什么是自然數(shù)酗捌？
你可能會(huì)被小孩問(wèn)：姐姐呢诬，什么是自然數(shù)涌哲？
妳告訴他，自然數(shù)就是0,1,2,3,4,5.... 不斷地?cái)?shù)下去尚镰，數(shù)到無(wú)窮大膛虫。
小孩說(shuō)：哦，是這樣钓猬。
這種不嚴(yán)格化的定義稍刀，已經(jīng)可以讓我們大概地辨認(rèn)以下的數(shù)系，它看起來(lái)像自然數(shù)敞曹，但又好像不是：
- 例子1： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5.... 想象一個(gè)神經(jīng)病飯后一直在數(shù)自己左手的手指账月，每當(dāng)數(shù)完一次他會(huì)激動(dòng)地拍一下手，代表他又歸于零澳迫，重頭開始數(shù)局齿。
- 例子2： 0, 1, 2, 3,4, 5,6,7,8,9.... 65531,65532,65533,65534, 65535, 0, 1,2...
- 例子3： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,1,2,3 另一個(gè)神經(jīng)病數(shù)腳指頭，但他數(shù)到頭之后他從1繼續(xù)橄登。
- 例子4：0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5, 10, ....
我們看見(jiàn)例子1抓歼，例子3，我們說(shuō)這只是自然數(shù)的一部分拢锹，它不是自然數(shù)谣妻，畢竟，少量的東西你可以拿手指比卒稳，要說(shuō)清楚腳毛有多少的話蹋半，手指明顯是不夠的；
例子2 是一個(gè)計(jì)算機(jī)內(nèi)存字長(zhǎng)表示的非負(fù)整數(shù)的范圍充坑，如果規(guī)定槽位就是16字長(zhǎng)减江，你說(shuō)這也不能算是自然數(shù)系，還有比65535更大的數(shù)捻爷。
對(duì)于例4辈灼，這個(gè)太奇怪了，我們忽略 x.5的所有數(shù)也榄，這個(gè)數(shù)系也能一直數(shù)下去巡莹，但是，那些 x.5 好像對(duì)于我們數(shù)數(shù)沒(méi)有任何幫助手蝎，似乎是多余的東西榕莺。
自然數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)有嚴(yán)格的公理化定義。
以下兩條公理符合人類最直觀的觀念（雖然符號(hào)0的出現(xiàn)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史進(jìn)程,但我們的語(yǔ)言里很早就有類似”無(wú)“棵介，”空“之類的概念）
公理1. 0是自然數(shù) ——首先钉鸯，自然數(shù)里面得有一個(gè) 0 ，現(xiàn)實(shí)世界充滿了很多從無(wú)到有的模型邮辽，況且在我們有限的視界里唠雕，好像萬(wàn)物總得有個(gè)起始點(diǎn)贸营；
公理2. 如果n是自然數(shù)，那么n++（n的后繼) 也是自然數(shù)
運(yùn)用這兩條公理岩睁，我們可以將數(shù)字不斷地?cái)?shù)下去钞脂，欠缺的是一個(gè)數(shù)字表示法，中國(guó)人用 “一”表示0的后繼(0++), 羅馬人的0++是“I”（這只是一個(gè)符號(hào)）捕儒，然后用 ‘2’表示 1++冰啃，‘3’表示 (1++)++。當(dāng)然我們最熟悉的記號(hào)是阿拉伯?dāng)?shù)字 ‘1’ 刘莹。從符號(hào)的角度阎毅，爭(zhēng)論 0 是不是自然數(shù)意義不大，在公理化的體系中点弯， 0 代表的只是自然數(shù)的“起點(diǎn)”扇调，用 1 來(lái)表示也不影響其基本的性質(zhì)。
經(jīng)過(guò)一些初等數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人會(huì)知道抢肛，阿拉伯?dāng)?shù)字可以表示非常大的數(shù)字狼钮，對(duì)于量級(jí)的增加只要不斷在原有的數(shù)字后面加 0 就可以。
