5.5平板對流換熱動量積分方程與能量積分方程得到摩擦系數(shù)與Nu數(shù)

5.5對流換熱邊界層積分方程推導(dǎo)

標(biāo)簽（空格分隔）：傳熱學(xué)

邊界層對流換熱問題可以分別通過建立動量军俊、能量積分方程進(jìn)行分析求解

一.邊界層動量積分方程式及求解

兩種方法①邊界層內(nèi)取任一有限微元段，根據(jù)質(zhì)量、動量、能量守恒院里進(jìn)行推導(dǎo)；②對邊界層微分方程處理客情，數(shù)學(xué)上將前面已經(jīng)推導(dǎo)得到的邊界層微分方程沿邊界層厚度積分，可以導(dǎo)出(P223習(xí)題5-11)

方法①的物理過程比較清晰癞己，思路有啟發(fā)性膀斋，有助于理解

$\color{#F00}{注意該方法是可以較為簡單的數(shù)學(xué)方式解出結(jié)果的一種手段，數(shù)學(xué)內(nèi)容上不超綱}$

在邊界層中x出內(nèi)取微元段abcd痹雅，這個微元段會涵蓋一部分邊界層以及一部分主流區(qū)域

假設(shè)：常物性仰担、二維、穩(wěn)態(tài)绩社、不可壓縮

1.根據(jù)牛頓第二定律摔蓝，F(xiàn)=ma

動態(tài)上說就是赂苗，單位時間受到的力，等于動量的改變量

$\color{#F00}{y方向上的速度v很小贮尉，只考慮x方向的動量和力}$

1.1動量的變化——微元體動量的增加是流入導(dǎo)致

001.png

邊界層為什么會越來越厚拌滋，是因為流體的粘滯力不斷向內(nèi)部傳遞，越來越多的流體受到速度梯度影響帶來的粘滯力猜谚；反過來败砂，邊界層變厚，以為著更多的主流方向的流體流進(jìn)邊界層

從ab面和bc面進(jìn)魏铅，從cd面出昌犹，ad面是固體無流動

(1)進(jìn)入ab面流體的動量
因為邊界層內(nèi)速度不均勻，速度梯度大览芳，取離壁面y $\color{#F00}{橫著取dy厚度}$
單位時間進(jìn)入此段的質(zhì)量流量：
$密度\cdot 速度\cdot 面積$
$\rho\cdot u \cdot dy\cdot 1$

$單位時間的動量：質(zhì)量流量×速度=\rho u^2dy$
積分起來,進(jìn)入ab面的動量: $\color{#F00}{\rho \int_0^\delta u^2dy}$
積分起來,進(jìn)入ab面的質(zhì)量: $\rho \int_0^\delta udy$
(2)離開cd面流體的動量：（ab,cd都在邊界層內(nèi)斜姥，連續(xù)函數(shù)。經(jīng)過dx段的泰勒公式）:
$\rho \int_0^\delta u^2dy+\frac{\partial}{\partial x}[\rho \int_0^\delta u^2dy]dx$
y方向上與x方向無關(guān), 偏微分變變化為常微分：
$\color{#F00}{\rho \int_0^\delta u^2dy+\rho\fracfyc0sky{dx}[\int_0^\delta u^2dy]dx}$
(3)主流方向進(jìn)入bc面的質(zhì)量：（邊界層外沧竟，主流速度 $u_\infty$ ）
ab面進(jìn)入+bc面進(jìn)入=cd面出去
由ab面進(jìn)入微元段的質(zhì)量: $M_{ab}=\rho \int_0^\delta udy$
離開cd面的質(zhì)量 $M_{cd}=M_{ab}+\frac{\partial M_{ab}}{\partial x}dx=\rho \int_0^\delta udy+\rho\fracppqi2z0{dx}(\int_0^\delta udy)dx$
因此 $M_{bc}=M_{cd}-M_{ab}=\rho\fracjrghasn{dx}(\int_0^\delta udy)dx$
bc面的動量=質(zhì)量流量×主流速度
$\color{#F00}{\rho u_\infty\cdot\fracmyurvy2{dx}(\int_0^\delta udy)dx}$

