有心力問題（12）：二體散射問題——質(zhì)心與實驗室參考系的變換

散射問題通常屬于二體問題麻惶，但與之前的一體問題的約化不同，散射問題中從實驗室參考系到質(zhì)心系的轉(zhuǎn)換并非簡單的將粒子質(zhì)量 $m$ 替換為約化質(zhì)量 $\mu$ 那么簡單猜扮。

$\bullet$ 在有心力問題（11）中淮腾，我們將二體散射問題約化為了一體體系，所以使用的實際是質(zhì)心參考系坚芜。

（1）對于質(zhì)心參考系览芳，散射角度 $\Theta$ 是入射粒子和目標(biāo)粒子的初始相對矢量與散射后的最終相對矢量之間的夾角。

（2）在實驗室參考系中鸿竖，散射角度 $\vartheta$ 被定義為在實驗系坐標(biāo)下散射粒子的入射速度方向與散射速度方向的夾角沧竟。

$\bullet$ 角度 $\Theta$ 與 $\vartheta$ 通常不相等，所以從質(zhì)心參考系下的等效一體散射問題并不能直接得到實驗室參考系的散射角度 $\vartheta$ 缚忧。只有當(dāng)?shù)诙€粒子在碰撞前后始終處于靜止?fàn)顟B(tài)悟泵，兩個角度才相等。

$\bullet$ 考慮質(zhì)心參考系下的散射闪水，

根據(jù)質(zhì)心的定義魁袜， $\mathbf{R} = \frac{\sum_i m_i\mathbf{r}_i}{\sum_i m_i}$ ，將坐標(biāo)系放在質(zhì)心

$\sum_i m_i\mathbf{r}_i = \mathbf{0} \implies \sum_i \mathbf{p}_i = \mathbf{0}$

線動量之和為零，兩粒子總是以等大反向的線動量運動峰弹。所以如下圖所示店量，在質(zhì)心參考系中，散射后的兩粒子必然以完全相反的方式遠(yuǎn)離彼此鞠呈，這時融师，對于粒子雙方，散射角度都是相同的蚁吝。

$\bullet$ 角度 $\Theta$ 與 $\vartheta$ 之間的關(guān)系可通過考慮從質(zhì)心系到實驗室系的變換得到旱爆。但在此之前，我們首先需要引入幾個有用的量：

1）在實驗室參考系下入射粒子 $m_1$ 的位置矢量 $\mathbf{r}_1$ 和其速度矢量 $\mathbf{v}_1$ 窘茁。

2）在質(zhì)心參考系下入射粒子 $m_1$ 的位置矢量 $\mathbf{r}^{\prime}_1$ 和其速度矢量 $\mathbf{v}^{\prime}_1$ 怀伦。

3）在實驗室參考系下的質(zhì)心矢量 $\mathbf{R}$ 和其速度矢量 $\mathbf{V}$ 。

若質(zhì)心速度矢量與入射粒子的初始速度矢量平行山林，它們的幾何關(guān)系則如下圖所示：

根據(jù)定義房待，

$\mathbf{r}_1 = \mathbf{R} + \mathbf{r}_1^{\prime}$

$\mathbf{v}_1 = \mathbf{V} + \mathbf{v}_1^{\prime}$

在實驗室參考系下，如果目標(biāo)粒子處于靜止驼抹，而入射粒子具有初速度 $v_0$ 桑孩，那么入射粒子在質(zhì)心參考系將同樣具有初速度 $v_0$ 。

由于線動量守恒框冀，有

$m_1 v_0 = (m_1 + m_2)V$ 流椒，約化質(zhì)量 $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ ，所以有 $\boxed{V = \frac{\mu}{m_2}v_0}$

根據(jù)上圖明也，可以得到幾何關(guān)系：

$v_1\sin\vartheta = v_1^{\prime}\sin\Theta$

$v_1\cos\vartheta = v_1^{\prime}\cos\Theta + V = v_1^{\prime}\cos\Theta + \frac{\mu}{m_2}v_0$