100000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000
這是一個(gè)天文數(shù)字捡絮，1后面有99個(gè)0熬芜，現(xiàn)在我們有更簡(jiǎn)便的記號(hào)，其意思頗有人類語(yǔ)言的意思(對(duì)這么多0的數(shù)字锦援，我們不會(huì)傻呵呵地念yi ling ling ... 念99遍猛蔽，我們會(huì)說(shuō)，1后面跟著有99個(gè)0）——1×10e99
例子 2 可以看到灵寺，計(jì)算機(jī)體系里的整數(shù)和自然數(shù)不是對(duì)應(yīng)的，我們知道 C++ 的整型区岗，無(wú)論是短整型略板，還是 32 位整型，還是 64 位長(zhǎng)整型慈缔，不斷地自增叮称，計(jì)算其后繼，它終究總是會(huì)溢出藐鹤，然后可能就要回到起點(diǎn)瓤檐，設(shè)想一個(gè) 32 槽的位置上填滿了 1，這個(gè)數(shù)的后繼應(yīng)該如何表示——你想讓它繼續(xù)保持自然數(shù)可以不斷數(shù)下去的特征娱节，必須要加一個(gè)槽挠蛉，33 位，但是無(wú)論多少位肄满，我們總是會(huì)填滿谴古，填滿之后又要加槽质涛，否則數(shù)字就會(huì)回歸。
歷史上確實(shí)也有過(guò) 15 位掰担，24 位汇陆，48 位這種計(jì)算機(jī)(2 的冪次位的優(yōu)勢(shì)在于尋址可以快速進(jìn)行移位運(yùn)算, 所以基本上現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)機(jī)器字長(zhǎng)都是被設(shè)計(jì)成了 2 的冪次家族了)，這個(gè)位數(shù)代表你打算放多少個(gè)槽來(lái)裝數(shù)带饱，槽位有限毡代，表示的數(shù)的范圍就必定有限。就像十進(jìn)制勺疼，一旦規(guī)定了位數(shù)教寂，它的最大數(shù)我們就知道了。
工程實(shí)踐中恢口，我們不能一直把槽位擴(kuò)充下去孝宗，但是誰(shuí)也無(wú)法預(yù)料人類到底會(huì)用多大槽，總是對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的現(xiàn)實(shí)模型耕肩，而理論不能允許任何模型產(chǎn)生不自恰因妇，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)采用 2 的冪次來(lái)界限整數(shù)，它在內(nèi)存中對(duì)整數(shù)的表示總是有限的猿诸。如果只有上面的兩條公理婚被，我們會(huì)特別地得到一個(gè)跟計(jì)算機(jī)類似的自然數(shù)模型：數(shù)著數(shù)著會(huì)數(shù)回 0，16 位內(nèi)存整型數(shù) 65535 的后繼是 0梳虽，這個(gè) 0 到 65535 的數(shù)字系統(tǒng)完全符合這兩條公理——可見(jiàn)這個(gè)定義還是不夠嚴(yán)格的址芯。
所以為了讓自然數(shù)能有更加抽象、通用窜觉、嚴(yán)格的定義谷炸，必須補(bǔ)充一個(gè)特性，不能讓它數(shù)著數(shù)著就數(shù)回起點(diǎn)——這該怎么說(shuō)禀挫？
第三條公理：
3. 0 不是任何自然數(shù)的后繼旬陡。
這樣的話。保證了數(shù)字不會(huì)數(shù)回 0 语婴，但是還是不夠描孟，它還能數(shù)到一個(gè)非0的自然數(shù)起點(diǎn)。
設(shè)想一個(gè)單鏈表砰左，一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)自然數(shù)匿醒，如果只有公理1-3，可以構(gòu)造一種可能的奇怪?jǐn)?shù)系是這樣的：
0->1->2->3->4->5->6->7->8->9->1
所以為了避免這種不好的情況缠导，于是有第四條公理:
