5.1對流微分方程組的精確解（假設(shè)過程不精確宇挫，解方程精確）

1.方程組如下

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \rho(\frac{\partial u}{\partial \tau}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=F_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \rho(\frac{\partial v}{\partial \tau}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=F_x-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})\\ \lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(\frac{\partial t}{\partial \tau}+u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}\text{(解流場，得到溫度場酪术，得到局部對流換熱系數(shù))} \end{cases}\tag{微分方程組完全體}$

在只有重力場的作用下器瘪，體積力 $F_x=\rho g_x,F_y=\rho g_y$

流動邊界層和熱邊界層的狀況決定了熱傳遞過程和邊界層內(nèi)溫度分布

2.采用邊界層理論分析數(shù)量級大小，對偏微分方程組進行簡化

數(shù)量級分析：保留量級較大的量绘雁，舍去量級較小的量

000.png

下標∞表示原理壁面橡疼，邊界層厚度 $\delta，\delta_t$ 隨x方向變化庐舟，是x的函數(shù)

取五個基本量來定義量級

①.主流速度 $u_\infty \sim O(1)$ 主流速度比如為10m/s欣除，是一個大量，量級定義為O(1)

②.溫度 $t \sim O(1)$ 挪略，無論是壁面溫度历帚，流體溫度都是大量（工程中冷卻或加熱，不可能接近0K）

③.平板長度 $l \sim O(1)$ 杠娱，平板長度一般都不小

④.邊界層厚度 $\delta \sim O(\delta)$ 挽牢， $\delta_t \sim O(\delta)$ ,邊界層厚度為平板長度的1.8%,括號里面的delta表示小量，這也是邊界層厚度的符號用 $\delta$ 表示的原因

5個基本量的量綱確定摊求，現(xiàn)在來看其他量大小

①.x相對于l來說是相當(dāng)禽拔， $x \sim l\sim O(1)$ ; $0\leq y\leq \delta,\therefore y\sim O(\delta)$

$O(1),O(\delta)$ 表示數(shù)量級1和 $\delta,1>>\delta$ .

例：簡化-①二維②穩(wěn)態(tài)(與時間的偏微分為0)③強制對流（忽略浮升力）④層流⑤忽略重力加速度g(沒有體積力Fx和Fy)

u是沿著邊界層從0變化到u∞, $u\sim u\infty\sim O(1)$ 是個小量到大量，所以這里體現(xiàn)了不嚴格的地方

v是沿著y方向的速度睹簇，如果沒有y方向上的速度奏赘，流體就不會增厚（盡管很小寥闪，但是不是0）太惠，是一個小量

推導(dǎo)過程,連續(xù)性方程

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \therefore -\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}\sim \frac{u_\infty}{l}=\frac{O(1)}{O(1)}=1\\ \therefore -\frac{\partial v}{\partial y}\sim \frac{v}{O(\delta)}\sim O(1)\\ \therefore v\sim O(\delta)$

3.大部分的量的大小都有了，我們帶入微分方程組

①連續(xù)性方程疲憋，這兩個方向上的速度分量互相平衡凿渊，推出了v為小量

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \color{#00F}{\frac{1}{1}}~~~~~~\color{#00F}{\frac{\delta}{\delta}}~~~~~~~ \end{aligned}$

②x方向上u的動量方程,密度 $\rho$ 一般為大量， $\eta$ 為 $O(\delta ^2)$

注意二階偏導(dǎo)數(shù) $\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x})$ ,所以 $\frac{\partial u^2}{\partial x^2}\sim\frac{1}{1^2}$ ,同理 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\sim \frac{1}{\delta ^2}$

$\begin{aligned} \rho(\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(\frac{1}{1}~~~~~~~\delta\frac{1}\delta)~~~~~~~~?①~~~~?②(\frac{1}{1^2}~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}$

現(xiàn)在分析下兩個未知量級的量，根據(jù)牛頓定律埃脏，力產(chǎn)生加速度，等式右邊與左邊平衡彩掐。等市左邊是量級為O(1)的量构舟，因此等式右邊必須為O(1)

因此， $\frac{\partial p}{\partial x}必須\sim O(1) \therefore \frac{\partial p}{\partial x}\sim\frac{1}{1}$

同樣的道理堵幽， $\eta$ 乘以一個 $\frac{1}{\delta ^2}$ 的量為O(1)狗超，因此 $\eta \sim \delta^2$

$\begin{aligned} \rho(u \frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(1\frac{1}{1}~~~~~~~\delta\frac{1}\delta)~~~~~~~~\frac{1}{1}~~~~~~\delta^2(\frac{1}{1^2}~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}$

觀察 $\delta^2 \frac{1}{1^2}$ 是一個小量，因此上面的式子可以簡化一項

$\require{cancel} \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\cancel{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})$
$\therefore \color{#F00}{\rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\tag{1}$

③y方向上v的動量方程朴下，較為簡單

$\begin{aligned} \rho(u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(1\frac{\delta}{1}~~~~~~~\delta\frac{\delta}\delta)~~~~~~~~~~?①~~~\delta^2(\frac{\delta}{1^2}~~~~~\frac{\delta}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}$