以上這么計算的原因疾渴，是因為 ab，cd都在邊界層內(nèi)部屯仗，是連續(xù)函數(shù)搞坝，bc在邊界層外，包含主流與邊界層跨界部分魁袜，不連續(xù)

1.2流體通過微元段abcd的動量變化:流出的動量減去流入的動量=受力

離開cd面的-進(jìn)入ab面-進(jìn)入bc面的動量(三個紅色公式)
$\rho\fracyyoswo5{dx}[\int_0^\delta u^2dy]dx-\color{#0F0}{\rho u_\infty\cdot\fracddla5z9{dx} (\int_0^\delta udy)dx}$

1.3數(shù)學(xué)簡化過程

上面的式子右邊綠色可以簡化
$\rho u_\infty\cdot\fracdoa2vy5{dx}(\int_0^\delta udy)dx=u_\infty d(\rho\int_0^\delta udy)$
換元處理把 $X=u_\infty,Y=\rho\int_0^\delta udy$
已知 $d(X\cdot Y)=XdY+YdX$ 桩撮，因此 $XdY=d(X\cdot Y)-YdX$
積分項帶入上式：
$u_\infty d(\rho\int_0^\delta udy)=d(u_\infty \cdot \rho\int_0^\delta udy)-\rho\int_0^\delta udy\cdot du_\infty\\ 等式右邊第一項u_\infty是與dy無關(guān)的，可以乘進(jìn)去\\ 等式右邊第二項峰弹，除以一個dx 乘以一個dx,u_\infty 還不作為常數(shù)處理\\ =\color{#0F0}{\rho \fracmuc2rfe{dx}(\int_0^\delta u_\infty udy)dx-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx}$
綠色部分帶入動量進(jìn)出結(jié)果：
$\rho\fracoop7esy{dx}[\int_0^\delta u^2dy]dx-[\rho \fracae5hpdg{dx}(\int_0^\delta u_\infty udy)dx-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx]\\ 合并\rho\fracrvzs2r9{dx}這一項\\ =\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx-\rho\fracjgkhhky{dx}(\int_0^\delta (u_\infty u-u^2)dy)dx$
上面的動量變化中店量，如果 $du_{\infty}中的拿進(jìn)去乘以u$
很接近 $u\cdot u_\infty-u^2，\because u_\infty>u$
$\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx-\rho\fracyrko2nt{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)dx$
假設(shè)平板流動鞠呈， $u_{\infty}$ 與x無關(guān)融师，就直接去掉了這一項

2.力平衡分析

F=ma,x方向上在微元段受到的力產(chǎn)生了x方向上的動量變化

牛頓粘性運(yùn)動，剪切應(yīng)力 $\tau_w=\eta(\frac{\partial u}{\partial y})_w$
(1)壁面ad上的粘滯力等于應(yīng)力乘以面積
$-\tau_w\cdot dx\cdot 1$
(2)ab面和cd面上的壓力差產(chǎn)生的力:
以前有一個重要推論蚁吝，經(jīng)過量綱分析知道 $\frac{\partial p}{\partial y}=0$
整個ab面上的壓力就是主流上的壓力p
cd方向上旱爆， $\frac{\partial p}{\partial x}\neq 0$ 有可能
還是泰勒公式 $p+\frac{\partial p}{\partial x}\cdot dx$
上面所說的壓力p實際上是壓強(qiáng)，p要乘以面積窘茁，面積截面分別等于 $\delta\cdot 1,(\delta+\frac{\partial \delta}{\partial x}dx)\cdot 1$
壓力相減：
$p\delta-(p+\frac{dp}{dx}\cdot dx)(\delta+\frac{d\delta}{dx}dx)=-p\frac{d \delta}{dx}dx-\delta\frac{dp}{dx}dx$
(3)頂面bc斜面受到的壓力：
壓強(qiáng)乘以x方向上的投影面積,距離是cd面的邊界層厚度-ab面的邊界層厚度= $d\delta=\frac{d\delta}{dx}dx$
$p\cdot d\delta\cdot 1$
(4)沿頂部bc斜面不受粘性力怀伦，主流區(qū)是歐拉方程的理想流體