4. 不同的自然數(shù)的后繼不相同廉羔。
上面的數(shù)系不滿足第四條公理，因?yàn)?0 和 9 的后繼都是 1酬核。
看上去公理 1 到公理 4大致上可以描述我們腦海中自然數(shù)的樣子蜜另，只是對(duì)于例子 4适室，這組奇怪的數(shù)字，竟然也滿足四條公理——我們還需要一條規(guī)則將這種“病態(tài)”的例子排除在外
我們不能這樣說(shuō)：自然數(shù)不含小數(shù)举瑰，或者不含有理數(shù)捣辆，實(shí)數(shù)，其他數(shù)此迅。
為什么汽畴？
雖然公理化定義數(shù)系是最近一百多年的事情，1889 年耸序，皮亞諾在《用一種新方法陳述的算術(shù)原理》 Arithmetices principia: nova methodo expostita 對(duì)自然數(shù)進(jìn)行公理化定義時(shí)忍些，自然數(shù)的模糊概念已經(jīng)在人們的腦海中存在了幾千年，這個(gè)時(shí)間點(diǎn)雖然有理數(shù)坎怪，實(shí)數(shù)罢坝，復(fù)數(shù)也已經(jīng)出現(xiàn)，但它們上沒(méi)有類似的公理化定義搅窿，因此在這個(gè)算數(shù)系統(tǒng)中嘁酿，實(shí)數(shù)，整數(shù)男应，有理數(shù)闹司，復(fù)數(shù)都是屬于尚未定義的對(duì)象。
也許小孩會(huì)問(wèn)沐飘，姐姐游桩，既然不能用尚未定義的東西做定義，那么可以用尚未定義的東西構(gòu)造反例嗎耐朴？
例子 4 使用了實(shí)數(shù)借卧。對(duì)于這一點(diǎn)，確實(shí)是這樣筛峭，這些“雜質(zhì)”元素必須先定義谓娃，例子 4 才是完整正式的。然而非正式的例子已經(jīng)足以啟示我們蜒滩，公理1-公理4不能保證自然數(shù)的“純凈”, 一旦將來(lái)其它雜質(zhì)數(shù)系被構(gòu)建，例子4的存在終將使這個(gè)不完善的系統(tǒng)遭遇打擊奶稠。
第五條公理的提煉是很困難的俯艰。
我們還是直接介紹它：
公理5 . (數(shù)學(xué)歸納原理)
有一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的性質(zhì) P，如果 P(0) 成立锌订，如果能夠從 P(n) 成立推導(dǎo)出 P(n++) 成立竹握，那么性質(zhì) P對(duì)所有的自然數(shù) n 都成立。
這個(gè)原理能夠保證自然數(shù)的純凈度辆飘。為什么呢啦辐？
利用這個(gè)公理谓传，我們可以羅列出 P(0), P(1), P(2), P(3),...,都是成立的，但是無(wú)法斷定 P(0.5) 成立芹关，我們說(shuō)性質(zhì) P(0), P(1),..., P(n),... 這堆不斷生成的性質(zhì)成立即是對(duì)所有自然數(shù)成立续挟，意味著在這個(gè)陳述里我們排除了一些雜質(zhì)元素。說(shuō)起來(lái)好像有點(diǎn)語(yǔ)言學(xué)和邏輯學(xué)學(xué)的味道侥衬。
有限和無(wú)限
什么是有限诗祸，什么是無(wú)限
我寫下有限和無(wú)限的時(shí)候，它們首先是一組語(yǔ)言詞匯轴总，語(yǔ)言是人類頭腦中某種“概念”的表達(dá)直颅，同樣地，在英文里也有 infinite 和 finite 對(duì)應(yīng)的詞匯怀樟。
讓我們?cè)O(shè)想一下功偿，有一個(gè)流氓的獨(dú)裁者規(guī)定，從今往后往堡，中文的有字要改成無(wú)字械荷，違抗者斬，這就導(dǎo)致我們的教科書里不得不說(shuō) 1 是無(wú)限的投蝉。 碰巧一個(gè)頗通圣意的翻譯官养葵，他把 finite 翻譯成了無(wú)限，infinite 翻譯成有限瘩缆，這樣一來(lái)关拒，外國(guó)人和中國(guó)人溝通起來(lái)好像沒(méi)什么不對(duì)勁。
英國(guó)小學(xué)生：1 是 finite 的庸娱， 不斷數(shù)下去會(huì)趨向 infinite...