于是

$\tan\vartheta = \frac{v_1^{\prime}\sin\Theta}{v_1^{\prime} \cos\Theta + (\mu/m_2)v_0 }$

利用定義 $\rho \equiv \frac{\mu}{m_2 }\frac{v_0}{v_1^{\prime}}$ 宣虾，可以得到：

$\boxed{\tan\vartheta = \frac{\sin\Theta}{\cos\Theta + \rho}}$

要得到另一個角度之間關(guān)系，需要先將圖中矢量 $\mathbf{v}_1$ 向左平移至與矢量 $\mathbf{V}$ 的末尾相接温数，然后新構(gòu)成的外接三角形中使用余弦定理：

$\begin{align*}v_1^2 &= (v_1^{\prime})^2 + V^2 - 2v_1^{\prime}V\cos(\pi - \Theta)\\&= (v^{\prime}_1)^2 + V^2 + 2v_1^{\prime}V\cos\Theta\end{align*}$

然后利用這四個已得的重要關(guān)系式：

1） $V = \frac{\mu}{m_2}v_0$

2） $v_1\cos\vartheta = v_1^{\prime}\cos\Theta + \frac{\mu}{m_2} v_0$

3） $\rho = \frac{\mu}{m_2}\frac{v_0}{v_1^{\prime}}$

4） $v_1^2 = (v^{\prime}_1)^2 + V^2 + 2v_1^{\prime}V\cos\Theta$

首先解關(guān)系2）中的 $\cos\vartheta$ ：

$\cos\vartheta = \frac{v_1^{\prime}}{v_1}\cos\Theta + \frac{\mu }{m_2 }\frac{v_0}{v_1}$

將關(guān)系1）代入關(guān)系4）绣硝，求解：

$\begin{align*}v_1 &= \sqrt{(v_1^{\prime})^2 + \left(\frac{\mu}{m_2}\right)^2v_0^2 + 2v_1^{\prime} \frac{\mu}{m_2} v_0 \cos\Theta}\\&= v_1^{\prime}\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}\end{align*}$

$\implies \frac{v_1^{\prime}}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}}$

再代入上一步即可得到第二個角度關(guān)系：

$\boxed{\cos\vartheta = \frac{\cos\Theta + \rho}{\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}}}$

$\bullet$ 從上面得到的兩個關(guān)系都含有比例系數(shù) $\rho$ ，根據(jù)質(zhì)心的定義

$\mathbf{R} = \frac{m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}$

質(zhì)心系和實驗室系的變換為： $\mathbf{r}_1^{\prime} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{R}$

而 $\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2$

有 $\mathbf{R} = \frac{m_1(\mathbf{r} + \mathbf{r}_2) + m_2\mathbf{r}_2}{m_1 + m_2} \implies \mathbf{R} = \mathbf{r}_2 + \frac{m_1}{m_1 + m_2 }\mathbf{r}$

代入變換方程：

$\mathbf{r}_1^{\prime} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 - \frac{m_1}{m_1 + m_2}\mathbf{r} = \frac{m_2}{m_1 + m_2 }$

$\implies \boxed{r_1^{\prime} = \frac{\mu}{m_1}r}$

速度：

$\boxed{v_1^{\prime} = \frac{\mu}{m_1}v}$

所以系數(shù)

$\rho = \frac{\mu}{m_2 }\frac{v_0}{v_1^{\prime} } = \boxed{\frac{m_1}{m_2} \frac{v_0}{v}}$

其中“ $v$ ”是碰撞后兩個粒子的相對速率帆吻。

$\bullet$ 對于彈性碰撞，如果不管是在質(zhì)心系還是實驗室系咙边，第二個微粒在碰撞前都保持靜止猜煮，入射粒子的初始速度將等于碰撞后兩粒子的相對速度，即 $v_0 = v$ 败许。