合力

$-\tau_w\cdot dx-\delta\frac{dp}{dx}dx$

合力作用——動量變化——F=ma

$\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)dx-\rho\frac204pewz{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)dx=-\tau_w\cdot dx-\delta\frac{dp}{dx}dx$
上式消去所有的dx
$\require{cancel} \rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)\cancel{dx}-\rho\fraciq5qubl{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)\cancel{dx}=-\tau_w\cdot \cancel{dx}-\delta\frac{dp}{dx}\cancel{dx}$

最終

$\rho\fracl0oh0rx{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)=\tau_w+\delta\frac{dp}{dx}$

處理壓力項在量綱分析中，我們得到了一個關(guān)系式山林，歐拉方程 $-\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}$

上式兩邊分別乘以 $\delta或者\(yùn)int_0^\delta dy$ ,實際上是一個東西房待，左右分別乘
$-\delta \frac{dp}{dx}=\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta u_\infty dy$
形式逐漸統(tǒng)一起來,將壓力項帶入牛頓第二定律的方程
$\rho\frackds5ag7{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)-\rho \frac{du_\infty}{dx}(\int_0^\delta udy)=\tau_w-\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta u_\infty dy$

合并

$\color{#00F}{\tau_w=\rho\fracmjkk5c9{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)+\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta(u_\infty-u)dy}$

3.上面為馮卡門邊界層動量積分方程，適合層流，湍流

外掠平板層流邊界層的厚度及摩擦系數(shù)

對于常物性流體平板主流速度為常數(shù) $u_\infty=0;\frac{du_\infty}{dx}=0$
$\require{cancel} \color{#00F}{\tau_w=\rho\frac7tbjia2{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy)+\cancel{\rho\frac{du_\infty}{dx}\int_0^\delta(u_\infty-u)dy}}$

簡化了一下 $\color{#00F}{\rho\fracollmue5{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy=\eta(\frac{\partial u}{\partial y})_w}$

這就是通過積分方程得到與將動量方程積分一樣的結(jié)果(P223 5-11)

求解,需要速度分布才能積分出來桑孩，并且積分上限也是未知量拜鹤，現(xiàn)在沒有速度分布（雞與蛋蛋問題又來了）。一個方程兩個未知數(shù)流椒，所以我們只能先假設(shè)速度分布署惯，求解作為積分上限的邊界層厚度 $\delta$

4.假設(shè)一個速度分布，因此這個也叫近似解

根據(jù)經(jīng)驗假速度分布為三次多項式: $u=a+by+cy^2+dy^3$
條件 $\color{#F00}{① y=0镣隶，u=0;②y=\delta,u=u_\infty}$

邊界層特性极谊，越接近避免處速度梯度越大，那么壁面y=0處速度梯度應(yīng)該達(dá)到最大值安岂，因此二階導(dǎo)數(shù)=0;邊界層為速度達(dá)到99%轻猖，速度梯度為0

條件 $\color{#F00}{③y=0,\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0;④y=\delta,\frac{\partial u}{\partial y}=0}$

四個未知數(shù)，4個邊界條件,解出a域那，b咙边，c，d四個數(shù)

$\begin{cases} a=0;\\ b=\frac{3}{2}\frac{u_\infty}{\delta};\\ c=0;\\ d=-\frac{u_\infty}{2\delta^3}\\ \end{cases}$

邊界層內(nèi)無量綱的速度分布 $\frac{u}{u_\infty}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3$

有了速度分布次员，可以得到剪切應(yīng)力所需要的的壁面y=0處速度梯度 $(\frac{du}{dy})_w=\frac{3}{2}\frac{u_\infty}{\delta}$

力 $\tau_w=\eta\cdot(\frac{du}{dy})_w=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}$

5.求解動量積分方程：

$\color{#00F}{\rho\frachw0teag{dx}(\int_0^\delta (u(u_\infty-u)dy=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}}\\ \frac{u}{u_\infty}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3$