翻譯: 1 是無(wú)限的着绊，不斷數(shù)下去會(huì)趨向有限
中國(guó)小學(xué)生： 廢話，不僅是 1 是無(wú)限的熟尉，2 也是無(wú)限的归露，3 也是無(wú)限的，雖然自然數(shù)有有限個(gè)斤儿，但是每個(gè)自然數(shù)都是無(wú)限的
英國(guó)小學(xué)點(diǎn)頭稱是剧包。
日常生活中，我們會(huì)把 1 這樣的數(shù)叫做“有限”的往果，“2”也是有限的疆液，“0”也是有限的，我們也會(huì)說(shuō)自然數(shù)是數(shù)不完的陕贮，總是有更大的數(shù)堕油。
這樣想象一下，無(wú)限與有限的稱謂只是用于刻畫某種現(xiàn)實(shí)對(duì)象的詞匯。我們說(shuō) 1 是有限的掉缺，是在描述 1 的固有的特征卜录，而它在詞語(yǔ)里到底是被稱作無(wú)限還是infinite，并無(wú)關(guān)系眶明。獨(dú)裁者的妄為即使得逞艰毒，他對(duì)數(shù)學(xué)大廈的基石也不會(huì)有絲毫動(dòng)搖。
拋棄語(yǔ)言之義赘来，我們回到自然數(shù)本身现喳，用我們通常理解的有限的意義去理解自然數(shù)的有限，有限實(shí)際上刻畫的是數(shù)本身的存在犬辰，只要我們能實(shí)際表出一個(gè)自然數(shù)嗦篱，它就是存在的。有人學(xué)過(guò)微積分幌缝，可能會(huì)說(shuō)無(wú)限也可以用符號(hào) ∞ 表示出來(lái)灸促，它難道不是自然數(shù)？ —— 你無(wú)法在上文中定義的自然數(shù)體系里說(shuō)清楚涵卵，這個(gè)美麗的 ∞ 符號(hào)到底是誰(shuí)的后繼浴栽，∞ -- ？ 假設(shè)你定義的減減號(hào)是指自然數(shù)的前繼轿偎，經(jīng)過(guò)一番推理論證典鸡，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果硬要說(shuō) ∞ 這個(gè)符號(hào)代表一個(gè)自然數(shù)的話坏晦，它還是和某個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示的自然數(shù)等價(jià)—— 我們姑且把這種"存在"就稱作有限萝玷。
所有自然數(shù)都是有限的。
對(duì)于這一點(diǎn)昆婿，可以用數(shù)學(xué)歸納原理來(lái)推理球碉。
我們知道 0 是有限的，如果自然數(shù) n 也是有限的仓蛆， n + 1可被表示出來(lái)睁冬，它也是有限的，根據(jù)公理5看疙，所有自然數(shù)都是有限的豆拨。
與有限對(duì)應(yīng)的是無(wú)限。無(wú)限不是自然數(shù)能庆，因?yàn)槊總€(gè)自然數(shù)都是有限的辽装。
理解無(wú)限，我們或許要說(shuō)一說(shuō)集合的基數(shù)才行相味。不正式的說(shuō)，集合是一些不同的個(gè)體湊在一起組成的對(duì)象殉挽，比如自然數(shù) 1 和 2 湊在一起丰涉，組成集合 {1, 2} , 集合包含 ?拓巧， 集合里的元素個(gè)數(shù)就是集合的大小，稱為集合的基數(shù)一死。
如果一個(gè)集合的基數(shù)可以用自然數(shù)表示肛度，那么它是有限大的。
自然數(shù)到底有多大投慈？
自然數(shù)集合 的大小不能用自然數(shù)本身來(lái)表示承耿，否則的話，假設(shè)存在自然數(shù) m 伪煤，它表示自然數(shù)集合的個(gè)數(shù)加袋，那么，0抱既，1, 2, 3, ... , m 肯定會(huì)有一個(gè)成員不在自然數(shù)集合里职烧。
