將以上兩圖簡化：

時(shí)域：

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頻域：

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在時(shí)域淫奔，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢堤结；而在頻域唆迁，只有那一個(gè)永恒的音符。

所以

你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界竞穷，實(shí)際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章唐责。

抱歉，這不是一句雞湯文瘾带，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我們鼠哥，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅看政，不同相位正弦波的疊加朴恳。在第一個(gè)例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度允蚣，不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊于颖，可以組合出任何一首樂曲。

而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一嚷兔，就是傳中說的傅里葉分析森渐。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)做入，我們從簡單的開始談起。

二章母、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)的頻譜

還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解母蛛。

如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來翩剪，你會相信嗎乳怎？你不會，就像當(dāng)年的我一樣前弯。但是看看下圖：

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第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos（x）

第二幅圖是2個(gè)賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)

第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長蚪缀，他們最終會疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理恕出？

（只要努力询枚，彎的都能掰直！）

隨著疊加的遞增浙巫，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡金蜀，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了的畴。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90度角的矩形波呢渊抄？不幸的告訴大家，答案是無窮多個(gè)丧裁。（上帝：我能讓你們猜著我护桦？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的煎娇。這是沒
有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個(gè)難點(diǎn)二庵，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了缓呛。

還是上圖的正弦波累加成矩形波催享，我們換一個(gè)角度來看看：

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在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和哟绊，也就是越來越接近矩形波的那個(gè)圖形因妙。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來匿情，而每一個(gè)波的振幅都是不同的兰迫。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個(gè)正弦波之間都還有一條直線炬称，那并不是分割線汁果，而是振幅為0的正弦波！也就是說玲躯，為了組成特殊的曲線据德，有些正弦波成分是不需要的鳄乏。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量棘利。

好了橱野，關(guān)鍵的地方來了！善玫！

如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”水援，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。

對于我們最常見的有理數(shù)軸茅郎，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元蜗元。

時(shí)域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為[圖片上傳失敗...(image-15d287-1533092829161)]

的正弦波cos（[圖片上傳失敗...(image-ce3832-1533092829161)]

t）看作基礎(chǔ)系冗，那么頻域的基本單元就是[圖片上傳失敗...(image-24ef2d-1533092829161)]

奕扣。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界掌敬，那么頻域的“0”是什么呢惯豆？cos（0t）就是一個(gè)周期無限長的正弦波，也就是一條直線奔害！所以在頻域楷兽，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中舀武，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀拄养。

接下來，讓我們回到初中银舱，回憶一下已經(jīng)死去的八戒瘪匿，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧寻馏。

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正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動在一條直線上的投影棋弥。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓

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知乎不能傳動態(tài)圖真是太讓人惋惜了……

想看動圖的同學(xué)請戳這里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

以及這里：

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

點(diǎn)出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是诚欠。

介紹完了頻域的基本組成單元顽染，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

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這是什么奇怪的東西轰绵？

這就是矩形波在頻域的樣子粉寞，是不是完全認(rèn)不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想左腔，以及無窮的吐槽唧垦，其實(shí)教科書只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜液样，就是——

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再清楚一點(diǎn)：

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可以發(fā)現(xiàn)振亮，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0坊秸，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。

動圖請戳：

File:Fourier series and transform.gif

老實(shí)說死相，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法捞镰，而且闸与，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個(gè)譜——相位譜。

但是在講相位譜之前岸售，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么践樱。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了凸丸。想象一下拷邢，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線屎慢，但實(shí)際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成瞭稼。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影腻惠。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個(gè)什么畫面呢环肘？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪集灌，大齒輪帶動小齒輪悔雹，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己欣喧。我們只看到這個(gè)小人毫無規(guī)律的在幕布前表演腌零，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)续誉，永不停歇莱没。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話酷鸦，這種對人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的饰躲，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)……

三臼隔、傅里葉級數(shù)（Fourier Series）的相位譜

<u style="text-decoration: none; border-bottom: 1px dashed gray;">上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看嘹裂。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。</u>