速度分布帶入積分方程,繁瑣但是可以得到

等式左邊= $\frac{39}{280}\rho u_\infty^2\frac{d\delta}{dx}$ =等式右邊,注意 $\nu=\eta/\rho$

$\color{#F0F}{\frac{39}{280}\rho u_\infty^2\frac{d\delta}{dx}=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}};\\ \frac{13}{140}u_\infty\frac{d\delta}{dx}=\nu\frac{1}{\delta};\\ \delta d\delta=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty}dx$

6.去掉積分號败许，求解微分方程 $\color{#F00}{\delta d\delta=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty}dx}$

積分得到邊界層厚度與位置，主流速度的關(guān)系

$\int_0^\delta\delta d\delta=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty}\int_0^xdx;\\ \delta=4.64\sqrt{\frac{\nu x}{u_\infty}}=4.64\sqrt{\frac{\nu}{u_\infty x}}x=4.64xRe_x^{-1/2}$
與通過微分法求解相比淑蔚，積分方程得到的系數(shù)4.64市殷，一個系數(shù)5.0,差別存在。

有了邊界層厚度刹衫，帶入粘滯應(yīng)力 $\tau_w=\eta\cdot(\frac{du}{dy})_w=\frac{3}{2}\eta\frac{u_\infty}{\delta}$

$\tau_w=0.323\frac{\eta u_\infty^{3/2}}{\sqrt{\nu x}}$
而流體力學(xué)中醋寝，粘滯應(yīng)力與局部摩擦系數(shù)(范寧數(shù))有如下關(guān)系:
$\tau_w=C_{f,x}\frac{\rho u_\infty ^2}{2};\\ C_{f,x}=\frac{2\tau_w}{\rho u_\infty^2}=0.646\frac{\nu}{\sqrt{\nu xu_\infty}}=0.646Re_x^{-1/2}$

量綱分析中上面的系數(shù)0.664 vs 0.646，差別不大

二带迟、邊界層能量積分方程式及求解

1.目的：求解熱邊界層的溫度場音羞、熱邊界層的厚度、壁面處的溫度梯度得到表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)

(思路類似仓犬，通過場分布得到厚度嗅绰，厚度，壁面處梯度與厚度的關(guān)系得到關(guān)心的系數(shù))

2.假設(shè)： $①壁溫為t_w;②主流溫度為t_f搀继；③主流速度為u_\infty$ ;④穩(wěn)態(tài)窘面，無內(nèi)熱源病游，常物性;Pr>1(熱邊界層厚度小于流動邊界層厚度);二維穆役；流速不快沒有粘性耗散

002.png

利用量綱分析中的已知結(jié)論: $\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}<<\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}$

推導(dǎo)過程中不考慮x方向上的導(dǎo)熱，只考慮y方向上的導(dǎo)熱

vs 動量方恒中只考慮x方向上的動量變化

abcd段的能量守恒: $Q_{導(dǎo)熱}+Q_{對流}=\Delta U+W$ ，穩(wěn)態(tài)內(nèi)能不變 $\Delta U=0$ ,不可壓縮 $W=0$

$Q_{導(dǎo)熱}+Q_{對流}=0$

換句話說：流體帶（流）入微元段的熱量=由壁面導(dǎo)出的熱量+流體帶（流）出的熱量

由于流體沿著x方向上的溫度梯度很小险毁，因此流體在x方向只有對流帶出，沒有x上導(dǎo)熱

3.守恒分析，流體帶入微元段的熱量ab,bc畔况，帶出cd面鲸鹦，導(dǎo)出ad面

(1)ab面：質(zhì)量流量×比熱×溫度
質(zhì)量流量為 $\rho udy$
因為溫度梯度很大，不均勻跷跪，因此取dy一個微元
$\rho u dy\cdot c_pt$
微元段經(jīng)過y方向上的積分馋嗜，得到 $\int_0^\delta(\rho udy)\cdot c_p\cdot t=\rho c_p\int_0^\delta tudy$
對比一下帶入的動量 $\color{#F00}{\rho \int_0^\delta u^2dy}$ ，一個是質(zhì)量流量乘以速度u一個是質(zhì)量流量乘以Cp t
(2)bc面上的質(zhì)量流量前面已推：

