一次函數(shù)

一合冀、正比例函數(shù)

一般地,形如y=kx(k是常數(shù)项贺,k≠0)的函數(shù)君躺,叫做正比例函數(shù)峭判,其中k叫做比例系數(shù)。

二棕叫、一次函數(shù)

1林螃、定義:

一般地,形如y=kx+b(k俺泣、b是常數(shù)疗认,k≠0)的函數(shù),叫做一次函數(shù)伏钠。
特別地横漏,當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時,y=kx熟掂,為正比例函數(shù)绊茧。所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。

2打掘、一次函數(shù)的一般形式

一次函數(shù)的一般形式為y= kx+b华畏,其中k,b為常數(shù)尊蚁,k≠0亡笑,
一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征:
1k≠0 2x的次數(shù)是1 3常數(shù)b可以為任意實數(shù)

溫馨提示:
  • 正比例函數(shù)是一次函數(shù),但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)
  • 一般情況下横朋,一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù)
  • 如果一個函數(shù)一次函數(shù)仑乌,那么含有自變量x的式子是一次的,系數(shù)k不扥與0琴锭,而b可以為任意實數(shù)
  • 判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)晰甚,就是判斷它是否能化成y=kx+b(k≠0)的形式
  • 一次函數(shù)的一般形式可以轉(zhuǎn)化為含x、y的二元一次方程

三决帖、待定系數(shù)法

先設(shè)出函數(shù)解析式厕九,再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù),從而得出函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法地回。

待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟:
  • 設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx(k≠0)
  • 把已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入解析式扁远,得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程
  • 解方程,求出待定系數(shù)k
  • 將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式
待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟:

方法類似于求正比例函數(shù)的解析式

  • 設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0)
  • 把已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)代入解析式刻像,得到關(guān)于系數(shù)k畅买、b的二元一次方程組
  • 解方程組,求出待定系數(shù)k细睡、b的值
  • 將求得的待定系數(shù)k谷羞、b的值代入解析式

四、正比例函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)

正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像是經(jīng)過原點(0溜徙,0)的一條直線

  • k>0時湃缎,圖像過第一购公、三象限,y隨x的增大而增大
  • k<0時雁歌,圖像過第二宏浩、四象限,y隨x的增大而減小
溫馨提示:
  • 通常畫正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像時只需取一點(1靠瞎,k)比庄,然后過原點和這一點畫直線
  • 當(dāng)k>0時,函數(shù)y = kx(k≠0)的圖像從左向右呈上升趨勢乏盐;當(dāng)k<0時佳窑,函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像從左向右呈下降趨勢
  • 正比例函數(shù)y= kx中,|k|越大父能,直線y= kx越靠近y軸神凑,;反之何吝,|y|越小溉委,直線y= kx越靠近x軸

五、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1爱榕、一次函數(shù)的圖像特征

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像時一條直線瓣喊,通常也稱為直線y=kx+b。一方面黔酥,一次函數(shù)y= kx+b的圖像可以用描點法畫出藻三;另一方面,由于兩點確定一條直線跪者,故畫出一次函數(shù)的圖像時棵帽,只要先描出兩點,再過這兩點畫直線就可以了渣玲,為了方便逗概,常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個交點(0,b)和(-\frac 柜蜈{k},0)
來畫一次函數(shù)的圖像

2仗谆、一次函數(shù)的性質(zhì)