那么應(yīng)該怎么表示自然數(shù)集合的基數(shù)。是的防泵，就是無(wú)限蚀之。通常語(yǔ)義上的無(wú)限，可以對(duì)應(yīng)自然數(shù)的基數(shù)捷泞，在集合論理論中足删，康托用 一個(gè)符號(hào)表示自然數(shù)的基數(shù)，他念做 阿列夫零——當(dāng)我們頭腦中有了一個(gè)概念的時(shí)候锁右，我們就可以創(chuàng)造符號(hào)來(lái)表示它——從這個(gè)意義來(lái)說(shuō)失受，數(shù)學(xué)本身也是一種語(yǔ)言。
如果繼續(xù)擴(kuò)充數(shù)系骡湖，我們會(huì)得到一些看起來(lái)比自然數(shù)“大”得多的數(shù)系贱纠，比如整數(shù)，有理數(shù)响蕴，實(shí)數(shù)谆焊，它們的基數(shù)看起來(lái)至少比自然數(shù)“大”，我們是否又要另創(chuàng)符號(hào)來(lái)表示這些集合的基數(shù)浦夷？
自然數(shù)的運(yùn)算： 加法
自然數(shù)的公理定義中辖试，天然包含了一種運(yùn)算：自增。每次自增得到自然數(shù)的后繼劈狐，下一個(gè)自然數(shù)罐孝。
根據(jù)自增可以定義加法。
定義加法的幾個(gè)步驟：
- 從具體到抽象的思考肥缔。 1 加 2 等于 3 莲兢， 在自然數(shù)的定義里， 自增我們還是使用 "++" 表示， 1 加 2 看成是 2 自增了 1次改艇，即 2++收班，我們可以定義 1 加 2 是 2++；同樣的 如果是 3 + 2谒兄，則可以看成 2 自增 3次摔桦，定義為 (((2++)++)++) = 5
- 從具體到一般，現(xiàn)在我們要定義任意兩個(gè)自然數(shù)： m 加 n是什么承疲？
首先我們從起始開始邻耕，定義， 0 加 m := m燕鸽， 1 加 m = (0++) + m = m++
如果已經(jīng)定義好兄世， n 加 m ，那么歸納原因運(yùn)用一下绵咱，
那么 (n++) 加 m = (n 加 m)++
以上碘饼，把中文“加”字換成一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，就把自然數(shù)的加法悲伶，用歸納原理做了一個(gè)定義：
m 是自然數(shù)艾恼， 定義 0 + m = m, 如果已定義 n + m, 那么 （n++）+m 定義成 (n + m) ++ ,即:
(n++)+m = (n + m)++
也可以這樣歸納地定義 m + 0 = m， 如果 m + n已定義麸锉， 那么定義m + (n++) = (m + n)++钠绍。最終自然數(shù)加法最終構(gòu)建成的形態(tài)沒(méi)有什么不同
加法已具，看看這個(gè)規(guī)則能不能套上大部分人小學(xué)就已經(jīng)熟悉的加法交換律花沉。
首先柳爽，看看 這個(gè)事實(shí)是不是真的？
對(duì)于任意的自然數(shù) n 碱屁， n + 0 = 0?
千真萬(wàn)確磷脯，但是為什么？ 不能這樣說(shuō)娩脾，顯然 n + 0 = 0 + n（根據(jù)定義） = n赵誓，因?yàn)榻粨Q律在目前的上下文中尚未驗(yàn)證過(guò)。
還是想到歸納大法：
- P(0): 0 + 0 = 0柿赊，這是真的俩功，由定義可知，
- 歸納假設(shè) P(n) 成立碰声，假設(shè) n + 0 = n 是真的诡蜓，
- 考察 n + 1 , 根據(jù)定義的加法規(guī)則，(n++) + 0 = (n + 0)++ = n++, 所以一切自然數(shù)胰挑，這條規(guī)則成立蔓罚。
0 + n = n + 0 = 0, 看起來(lái)交換律的雛形已經(jīng)有了椿肩。
那么到一般的情形： 對(duì)于任意的自然數(shù) m，n脚粟，在以上定義的加法規(guī)則下覆旱，是否滿足 m + n = n + m ?