$\color{#F00}{①為什么我們先推復(fù)雜的動量守恒吵瞻？②為什么bc段不能直接得出葛菇？③為什么要假定熱邊界層厚度低于流動邊界層厚度}$

$M_{bc}=M_{cd}-M_{ab}=\rho\frac5xyc7ja{dx} (\int_0^\delta udy)dx$
有了質(zhì)量分布就好求了

注意邊界層外的速度為 $u_\infty；因此動量積分方程中乘以u_\infty橡羞，這里的溫度為流體溫度t_f$

$\rho c_p t_f\fracht0iqed{dx} (\int_0^\delta udy)dx$
(3)cd面帶出的熱量：
cd面和ab面都在邊界層以內(nèi)眯停，可以通過ab面的熱量泰勒展開得到
$\rho c_p\int_0^\delta tudy+\rho c_p\frack2ok4dj{dx}(\int_0^\delta tudy)dx$
(4)ad面(通過壁面)導(dǎo)出的熱流量,不是熱流密度：(注意我們假設(shè)壁面溫度低于流體冷卻)
$-(-\lambda\frac{\partial t}{\partial y})_w\cdot dx\text{(-y方向)}$

4.合并，流體帶入=壁面導(dǎo)出+流體帶出（ab,bc進(jìn)卿泽，cd莺债，ad出）

$\require{cancel} \rho c_p\int_0^\delta tudy+\rho c_p t_f\fracm7j0yqp{dx} (\int_0^\delta udy)dx=\\ \rho c_p\int_0^\delta tudy+\rho c_p\frackh7h7sr{dx}(\int_0^\delta tudy)dx+\lambda(\frac{\partial t}{\partial y})_w dx\\ \therefore \cancel{\rho c_p\int_0^\delta tudy+}\rho c_p t_f\fracpmy7uql{dx} (\int_0^\delta udy)dx=\\ \cancel{\rho c_p\int_0^\delta tudy+}\rho c_p\fracv24ft0c{dx}(\int_0^\delta tudy)dx+\lambda(\frac{\partial t}{\partial y})_w dx$

假定流體溫度 $t_f=const$ 這個假設(shè)與平板模型主流速度為常數(shù)有一樣的效果

上式合并，兩邊除以 $\rho c_p$ ,約去dx項簡化為：
$\fracmf7y7ma{dx}(\int_0^\delta u(t_f-t))dy=a(\frac{\partial t}{\partial y})_w\tag{能量積分方程}$
對比一下動量積分方程签夭，形式接近
$\fracrdskzcm{dx}(\int_0^\delta u(u_\infty-u))dy=\nu(\frac{\partial u}{\partial y})_w\tag{動量積分方程}$

5.假設(shè)溫度分布齐邦，求解積分方程

前面已經(jīng)得到了假設(shè)下的速度場分布，同理我們假設(shè)溫度分布并進(jìn)行4個系數(shù)所需條件的分析

$t=a+by+cy^2+dy^3$

根據(jù)熱邊界層特性第租，溫度分布在熱邊界層內(nèi)靠近壁面處梯度最大措拇，接近邊界處梯度為0

$\color{#F00}{①y=0:t=t_w,②(\frac{\partial ^2t}{\partial y^2})_w=0}$
$\color{#F00}{③y=\delta_t:t=t_f,④(\frac{\partial t}{\partial y})_{\delta_t}=0}$

把邊界條件帶入假設(shè)的溫度分布函數(shù)，解得a,b,c,d

$\begin{cases} a=t_w;\\ b=\frac{3}{2}\frac{t_f-t_w}{\delta_t};\\ c=0;\\ d=-\frac{1}{2}\frac{t_f-t_w}{\delta_t^3}\\ \end{cases}$

溫度分布無量綱化形式如下 $\theta=t-t_w$ :