在這一章最開始摔握，我想先回答很多人的一個(gè)問題：傅里葉分析究竟是干什么用的寄狼？這段相對比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。

先說一個(gè)最直接的用途泊愧。無論聽廣播還是看電視伊磺，我們一定對一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道删咱，就是頻率的通道屑埋，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個(gè)sin（x）痰滋，不一定標(biāo)準(zhǔn)摘能，意思差不多就行。不是很難吧敲街。

好团搞，接下去畫一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了多艇，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對吧逻恐？

好，畫不出來不要緊墩蔓，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你梢莽，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去奸披，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的涮雷。

但是在頻域呢阵面？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已洪鸭。

所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作样刷，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方览爵。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分置鼻，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一蜓竹，只有在頻域才能輕松的做到箕母。

再說一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程俱济。（這段有點(diǎn)難度嘶是，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到蛛碌。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情聂喇。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分蔚携。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ㄏＬ髮W(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有克饶。

傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提誊辉。

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下面我們繼續(xù)說相位譜：

通過時(shí)域到頻域的變換矾湃，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒有包含時(shí)域中全部的信息芥映。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對應(yīng)的正弦波的振幅是多少洲尊，而沒有提到相位∧纹基礎(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中坞嘀，振幅，頻率惊来，相位缺一不可丽涩，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析裁蚁，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的矢渊，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢枉证？我們看下圖矮男，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖室谚。

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鑒于正弦波是周期的毡鉴，我們需要設(shè)定一個(gè)用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)秒赤。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰猪瞬，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚入篮，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面陈瘦，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然潮售，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離痊项，并不是相位。

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這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差饲做。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話线婚，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi盆均，就得到了相位差塞弊。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜游沿。所以饰抒，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看诀黍。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話袋坑，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜眯勾≡婀”

注意到，相位譜中的相位除了0吃环，就是Pi也颤。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已郁轻。對于周期方波的傅里葉級數(shù)翅娶，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是好唯，由于cos（t+2Pi）=cos（t）竭沫，所以相位差是周期的，pi和3pi骑篙，5pi蜕提，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi靶端，pi]贯溅，所以圖中的相位差均為Pi。

最后來一張大集合：

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四躲查、傅里葉變換（Fourier Transformation）

相信通過前面三章，大家對頻域以及傅里葉級數(shù)都有了一個(gè)全新的認(rèn)識译柏。但是文章在一開始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說過镣煮，這個(gè)栗子是一個(gè)公式錯(cuò)誤，但是概念典型的例子鄙麦。所謂的公式錯(cuò)誤在哪里呢典唇？

傅里葉級數(shù)的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的胯府。曾經(jīng)在學(xué)數(shù)字信號處理的時(shí)候?qū)戇^一首打油詩：

往昔連續(xù)非周期介衔，

回憶周期不連續(xù)，

任你ZT骂因、DFT炎咖，

還原不回去。

（請無視我渣一樣的文學(xué)水平……）

在這個(gè)世界上，有的事情一期一會乘盼，永不再來升熊，并且時(shí)間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時(shí)間點(diǎn)上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶绸栅，在我們大腦里隔一段時(shí)間就會周期性的蹦出來一下级野，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶粹胯，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻蓖柔。因?yàn)椋羰且粋€(gè)連續(xù)的非周期信號风纠，而回憶是一個(gè)周期離散信號况鸣。

是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉议忽，真沒有懒闷。

比如傅里葉級數(shù)，在時(shí)域是一個(gè)周期且連續(xù)的函數(shù)栈幸，而在頻域是一個(gè)非周期離散的函數(shù)愤估。這句話比較繞嘴，實(shí)在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片速址。

而在我們接下去要講的傅里葉變換玩焰，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號，轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號芍锚。

算了昔园，還是上一張圖方便大家理解吧：

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或者我們也可以換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對一個(gè)周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。

所以說并炮，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜默刚，而是很多在時(shí)間上離散的頻率，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來了逃魄。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜荤西。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