所以對于彈性碰撞(elastic collision):

$\boxed{\rho = \frac{m_1}{m_2}}$

系數(shù)將完全不依賴粒子的速度或是能量王带。

$\bullet$ 對于非彈性碰撞，粒子的部分動能將轉(zhuǎn)化為自身內(nèi)部的激發(fā)能市殷。然而愕撰，如果算上這一部分轉(zhuǎn)化的能量，總能量和線動量依然守恒：

$\frac{\mu v^2 }{2} = \frac{\mu v_0^2 }{2} + Q$

$Q$ 是非彈性碰撞的Q值(Q value of inelastic collision)，它在大小上是個負(fù)數(shù)搞挣。

于是比值

$\frac{v}{v_0} = \sqrt{1 + \frac{m_1 + m_2}{m_2}\frac{Q}{E}}$

其中 $E = \frac{1}{2}m_1v_0^2$ 带迟，是入射粒子所具有的能量。

所以囱桨，對于非彈性碰撞(inelastic collision)：

$\boxed{\rho = \frac{m_1}{m_2}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{m_1 + m_2}{m_2 }\frac{Q}{E}}}}$

$\bullet$ 微分截面的值則取決于 $\sigma$ 與角度的依賴關(guān)系仓犬。截面 $\sigma(\vartheta)$ 與截面 $\sigma(\Theta)$ 的函數(shù)關(guān)系可根據(jù)下面的關(guān)系得到：

$2\pi\sigma(\Theta)\sin\Theta\left|d\Theta\right|I = 2\pi\sigma^{\prime}(\vartheta)\sin\vartheta\left|d\vartheta\right|I$

即不管使用角度 $\Theta$ 還是 $\vartheta$ 進(jìn)行測量，散射進(jìn)入某個確定方向的立體角的粒子個數(shù)都應(yīng)相等舍肠。

于是

$\sigma^{\prime}(\vartheta) =\sigma(\Theta)\frac{\sin\Theta}{\sin\vartheta}\left|\frac{d\Theta}{d\vartheta}\right| =\sigma(\Theta)\left|\frac{d\cos\Theta}{d\cos\vartheta}\right|$

從之前得到的兩角度余弦值的關(guān)系：

$\cos\vartheta = \frac{\cos\Theta + \rho}{\sqrt{1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta}}$

可以得到

$\left|\frac{d\cos\Theta}{d\cos\vartheta}\right| = \frac{(1 + 2\rho\cos\Theta + \rho^2)^{3/2}}{1 + \rho\cos\Theta}$

$\implies \boxed{\sigma^{\prime}(\vartheta) = \sigma(\Theta)\frac{(1 + 2\rho\cos\Theta + \rho^2)^{3/2}}{1 + \rho\cos\Theta}}$

該表達(dá)式中的兩個角度均是在實驗室參考系測量搀继。

$\bullet$ 當(dāng)粒子的質(zhì)量相等時（ $\rho = 1$ ），散射角度將呈現(xiàn)一個尤其簡單的關(guān)系：

$\cos\vartheta = \frac{\cos\Theta +1}{\sqrt{2 + 2\cos\Theta}} = \sqrt{\frac{1 + \cos\Theta}{2}} = \cos\frac{\Theta}{2}$

$\implies \boxed{\vartheta = \frac{\Theta}{2}\quad (\rho = 1)}$

可見翠语，此時在實驗室參考系下的散射角 $\vartheta$ 不能大于 $\frac{\pi}{2}$ 叽躯，所有的散射均位于前方的半球內(nèi)。

相應(yīng)的兩個散射截面的關(guān)系為：

$\sigma^{\prime}(\vartheta) = \sigma(\Theta) \cdot \frac{(2 + 2\cos\Theta)^{3/2}}{1 + \cos\Theta} = 4\cos\vartheta \cdot \sigma(\Theta), \quad \vartheta = \frac{\Theta}{2}\le \frac{\pi}{2}$

