第五公設(shè)
第5公設(shè)是歐幾里得幾何的第5條公設(shè)窄陡。
所謂公設(shè)，就是不證自明的基石假設(shè)拆火。
比起前面4條公設(shè)跳夭，第5條公設(shè)的描述稍顯繁瑣。它是這么說的们镜。
當兩條直線與第3條直線相交的時候币叹，它們同側(cè)的內(nèi)角和如果小于兩個直角和，那么這兩條直線一定會在某個地方相交模狭。
這段描述實在太長太拗口颈抚，于是數(shù)學(xué)家們一度認為這是不必要的。這也許可以從其他4個公設(shè)推導(dǎo)出來嚼鹉。使他成為一個定理贩汉。
但這種努力卻沒有成功，直到一個蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰普萊費爾锚赤，提出了普拉菲爾公理匹舞。
過直線外一點有且只有一條直線與它平行。
普萊費爾公理被認為是跟第五公設(shè)完全等價的公理线脚。
雖然是換了個馬甲赐稽，但他還是沒有辦法被證明呢叫榕，那怎么辦呢？
俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基姊舵，是這么想的翠霍，既然他不能被證明，那我換一個假設(shè)可以嗎蠢莺？
你是說過直線外一點有且只有一條直線與它平行寒匙，那我就假沒，
過直線外一點有至少兩條直線與它平行躏将。
根據(jù)這個假設(shè)與其他4條公理锄弱，結(jié)合起來，居然推導(dǎo)出了與歐幾里德幾何完全不一樣的幾何學(xué)祸憋。
這也被稱為非歐幾何的一個重要分支会宪，羅氏幾何。
既然連羅氏幾何的假設(shè)都可以成立蚯窥，那么如果假設(shè)掸鹅，
過直線外一點，沒有一條直線與它平行
拦赠，又會怎么樣呢巍沙？
結(jié)果德國數(shù)學(xué)家黎曼根據(jù)這個假設(shè)，創(chuàng)立了黎曼幾何荷鼠。
從而從另一個角度句携，證明了第五公設(shè)不可證明。
直角相等
第4條公設(shè)允乐，凡直角都相等矮嫉。
前面說過，公設(shè)就是不證自明牍疏。
從另外一個角度來講蠢笋，歐幾里得一直都沒有辦法證明所有直角都相等。
命題1.13 兩條直線相交鳞陨，鄰角是兩個直角或相加等于180度昨寞。
這個命題其實推論了直角就是90度，
因為按字面上的解釋炊邦，不難推導(dǎo)出兩個直角相加等于180度编矾，
180度除以2熟史，即得直角等于90度馁害。
BUT，歐幾里得沒有直接說明蹂匹。
而是認為兩條直線相交碘菜，鄰角有可能是兩個直角。
這意味著歐幾里得已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，直角有著詭異的變種忍啸。
當變換維度時仰坦，比如在球畫幾何上，直角也許不會等于90度计雌。
BUT悄晃，如果直角不等于90度，那剛才的推論不成立凿滤。
這種循環(huán)假設(shè)讓歐幾里得妈橄，百思不得其解。
于是不得不在定義里加上直角的描述翁脆。
鄰角是兩個直角眷蚓，意味著直角在平面幾何里，一直是特殊的存在反番，而不僅僅作圖方便而已沙热。
再回頭思考鄰角是兩個直角，或相加等于180度罢缸。
它意味著篙贸，兩條直線相交的鄰角和等于180度。
BUT枫疆，還有另外一種情形歉秫，另外一種特殊情況，
兩個鄰角分別是兩個直角养铸。
如果這兩個直角不相等雁芙，萬一它們不相等，
假設(shè)兩個直角不相等钞螟，
發(fā)生了什么兔甘？
這兩個直角沒有在同一個維度上。
于是它們也無法簡單相加鳞滨。
因為兩個直角不能相加洞焙，所以也無法推導(dǎo)出兩個直角和就是180度。
歐幾里得不得不運用五條公設(shè)拯啦、五條公理去限制幾何學(xué)的想象力澡匪，
卻在他不斷證明其后的465條定理中，
默默地把這些悖論隱藏起來褒链，留待后來者去試圖證明它唁情。