你見過大海么伍俘？

為了方便大家對比邪锌，我們這次從另一個(gè)角度來看頻譜，還是傅里葉級數(shù)中用到最多的那幅圖癌瘾，我們從頻率較高的方向看觅丰。

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以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢妨退？

盡情的發(fā)揮你的想象妇萄，想象這些離散的正弦波離得越來越近蜕企，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

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很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到嚣伐，我沒有選用正確的計(jì)算參數(shù)糖赔，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了轩端。

不過通過這樣兩幅圖去比較放典，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來離散譜的疊加基茵，變成了連續(xù)譜的累積奋构。所以在計(jì)算上也從求和符號變成了積分符號。

不過拱层，這個(gè)故事還沒有講完弥臼，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片根灯，但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)径缅，這個(gè)工具就是——

五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式

虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過烙肺，但那時(shí)我們只知道它是-1的平方根纳猪，可是它真正的意義是什么呢?

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這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線段桃笙，它的長度是1氏堤。當(dāng)它乘以3的時(shí)候，它的長度發(fā)生了變化搏明，變成了藍(lán)色的線段鼠锈，而當(dāng)它乘以-1的時(shí)候拘悦，就變成了綠色的線段么库，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180度。

我們知道乘-1其實(shí)就是乘了兩次 i使線段旋轉(zhuǎn)了180度耘柱，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉(zhuǎn)了90度虚循。

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同時(shí)由桌，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面，也稱復(fù)平面剪廉。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)斗蒋。

現(xiàn)在捌斧，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——

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這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析捞蚂，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于Pi的時(shí)候俊马。

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經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底艘儒，用這個(gè)公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看抑片，這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e阳柔，自然數(shù)1和0霍转，虛數(shù)i還有圓周率pi，它是這么簡潔监憎，這么美麗啊！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“

這個(gè)公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式琼蚯。我們來看看圖像上的涵義：

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歐拉公式所描繪的榨了，是一個(gè)隨著時(shí)間變化叔扼，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動的點(diǎn)价捧，隨著時(shí)間的改變宝惰，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線什燕。如果只看它的實(shí)數(shù)部分雕擂，也就是螺旋線在左側(cè)的投影戚绕，就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)焕妙。

關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解蒋伦，大家可以參考：

復(fù)數(shù)的物理意義是什么？

這里不需要講的太復(fù)雜焚鹊，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了痕届。

六、指數(shù)形式的傅里葉變換

有了歐拉公式的幫助末患，我們便知道：正弦波的疊加研叫，也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來理解是什么呢璧针？

光波

高中時(shí)我們就學(xué)過嚷炉，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：

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所以其實(shí)我們在很早就接觸到了光的頻譜探橱，只是并沒有了解頻譜更重要的意義申屹。

但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加隧膏，而是頻率從0到無窮所有頻率的組合哗讥。

這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：

第一種前面已經(jīng)講過了胞枕，就是螺旋線在實(shí)軸的投影杆煞。

另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：

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將以上兩式相加再除2，得到：

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這個(gè)式子可以怎么理解呢？

我們剛才講過决乎，e^{(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線队询，那么e}(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而cos(t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半构诚，因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了娘摔！

舉個(gè)例子的話，就是極化方向不同的兩束光波唤反，磁場抵消，電場加倍鸭津。

這里彤侍，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）逆趋。

好了盏阶，剛才我們已經(jīng)看到了大海——連續(xù)的傅里葉變換頻譜闻书，現(xiàn)在想一想名斟，連續(xù)的螺旋線會是什么樣子：

想象一下再往下翻：

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是不是很漂亮？

你猜猜魄眉，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子砰盐？

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哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個(gè)耳光坑律。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡單的問題搞得很復(fù)雜的東西岩梳。

順便說一句，那個(gè)像大海螺一樣的圖晃择，為了方便觀看冀值，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來宫屠。

如果你認(rèn)真去看列疗，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑）浪蹂，頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位抵栈。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了乌逐。

好了竭讳，講到這里，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了浙踢，我們最后用一張圖來總結(jié)一下：