$\frac{t-t_w}{t_f-t_w}=\frac{\theta}{\theta_f}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta_t}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta_t})^3$
不難發(fā)現(xiàn)慎宾，這個式子還有一個未知數(shù) $\delta_t$ ,前面動量方程的求解思路也類似儡羔，需要知道邊界層厚度才能得到具體的速度分布，才能得到剪切應(yīng)力與摩擦系數(shù)

$(\frac{\partial t}{\partial y})_w=(\frac{\partial \theta}{\partial y})_w=\frac{3}{2}\frac{\theta_f}{\delta_t}$ 有了熱邊界層厚度璧诵，才有溫度分布梯度汰蜘，才有對流換熱系數(shù)

6.將速度分布與溫度分布帶入能量積分方程求解

$\begin{cases} \frac{u}{u_\infty}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3\\ \frac{\theta}{\theta_f}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta_t}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta_t})^3\\ \frac52jeaoo{dx}(\int_0^\delta u(t_f-t))dy=a(\frac{\partial t}{\partial y})_w\tag{分布帶入積分方程求解} \end{cases}$

注意這里積分中分段處理，有 $\color{#F00}{\delta和\delta_t并且\delta_t<\delta}$ ,積分路徑從 $0到\delta_t再從\delta_t到\delta$

根據(jù)熱邊界層定義簡化積分

$\require{cancel} \int_0^\delta u(t_f-t)dy=\int_0^{\delta_t} u(t_f-t)dy+\int_{\delta_t}^\delta u(t_f-t)dy\\ \int_0^\delta u(t_f-t)dy=\int_0^{\delta_t} u(t_f-t)dy\cancel{+\int_{\delta_t}^\delta u(t_f-t)dy}$

兩根溫度分布帶入簡化后的積分方程之宿，形式如下族操，高數(shù)內(nèi)容可解，過程繁瑣

$\color{#F00}{\fracdpmujqw{dx}(\int_0^{\delta_t}u_\infty[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta})^3]\cdot \theta_f[1-\frac{3}{2}\frac{y}{\delta_t}+\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta_t})^3]dy)=a\frac{3}{2}\frac{\theta_f}{\delta_t}}\\ \color{#0F0}{t_f-t=t_f-t-t_w+t_w=\theta_f-\theta=\theta_f[1-\frac{\theta}{\theta_f}]}$

假設(shè)一個比例系數(shù) $\zeta=\delta_t/\delta比被；\delta_t=\zeta\delta$

積分式子變換一下色难，提取出常數(shù)項 $u_\infty,\theta_f$

7.積分方程數(shù)學(xué)求解(僅供欣賞)

$\color{#F00}{u_\infty\fracvo5a45h{dx}(\int_0^{\delta_t}[\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{9}{4}\frac{y^2}{\delta^2\zeta}+\frac{3}{4}\frac{y^4}{\delta^4\zeta^3}-\frac{1}{2}\frac{y^3}{\delta^3}+\frac{3}{4}\frac{y^4}{\delta^4\zeta}-\frac{1}{4}\frac{y^6}{\delta^6\zeta^3}]dy)=\frac{3}{2}\frac{a}{\delta\zeta}}$

把對y的多項式積分積出來

$\frac{2}{3}u_\infty\fracquyvhg0{dx}(\delta\zeta^2[\frac{3}{20}-\frac{3}{280}\zeta^2])=\frac{a}{\delta\zeta}$

前面假設(shè)了Pr>1，因此 $\delta_t<\delta,\frac{3}{280}\zeta^2$ 被忽略

微分方程簡化為:

$\frac{1}{10}\frac5tbugbl{dx}(\delta\zeta^2)=\frac{a}{\delta\zeta}\\ \therefore全微分出來 \frac{1}{10}u_\infty(2\delta\zeta\frac{d\zeta}{dx}+\zeta^2\frac{d\delta}{dx})=\frac{a}{\delta\zeta}$

動量方程中等缀，我們已經(jīng)推倒過 $\frac{d\delta}{dx}的關(guān)系以及\delta與x的關(guān)系$

$\frac{d\delta}{dx}=\frac{140}{13}\frac{\nu}{u_\infty\delta}\\ \delta=4.64\sqrt{\frac{\nu x}{u_\infty}}$