如果此時的散射具有各向同性（不依賴 $\Theta$ ）肌括，微分截面 $\sigma^{\prime}(\vartheta)$ 關(guān)于散射角 $\vartheta$ 的變化情況將與余弦函數(shù)一至点骑。

$\bullet$ 當(dāng)目標(biāo)粒子的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于入射粒子時（ $m_2 >\!> m_1$ ）， $\rho \approx 0$ 们童，則 $\sigma^{\prime}(\vartheta) \approx \sigma(\Theta)$ 畔况。

$\bullet$ 即便是彈性碰撞的情況，雖然線動量和能量守恒慧库，仍然存在能量轉(zhuǎn)移的過程跷跪。與一個初始靜止的目標(biāo)粒子的碰撞將導(dǎo)致入射粒子所攜帶的能量減少。

能量的減少程度可通過下列關(guān)系推導(dǎo)：

1） $v_1^2 = (v_1^{\prime})^2 + V^2 + 2v_1^{\prime}V\cos\Theta$

2） $V = \frac{\mu}{m_2}v_0$

3） $v_1^{\prime} = \frac{\mu}{m_1}v$

4） $\rho = \frac{\mu}{m_2 }\frac{v_0}{v_1^{\prime} } = \frac{m_1}{m_2}\frac{v_0}{v}$

一些代數(shù)操作后可以得到：

$\boxed{\frac{v_1^2}{v_0^2} = \left(\frac{\mu}{m_2\rho}\right)^2(1 + \rho^2 + 2\rho\cos\Theta )}$

$\bullet$ 對于彈性碰撞齐板， $\rho = \frac{m_1}{m_2}$ 吵瞻，上述關(guān)系可被進(jìn)一步寫為：

$\begin{align*}\frac{(1/2) mv_1^2}{(1/2)mv_0^2 } &= \frac{E_1}{E_0} = \left(\frac{\mu}{m_1}\right)^2\left[1 + \left(\frac{m_1}{m_2}\right)^2 + 2\frac{m_1}{m_2}\cos\Theta \right]\\&= \frac{1 + 2\rho\cos\Theta + \rho^2}{(1 + \rho)^2}\end{align*}$

其中 $E_0$ 是入射粒子的初始能量， $E_1$ 是入射粒子碰撞之后的能量甘磨。

若發(fā)生碰撞的兩粒子質(zhì)量相等（ $m_1 = m_2$ ）橡羞，則有

$\frac{E_1}{E_0} = \frac{1 + \cos\Theta }{2} = \cos\vartheta$

在最大散射角度 $\vartheta = \frac{\pi}{2},\quad \Theta = \pi$

$\frac{E_1}{E_0} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$

在實驗室系，入射粒子將會失去所有能量济舆，從而被完全停止下來卿泽。

$\bullet$ 散射過程中導(dǎo)致的動能轉(zhuǎn)移是熱中子反應(yīng)堆中減速劑(moderator)的基本原理。我們知道滋觉，由核裂變產(chǎn)生的高能中子在進(jìn)行數(shù)次連續(xù)碰撞后签夭，動能會被減少為單純的熱能，此時的中子才更容易在反應(yīng)鏈中繼續(xù)裂變而不至于被其他核子捕獲椎侠。根據(jù)剛才的關(guān)系式第租，為了完全將中子阻止，減速劑中的元素該是越輕越有效的我纪，所以人們很自然地考慮到了氫元素慎宾。在一般的實驗室里丐吓，氫很難作為單質(zhì)被作為減速劑使用，所以人們常常使用的是含有氫元素的混合物或者化合物趟据。比如最常見的水券犁，就是比較良好的中子減速劑。