  • k >0,b>0指巡,圖像過第一淑履、二、三象限藻雪,y隨x的增大而增大
  • k>0,b<0秘噪,圖像過第一、三勉耀、四象限指煎,y隨x的增大而增大
  • k<0,b>0蹋偏,圖像過第一、二至壤、四象限威始,y隨x的增大而減小
  • k<0,b<0,圖像過第二像街、三黎棠、四象限,y隨x的增大而減小
溫馨提示:
  • 直線y= kx+b(k≠0)的位置是由k和b的符號決定的镰绎,其中k決定直線從左到右呈上升趨勢還是下降趨勢脓斩;b決定直線與y軸的交點的位置是在y軸的正半軸上還是在y軸的負(fù)半軸上,還是在原點畴栖。綜合起來決定直線y=kx+b(k≠0)在直角坐標(biāo)系中的位置
  • y隨x的增大而增大随静,還是y隨x的增大而減小,只取決于k的符號吗讶,與b無關(guān)
  • 一次函數(shù)y= kx+b(k≠0)的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)燎猛,圖像是一條直線,因此沒有最大值與最小值照皆。但實際問題得到第一次函數(shù)解析式扛门,自變量的取值范圍一般受到限制

六、k纵寝、b的符號與直線y=kx+b(k≠0)的關(guān)系

直線y= kx+b(k≠0)论寨,令y= 0,則x=-b\over k,即直線y=kx+b與x軸交于(-b\over k,0)爽茴,則:

  • 當(dāng)-b\over k>0葬凳,即k、b異號室奏,直線與x軸交于正半軸
    *當(dāng)-b\over k=0火焰,即b=0,直線經(jīng)過遠(yuǎn)點
  • 當(dāng)-b\over k<0胧沫,即k昌简、b同號時,直線與x軸交于負(fù)半軸

七绒怨、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別于聯(lián)系

1纯赎、區(qū)別

  • 解析式:正比例函數(shù):y=kx(k≠0);一次函數(shù):y=kx+b(k≠0南蹂,b≠0)
  • 圖像:正比例函數(shù)過原點的直線犬金;一次函數(shù)是直線
  • k、b符號的作用:正比例函數(shù)b=0,k的符號決定其增減性晚顷,同時決定直線所經(jīng)過的象限峰伙;一次函數(shù)k的符號決定其增減性,b的符號決定直線與y軸的交點位置该默,k瞳氓、b的符號共同決定直線經(jīng)過的象限
  • 求解析式的條件:正比例函數(shù)只需要一對x、y的對應(yīng)值或一個點的坐標(biāo)栓袖;一次函數(shù)需要兩隊x顿膨、y的值或兩個點的坐標(biāo)

2、聯(lián)系

  • 正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)
  • 正比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)的圖像的畫法一樣叽赊,都是過兩點畫直線
  • 一次函數(shù)y=kx+b(k≠0恋沃,b≠0)的圖像可以看做是正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到的,由此可知直線y=kx+b(k≠0必指,b≠0)與直線y=kx(k≠0)平行
  • 一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)
    ①當(dāng)k>0時囊咏,y的值隨x的增大而增大;②當(dāng)k<0時塔橡,y的值隨x的增大而減小

八梅割、一次函數(shù)與一元一次方程

思路:由于任何一個一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a、b為常數(shù)葛家,a≠0)的形式户辞,所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為:當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時,求自變量的值癞谒;

  • 從“數(shù)”上看:方程ax+b=0(a≠0)的解?函數(shù)y=ax+b(a≠0)中夏志,y=0時對應(yīng)的x的值
  • 從“形”上看:方程ax+b = 0,(a≠0)的解?函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)枚荣。
溫馨提示
  • 從函數(shù)值的角度看,可令y=0,得方程kx+b=0朗和,解方程x=-b\over k
  • 從圖像上看涎才,相當(dāng)于已知直線y=kx+b娜睛,確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)

九榄攀、一次函數(shù)與二元一次方程組

1、二元一次方程與一次函數(shù)

一般地茅诱,二元一次方程mx+ny=p(m逗物、n、p是常數(shù)瑟俭,且m≠0翎卓,n≠0)都能寫成y=ax+b(a、b為常數(shù)尔当,且a≠0)的形式莲祸。因此蹂安,一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)椭迎,又因為一個一次函數(shù)對應(yīng)一條直線锐帜,所以一個二元一次方程也對應(yīng)一條直線,進(jìn)一步可知畜号,一個二元一次方程組對應(yīng)兩個一次函數(shù)缴阎,因而也對應(yīng)兩條直線