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好了绢慢，傅里葉的故事終于講完了，下面來講講我的故事：

這篇文章第一次被寫下來的地方你們絕對猜不到在哪，是在一張高數(shù)考試的卷子上胰舆。當(dāng)時(shí)為了刷分骚露，我重修了高數(shù)（上），但是后來時(shí)間緊壓根沒復(fù)習(xí)缚窿，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場棘幸。但是到了考場我突然意識到，無論如何我都不會比上次考的更好了倦零，所以干脆寫一些自己對于數(shù)學(xué)的想法吧误续。于是用了一個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。

你們猜我的了多少分扫茅？

6分

沒錯(cuò)蹋嵌，就是這個(gè)數(shù)字。而這6分的成績是因?yàn)樽詈笪覍?shí)在無聊葫隙，把選擇題全部填上了C栽烂，應(yīng)該是中了兩道，得到了這寶貴的6分恋脚。說真的腺办，我很希望那張卷子還在，但是應(yīng)該不太可能了糟描。

那么你們猜猜我第一次信號與系統(tǒng)考了多少分呢怀喉？

45分

沒錯(cuò)，剛剛夠參加補(bǔ)考的蚓挤。但是我心一橫沒去考磺送，決定重修。因?yàn)槟莻€(gè)學(xué)期在忙其他事情灿意，學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了估灿。但是我知道這是一門很重要的課，無論如何我要吃透它缤剧。說真的馅袁，信號與系統(tǒng)這門課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ)，尤其是通信專業(yè)荒辕。

在重修的過程中汗销，我仔細(xì)分析了每一個(gè)公式，試圖給這個(gè)公式以一個(gè)直觀的理解抵窒。雖然我知道對于研究數(shù)學(xué)的人來說弛针，這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒有前途可言，因?yàn)殡S著概念愈加抽象李皇，維度越來越高削茁，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對于一個(gè)工科生來說，足夠了茧跋。

后來來了德國慰丛，這邊學(xué)校要求我重修信號與系統(tǒng)時(shí)，我徹底無語了瘾杭。但是沒辦法诅病，德國人有時(shí)對中國人就是有種藐視，覺得你的教育不靠譜粥烁。所以沒辦法贤笆，再來一遍吧。

這次讨阻，我考了滿分苏潜，而及格率只有一半。

老實(shí)說变勇，數(shù)學(xué)工具對于工科生和對于理科生來說，意義是完全不同的贴唇。工科生只要理解了搀绣，會用，會查戳气，就足夠了链患。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教。這樣就出現(xiàn)一個(gè)問題瓶您，數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜麻捻，又是推理又是證明，但是學(xué)生心里就只有一句話：學(xué)這貨到底干嘛用的呀袱？

缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗贸毕。

在開始學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，學(xué)生完全不知道這個(gè)工具的作用夜赵，現(xiàn)實(shí)涵義明棍。而教材上有只有晦澀難懂，定語就二十幾個(gè)字的概念以及看了就眼暈的公式寇僧。能學(xué)出興趣來就怪了摊腋！

好在我很幸運(yùn)，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師嘁傀。他的課全程來看是兩條線索兴蒸，一條從上而下，一條從下而上细办。先講本門課程的意義橙凳，然后指出這門課程中會遇到哪樣的問題，讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識在現(xiàn)實(shí)中扮演的角色。然后再從基礎(chǔ)講起痕惋，梳理知識樹区宇，直到延伸到另一條線索中提出的問題，完美的銜接在一起值戳！

這樣的教學(xué)模式议谷，我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的。

最后堕虹，寫給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)卧晓。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回復(fù)赴捞。因?yàn)橹鯇诘牧粞砸鸫渭虞d逼裆，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載。當(dāng)然我都堅(jiān)持看完了赦政，只是沒辦法一一回復(fù)胜宇。

本文只是介紹了一種對傅里葉分析新穎的理解方法，對于求學(xué)恢着，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念桐愉，學(xué)習(xí)，真的沒有捷徑掰派。但至少通過本文从诲，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些。

最后靡羡，祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂趣系洛。…

[編輯于 2014-10-15]

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