分析上面的量級關(guān)系努咐，同樣由于平衡，等式左邊是 $O(\delta)$ 量級殴胧，所以 $\frac{\partial p}{\partial y}$ 也為 $O(\delta)$ 量級渗稍，整個方程平衡，都為小量团滥，y方向上的動量守恒方程直接整體省略

$\begin{aligned} \require{cancel} \color{#00F}{1(1\frac{\delta}{1}~~~~~~~~\delta\frac{\delta}\delta)~~~~~~~~~~~\delta~~~~~~~\delta^2(\frac{\delta}{1^2}~~~~~\frac{\delta}{\delta^2})~~~}\\ \cancel{\rho(u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})}\\ \end{aligned}$

④還剩下一個能量方程竿屹，空氣的比熱Cp為1005左右為大量，盡管密度很小灸姊，但是 $\rho\cdot c_p$ 為大量

$\begin{aligned} \lambda(\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2t}{\partial y^2})=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ \color{#00F}{\delta_t^2(\frac{1}{1^2}~~~~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~~~~~~~~~1(1\frac{1}{1}~~~~~\delta\frac{1}{\delta})~~~}\\ \end{aligned}$

觀察上式羔沙， $\frac{1}{1^2}$ 遠小于 $\frac{1}{\delta ^2}$ ，因此溫度隨x方向的二階偏微分可以省略

$\require{cancel} \cancel{\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ \therefore \color{#F00}{\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\tag{2}$

4.簡化后厨钻，我們把方程組寫出來扼雏，現(xiàn)在只有3個方程+1目標方程.

$\begin{cases} \color{#F0F}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F0F}{\rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F0F}{\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})}\\ \color{#F0F}{{h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}}} \end{cases}\tag{3}$

由于我們直接刪除了一個方程，上面的方程組4個夯膀，未知數(shù)5個（u,v,p,t,h）

還有一個方程去哪里補充诗充？注意到我們在推導(dǎo)y方向上壓力偏微分為小量，同時得到了一個信息诱建，壓力p沿著x方向變化蝴蜓，沿著y方向幾乎不變化,邊界層內(nèi)壓力與y無關(guān)，為主流壓力俺猿，需要推導(dǎo)新增壓力公式茎匠，如下：

$\require{cancel} \because \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\\ 在主流處，u\approx u_\infty,速度u在y方向無變化押袍，對y的偏導(dǎo)數(shù)全為0\\ \color{#F0F}{\frac{\partial p}{\partial y}\sim O(\delta)~~~~~~~~~\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{dp}{dx}\sim O(1)}\\ \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+\cancel{v\frac{\partial u}{\partial y}})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\cancel{\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\$
$\therefore -\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}\tag{3.5}$

注意 $\lambda=\rho\cdot a\cdot c_p,a=\frac{\lambda}{\rho c_p}$ 诵冒，同時運動粘度 $\nu=\eta /\rho$ ,方程組(3)加入(3.5)變形為如下

$\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}+\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{ -\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{4}$

6.平板流動模型下的方程組，壓力p為已知數(shù),四個未知數(shù)：u谊惭，v汽馋，t侮东，hx

$\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{5}$

方程組有兩個形式完全一樣,動量傳遞與熱量傳遞形式相似.再特殊一點， $\nu=a豹芯，\delta=\delta_t (Pr=1)$ 悄雅，速度場與無量綱的)溫度場一樣

課本上直接經(jīng)過無量綱化，得到動量方程于能量方程形式接近的比擬理論铁蹈，將求摩擦系數(shù)的公式類比求得對流換熱系數(shù)hx

5.無量綱化：無量綱的坐標X,Y;無量綱的壓力宽闲；無量綱的速度U,V;無量綱的過余溫度 $\Theta$

$X=\frac{x}{l};Y=\frac{y}{l};P=\frac{p}{\rho u^2_\infty};U=\frac{u}{u_\infty};V=\frac{v}{u_\infty};\Theta=\frac{t-t_w}{t_f-t_w}$
方程組（4.1）到（4.4）變形為：
$\begin{cases} \frac{\partial U}{\partial X}+\frac{\partial V}{\partial Y}=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(Re-雷諾數(shù))}\\ U\frac{\partial U}{\partial X}+V\frac{\partial U}{\partial Y}=-\frac{dP}{dX}+\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 U}{\partial Y^2}\\ U\frac{\partial \Theta}{\partial X}+V\frac{\partial \Theta}{\partial Y}=\frac{1}{Re\cdot Pr}\frac{\partial ^2 \Theta}{\partial Y^2}~~~~~~~~~~~~~~~\text{(Pr-普朗特數(shù)，運動粘度與熱擴散系數(shù)的比值)}\\ \end{cases}\tag{6}$