2、關(guān)系

  • 從“數(shù)”的角度看简软,解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時蛮拔,兩個函數(shù)的值相等,以及這兩個函數(shù)值是何值痹升;
  • 從“形”的角度看建炫,解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點坐標(biāo),一般地疼蛾,如果一個二元一次方程組有唯一解肛跌,那么這個解就是方程組對應(yīng)的兩條直線的交點坐標(biāo)
知識延伸
  • 二元一次方程組的圖解法:畫出兩個一次函數(shù)的圖像,找出它們的交點坐標(biāo)察郁,即得相應(yīng)的二元一次方程組的解衍慎,這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法
  • 聯(lián)立兩個一次函數(shù)的解析式,構(gòu)建二元一次方程組皮钠,通過解方程稳捆,即可確定兩條直線的交點坐標(biāo)

十、一次函數(shù)與一元一次不等式

1麦轰、不等式形式:

任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b>0(或ax+b<0)(a乔夯、b式常數(shù),且a≠0)的形式

2款侵、與函數(shù)關(guān)系

  • 從函數(shù)的角度看驯嘱,解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的值大于(或小于)0的自變量的取值范圍;
  • 從函數(shù)圖像的角度看喳坠,就是確定直線y=ax+b(a≠0)在x軸上(或下)方部分的橫坐標(biāo)滿足的條件
溫馨提示
  • 轉(zhuǎn)化思想:把解一元一次不等式問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的圖像問題來解決
  • 當(dāng)一次函數(shù)y= kx+b(k≠0)中y>0(或y<0)時鞠评,它就變成了一元一次不等式kx+b>0(kx+b<0).kx+b>0的解是一次函數(shù)值為正值時自變量的取值范圍,對應(yīng)的函數(shù)圖像在x軸的上方壕鹉;kx+b<0的解集時一次函數(shù)的函數(shù)值為負(fù)時自變量的取值范圍剃幌,對應(yīng)的函數(shù)圖像在x軸的下方

十一、一次函數(shù)的實踐與探索

1晾浴、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與形結(jié)合起來進(jìn)行分析负乡,研究,解決問題的一種思想方法脊凰,數(shù)形結(jié)合思想在解決一次函數(shù)有關(guān)的問題時抖棘,能起到事半功倍的作用

2茂腥、轉(zhuǎn)化的思想

在自變量的不同取值范圍內(nèi)比較多個函數(shù)值的大小,是利用一次函數(shù)解決問題的典型題目切省,它的實質(zhì)是將比較函數(shù)值的大小問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式的問題加以解決

3最岗、利用一次函數(shù)最值解決最優(yōu)化問題的方法

最值問題是中考中的熱點與難點問題,一次函數(shù)y= kx+b(k朝捆、b是常數(shù)般渡,k≠0)中的自變量x的取值范圍是全體實數(shù),其圖像是一條直線芙盘,所以函數(shù)既沒有最大值驯用,也沒有最小值。但由于實際問題在那個儒老,所列函數(shù)表達(dá)式中自變量的取值范圍往往有一定的限制蝴乔,其圖像為線段或射線,故其就有了最值驮樊。在求函數(shù)的最值時薇正,我們贏先求出函數(shù)的表達(dá)式,并確定其增減性巩剖,再根據(jù)題目條件確定出自變量的取值范圍铝穷,然后結(jié)合增減性確定出最大值或最小值。

4佳魔、構(gòu)造一次函數(shù)模型解決動態(tài)集合問題的方法

在圖形運(yùn)動變化過程中曙聂,往往伴隨著圖形位置干洗機(jī)數(shù)量關(guān)系的變化,有些問題能夠用一次函數(shù)來解決圖形運(yùn)動的變化規(guī)律鞠鲜,解決動態(tài)集合問題宁脊,要動中有靜,動靜結(jié)合贤姆,能夠在運(yùn)動變化中提高想象能力榆苞,綜合分析能力。

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