最后編輯于：2020.02.05 09:46:28

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末之宿，一起剝皮案震驚了整個濱河市族操，隨后出現(xiàn)的幾起案子，更是在濱河造成了極大的恐慌比被，老刑警劉巖色难，帶你破解...
沈念sama閱讀 212,542評論 6贊 493
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件，死亡現(xiàn)場離奇詭異等缀，居然都是意外死亡枷莉，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 90,596評論 3贊 385
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門尺迂，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來笤妙，“玉大人，你說我怎么就攤上這事噪裕《着蹋” “怎么了？”我有些...
開封第一講書人閱讀 158,021評論 0贊 348
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵膳音，是天一觀的道長召衔。經(jīng)常有香客問我，道長祭陷，這世上最難降的妖魔是什么苍凛？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 56,682評論 1贊 284
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任，我火速辦了婚禮兵志，結(jié)果婚禮上醇蝴，老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己想罕，他們只是感情好悠栓，可當(dāng)我...
茶點故事閱讀 65,792評論 6贊 386
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布。她就那樣靜靜地躺著按价，像睡著了一般惭适。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上俘枫，一...
開封第一講書人閱讀 49,985評論 1贊 291
城市分裂傳說
那天腥沽，我揣著相機(jī)與錄音逮走，去河邊找鬼鸠蚪。笑死，一個胖子當(dāng)著我的面吹牛，可吹牛的內(nèi)容都是我干的茅信。我是一名探鬼主播盾舌，決...
沈念sama閱讀 39,107評論 3贊 410
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼，長吁一口氣：“原來是場噩夢啊……” “哼蘸鲸！你這毒婦竟也來了妖谴？” 一聲冷哼從身側(cè)響起，我...
開封第一講書人閱讀 37,845評論 0贊 268
萬榮殺人案實錄
序言：老撾萬榮一對情侶失蹤酌摇，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎膝舅，沒想到半個月后，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體窑多，經(jīng)...
沈念sama閱讀 44,299評論 1贊 303
?護(hù)林員之死
正文獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡仍稀，尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點故事閱讀 36,612評論 2贊 327
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年，在試婚紗的時候發(fā)現(xiàn)自己被綠了埂息。大學(xué)時的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片技潘。...
茶點故事閱讀 38,747評論 1贊 341
活死人
序言：一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡，死狀恐怖千康，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出享幽，到底是詐尸還是另有隱情，我是刑警寧澤拾弃，帶...
沈念sama閱讀 34,441評論 4贊 333
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布值桩，位于F島的核電站，受9級特大地震影響砸彬，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏颠毙。R本人自食惡果不足惜，卻給世界環(huán)境...
茶點故事閱讀 40,072評論 3贊 317
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一砂碉、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望蛀蜜。院中可真熱鬧，春花似錦增蹭、人聲如沸滴某。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 30,828評論 0贊 21
一樁弒父案滋迈，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽霎奢。三九已至，卻和暖如春饼灿，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間幕侠，已是汗流浹背。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 32,069評論 1贊 267
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工碍彭，沒想到剛下飛機(jī)就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留晤硕，地道東北人悼潭。一個月前我還...
沈念sama閱讀 46,545評論 2贊 362
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長得像舞箍，于是被迫代替她去往敵國和親舰褪。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點故事閱讀 43,658評論 2贊 350

有心力問題（12）：二體散射問題——質(zhì)心與實驗室參考系的變換

散射問題通常屬于二體問題麻惶，但與之前的一體問題的約化不同，散射問題中從實驗室參考系到質(zhì)心系的轉(zhuǎn)換并非簡單的將粒子質(zhì)量替換為約化質(zhì)量那么簡單猜扮。

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容

散射問題通常屬于二體問題麻惶，但與之前的一體問題的約化不同，散射問題中從實驗室參考系到質(zhì)心系的轉(zhuǎn)換并非簡單的將粒子質(zhì)量 $m$ 替換為約化質(zhì)量 $\mu$ 那么簡單猜扮。