帶入速度溫度分布的積分方程積出來之后有了一個微分方程枷莉，并且用到之前動量積分方程中求解已經(jīng)得到結(jié)論帶入微分方程中，轉(zhuǎn)換為關(guān)于 $\zeta=f(x)$ 的微分方程

8.轉(zhuǎn)換形式尺迂，最終求解

$\zeta^3+4x\zeta^2\frac{d\zeta}{dx}=\frac{13}{14}\frac{a}{\nu}=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}\\ \zeta^3+\frac{4}{3}x\frac{d\zeta^3}{dx}=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}$
上面的微分方程中把 $\zeta^3當(dāng)做一個整體,為一階線性常微分方程$
$y=f(x)=\zeta^3$
$\frac{4}{3}x\cdot f(x)+f(x)=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}$

9.通解討論 $\zeta^3=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}+\frac{C}{x^{3/4}}$

當(dāng)x=0時笤妙，流體剛接觸平板冒掌，此時邊界層厚度 $\delta與\delta_t都等于0$

如果 $C\neq 0,則當(dāng)x=0時，\zeta\sim\infty$

$\zeta^3=\frac{13}{14}\frac{1}{Pr}$ 蹲盘，此式子是 $\zeta=\frac{1}{1.025}Pr^{-1/3}\approx Pr^{-1/3}的理論推導(dǎo)依據(jù)$

$\zeta與Pr的關(guān)系$ 式由于用了一個假設(shè)股毫，在Pr>1的時候 $\zeta<1，忽略\frac{3}{280}\zeta^2$ 才成立召衔。嚴(yán)格意義上只有當(dāng) $\delta_t<\delta$ 時才是適用的

10.最終求得對流換熱系數(shù) $h_x$ 完成目的

有了溫度邊界層厚度铃诬，以及與溫度邊界層相關(guān)的溫度梯度的關(guān)系式

$h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_f}(\frac{\partial t}{\partial y})_w$

溫度分布 $\frac{t-t_w}{t_f-t_w}=\frac{\theta}{\theta_f}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta_t}-\frac{1}{2}(\frac{y}{\delta_t})^3\therefore(\frac{\partial t}{\partial y})_w=\frac{3}{2}\frac{\theta_f}{\delta_t}$

又 $\delta_t=\zeta_\delta;$

因此：

$h_x=-\frac{\lambda}{-\theta_f}\frac{3}{2}\frac{\theta_f}{\delta_t}=\frac{3}{2}\frac{\lambda}{\zeta\delta}\\$

帶入動量積分方程中的結(jié)論: $\delta=4.64xRe_x^{-1/2}以及\zeta=\frac{1}{1.025}Pr^{-1/3}$

$\color{#F00}{h_x=0.331\frac{\lambda}{x}Re_x^{1/2}Pr^{1/3}}$

$\color{#F00}{Nu_x=\frac{h_x x}{\lambda}=0.331Re_x^{1/2}Pr^{1/3}}$

11.對比量綱分析中的結(jié)論

系數(shù) $\delta=5.0xRe_x^{-1/2}$ vs動量積分方程中的4.64

摩擦系數(shù) $C_f=0.664Re_x^{-1/2}$ vs動量積分方程中的0.646

$Nu_x$ 數(shù)中 $Nu=0.332\frac{\lambda}{x}Re_x^{1/2}Pr^{1/3}$ vs能量積分方程中的0.331

三、動量積分方程與能量積分相似之處

簡化模型相似苍凛；

質(zhì)量流量兩個推導(dǎo)過程一致趣席；

受力平衡分析vs熱平衡分析；

動量積分方程vs能量積分方程醇蝴；

速度函數(shù)與溫度函數(shù)多項式相似吩坝；

無量綱速度分布與無量綱溫度分布一致；

速度梯度得到摩擦系數(shù)哑蔫，溫度梯度得到換熱系數(shù)相似钉寝；

速度梯度與邊界層厚度有關(guān)vs溫度梯度與熱邊界層厚度有關(guān)

最后編輯于：2024.11.15 15:55:40

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