觀察上面的組合握牧，不知道如何解也能大概知道如下關(guān)系,dp/dx為已知數(shù)不是變量

$U=f_1(X,Y,Re);V=f_2(X,Y,Re);\\ \Theta=f_3(X,Y,U,V,Re,pr)=f_3(X,Y,Re,Pr)$

6.平板流動模型下的方程組便锨，壓力p為已知數(shù),四個未知數(shù)：u，v我碟，t放案，hx

現(xiàn)在方程組中(6.2)與（6.3）形式很接近，多了一項矫俺，思考該流動模型的物理原型-平板

平板流動下吱殉，主流方向速度不隨x變化(外掠圓管形成卡門渦街，東莞虎門大橋波浪震動;管內(nèi)流動)

$\because 平板模型u_\infty=const \therefore \frac{du_\infty}{dx}=0$
去掉壓力項厘托，未知數(shù)p也去掉友雳，方程組依然封閉
$\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{平板簡化}$

無量綱方程組順便簡化

$\begin{cases} \frac{\partial U}{\partial X}+\frac{\partial V}{\partial Y}=0\\ U\frac{\partial U}{\partial X}+V\frac{\partial U}{\partial Y}=\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 U}{\partial Y^2}\\ U\frac{\partial \Theta}{\partial X}+V\frac{\partial \Theta}{\partial Y}=\frac{1}{Re\cdot Pr}\frac{\partial ^2 \Theta}{\partial Y^2}\\ \end{cases}\tag{7}$

現(xiàn)在 $U,V,\Theta$ 的分布都是（0，1）,因此速度場接出來就可以類比得到溫度場下铅匹，然后解除換熱系數(shù)押赊。

完整推導(dǎo)過程不做要求

最后編輯于：2022.09.13 09:52:51

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個濱河市包斑，隨后出現(xiàn)的幾起案子流礁，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖罗丰，帶你破解...
沈念sama閱讀 211,639評論 6贊 492
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件神帅，死亡現(xiàn)場離奇詭異，居然都是意外死亡萌抵，警方通過查閱死者的電腦和手機找御，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 90,277評論 3贊 385
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進店門，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來绍填，“玉大人霎桅，你說我怎么就攤上這事√钟溃” “怎么了滔驶？”我有些...
開封第一講書人閱讀 157,221評論 0贊 348
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長住闯。經(jīng)常有香客問我瓜浸，道長澳淑，這世上最難降的妖魔是什么比原？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 56,474評論 1贊 283
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任插佛，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上量窘，老公的妹妹穿的比我還像新娘雇寇。我一直安慰自己，他們只是感情好蚌铜，可當(dāng)我...
茶點故事閱讀 65,570評論 6贊 386
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布锨侯。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般冬殃。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪囚痴。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 49,816評論 1贊 290
城市分裂傳說
那天审葬，我揣著相機與錄音深滚，去河邊找鬼。笑死涣觉，一個胖子當(dāng)著我的面吹牛痴荐，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播官册，決...
沈念sama閱讀 38,957評論 3贊 408
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼生兆，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼！你這毒婦竟也來了膝宁？” 一聲冷哼從身側(cè)響起鸦难，我...
開封第一講書人閱讀 37,718評論 0贊 266
萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎员淫，沒想到半個月后明刷，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體，經(jīng)...
沈念sama閱讀 44,176評論 1贊 303
?護林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡满粗，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點故事閱讀 36,511評論 2贊 327
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年辈末，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了。大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片映皆。...
茶點故事閱讀 38,646評論 1贊 340
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡挤聘，死狀恐怖，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出捅彻，到底是詐尸還是另有隱情组去，我是刑警寧澤，帶...
沈念sama閱讀 34,322評論 4贊 330
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布步淹，位于F島的核電站从隆，受9級特大地震影響诚撵，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜键闺，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 39,934評論 3贊 313
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一寿烟、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧辛燥，春花似錦筛武、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,755評論 0贊 21
一樁弒父案徘六，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽。三九已至榴都，卻和暖如春待锈，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間，已是汗流浹背嘴高。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 31,987評論 1贊 266
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工竿音，沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道東北人阳惹。一個月前我還...
沈念sama閱讀 46,358評論 2贊 360
代替公主和親
正文我出身青樓谍失，卻偏偏與公主長得像，于是被迫代替她去往敵國和親莹汤。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子快鱼，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點故事閱讀 43,514評論 2贊 348

5.1對流微分方程組的精確解（假設(shè)過程不精確宇挫，解方程精確）

1.方程組如下

在只有重力場的作用下器瘪，體積力

流動邊界層和熱邊界層的狀況決定了熱傳遞過程和邊界層內(nèi)溫度分布

2.采用邊界層理論分析數(shù)量級大小，對偏微分方程組進行簡化

數(shù)量級分析：保留量級較大的量绘雁，舍去量級較小的量

取五個基本量來定義量級

①.主流速度主流速度比如為10m/s欣除，是一個大量，量級定義為O(1)

②.溫度挪略，無論是壁面溫度历帚，流體溫度都是大量（工程中冷卻或加熱，不可能接近0K）

③.平板長度杠娱，平板長度一般都不小

④.邊界層厚度挽牢，,邊界層厚度為平板長度的1.8%,括號里面的delta表示小量，這也是邊界層厚度的符號用表示的原因