還是使用歸納大法： 對(duì)于n = 0 的情形，上面的例子核无，已經(jīng)說(shuō)明 m + 0 = 0 + m, 假設(shè) n + m = m + n成立，
那么對(duì)于 n++藕坯， (n++) + m = (n + m)++ [加法規(guī)則之定義] = (m + n)++ = (m++) + n = （m + n)++,
嗯团南，(n++) + m = (m+n)++ 距離我們想要的 m + (n++)還有一點(diǎn)差別。
這個(gè) (m + n)++ 和 m + (n++) 是不是對(duì)任何的自然數(shù) m, n是相等的炼彪？
如果 m = 0吐根，
由加法的定義，n + 0 = n, 左邊 = n++; 右邊 = n + (0++) = (n + 0)++ (加法的定義) = n++, 所以兩頭都是n++ 是相等的辐马。
如果 ,對(duì)任何自然數(shù) m拷橘， (m + n)++ = m + (n++), 那么對(duì)于 m++，
((m++) + n)++ = ((m + n)++))++ 這是根據(jù)加法定義 , 再根據(jù)歸納假設(shè)喜爷，((m + n)++))++ = (m + (n++))++ = (m++) + (n++), 對(duì)一切的 自然數(shù)m成立冗疮。
既然 m + (n++) = (m + n)++是成立的，那么 ,把上面的式子檩帐，串起來(lái)就有 (n++) + m = m + (n++) 從而證實(shí)了交換律术幔。這個(gè)過(guò)程中，反復(fù)使用了加法的定義規(guī)則和歸納原理湃密。
結(jié)合律
對(duì)任何的自然數(shù) a, b, c, a + (b + c) = (a + b) + c诅挑，
對(duì) a 進(jìn)行歸納：
如果 a = 0, a + (b + c) = 0 + (b + c) = b + c = (0 + b) + c = (a + b) + c, 結(jié)合律成立
設(shè) a + (b + c) = (a + b) + c
那么 ((a++) + b) + c = ((a + b)++) + c = ((a + b) + c)++ = (a + (b + c))++ = (a++) + (b + c) 對(duì) a++也是成立
消去律
對(duì)任何的自然數(shù) 如果 a + b = a + c, 那么 b = c, 因?yàn)榻粨Q律的成立，又可以寫成 如果 b + a = c + a , 那么 b = c
說(shuō)清楚這個(gè)事實(shí)泛源，仍然是歸納大法：
設(shè) a = 0拔妥， 那么 0 + b = b, 0 + c = c, 因此 0 + b = 0 + c ，蘊(yùn)含了 b = c
如果 對(duì)于a 消去律成立达箍，來(lái)看 a++的情形没龙。換言之，要證明：
(a++) + b = (a++) + c 蘊(yùn)含著 b = c幻梯；
因?yàn)?根據(jù)加法的定義兜畸， (a++) + b = (a + b)++, (a++) + c = (a + c)++,
(a++) + b = (a++) + c, 即 (a + b)++ = (a + c)++，由第四條公理碘梢，不同自然數(shù)的后繼不相等咬摇，這個(gè)等式蘊(yùn)含了 a + b = a + c, 由歸納假設(shè)，即知煞躬， b = c肛鹏。
以上一些草草的推理逸邦，也許不太嚴(yán)格，大概繪制了一個(gè)從無(wú)到有構(gòu)建自然數(shù)及其自然數(shù)的加法運(yùn)算的過(guò)程在扰。類似于造建一個(gè)房屋缕减，從地基開始，逐漸往上堆積芒珠，由我們的生活直觀桥狡，提煉出公理化定義，然后依照公理系統(tǒng)定義了加法運(yùn)算皱卓，并陳述了它的一些典型性質(zhì)裹芝。
這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本方式，我們可以繼續(xù)根據(jù)已有的東西娜汁，構(gòu)建自然數(shù)的乘法嫂易。最后完整得到一個(gè)基于公理系統(tǒng)的邏輯嚴(yán)密的理論系統(tǒng)，它就可以應(yīng)用于計(jì)算機(jī)的正整數(shù)掐禁，數(shù)組下標(biāo)怜械，一些序場(chǎng)景，以及計(jì)數(shù)等具體的現(xiàn)實(shí)模型中傅事。
問(wèn)題：
- 自然數(shù)的公理化定義有沒(méi)有別的方式缕允？不同方式構(gòu)建的自然數(shù)系會(huì)不會(huì)有本質(zhì)的不同？
- 怎么定義自然數(shù)的乘法享完？
