一合冀、正比例函數(shù)
一般地，形如y=kx（k是常數(shù)项贺，k≠0）的函數(shù)君躺，叫做正比例函數(shù)峭判，其中k叫做比例系數(shù)。
二棕叫、一次函數(shù)
1林螃、定義：
一般地，形如y=kx+b（k俺泣、b是常數(shù)疗认，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)伏钠。
特別地横漏，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時，y=kx熟掂，為正比例函數(shù)绊茧。所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。
2打掘、一次函數(shù)的一般形式
一次函數(shù)的一般形式為y= kx+b华畏，其中k，b為常數(shù)尊蚁，k≠0亡笑，
一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
1k≠0 2x的次數(shù)是1 3常數(shù)b可以為任意實數(shù)
溫馨提示：
- 正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)
- 一般情況下横朋，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù)
- 如果一個函數(shù)一次函數(shù)仑乌，那么含有自變量x的式子是一次的，系數(shù)k不扥與0琴锭，而b可以為任意實數(shù)
- 判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)晰甚，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式
- 一次函數(shù)的一般形式可以轉(zhuǎn)化為含x、y的二元一次方程
三决帖、待定系數(shù)法
先設(shè)出函數(shù)解析式厕九，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法地回。
待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟：
- 設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0）
- 把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式扁远，得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程
- 解方程，求出待定系數(shù)k
- 將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式
待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟：
方法類似于求正比例函數(shù)的解析式
- 設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0）
- 把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式刻像，得到關(guān)于系數(shù)k畅买、b的二元一次方程組
- 解方程組，求出待定系數(shù)k细睡、b的值
- 將求得的待定系數(shù)k谷羞、b的值代入解析式
四、正比例函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)
正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像是經(jīng)過原點（0溜徙，0）的一條直線
- k>0時湃缎，圖像過第一购公、三象限，y隨x的增大而增大
- k<0時雁歌，圖像過第二宏浩、四象限，y隨x的增大而減小
溫馨提示：
- 通常畫正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像時只需取一點（1靠瞎，k）比庄，然后過原點和這一點畫直線
- 當(dāng)k>0時，函數(shù)y = kx（k≠0）的圖像從左向右呈上升趨勢乏盐；當(dāng)k<0時佳窑，函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像從左向右呈下降趨勢
- 正比例函數(shù)y= kx中，|k|越大父能，直線y= kx越靠近y軸神凑，；反之何吝，|y|越小溉委，直線y= kx越靠近x軸
五、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1爱榕、一次函數(shù)的圖像特征
一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像時一條直線瓣喊，通常也稱為直線y=kx+b。一方面黔酥，一次函數(shù)y= kx+b的圖像可以用描點法畫出藻三；另一方面，由于兩點確定一條直線跪者，故畫出一次函數(shù)的圖像時棵帽，只要先描出兩點，再過這兩點畫直線就可以了渣玲，為了方便逗概，常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個交點（0，b）和（-,0)
來畫一次函數(shù)的圖像
2仗谆、一次函數(shù)的性質(zhì)
- k >0,b>0指巡，圖像過第一淑履、二、三象限藻雪，y隨x的增大而增大
- k>0,b<0秘噪，圖像過第一、三勉耀、四象限指煎，y隨x的增大而增大
- k<0,b>0蹋偏，圖像過第一、二至壤、四象限威始，y隨x的增大而減小
- k<0,b<0，圖像過第二像街、三黎棠、四象限，y隨x的增大而減小
溫馨提示：
- 直線y= kx+b（k≠0）的位置是由k和b的符號決定的镰绎，其中k決定直線從左到右呈上升趨勢還是下降趨勢脓斩；b決定直線與y軸的交點的位置是在y軸的正半軸上還是在y軸的負(fù)半軸上，還是在原點畴栖。綜合起來決定直線y=kx+b（k≠0）在直角坐標(biāo)系中的位置
- y隨x的增大而增大随静，還是y隨x的增大而減小，只取決于k的符號吗讶，與b無關(guān)
- 一次函數(shù)y= kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)燎猛，圖像是一條直線，因此沒有最大值與最小值照皆。但實際問題得到第一次函數(shù)解析式扛门，自變量的取值范圍一般受到限制
六、k纵寝、b的符號與直線y=kx+b(k≠0）的關(guān)系
直線y= kx+b（k≠0）论寨，令y= 0，則x=-,即直線y=kx+b與x軸交于（-
,0）爽茴，則：
- 當(dāng)-
>0葬凳，即k、b異號室奏，直線與x軸交于正半軸
*當(dāng)- - 當(dāng)-
七绒怨、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別于聯(lián)系
1纯赎、區(qū)別
- 解析式：正比例函數(shù)：y=kx（k≠0）；一次函數(shù)：y=kx+b（k≠0南蹂，b≠0）
- 圖像：正比例函數(shù)過原點的直線犬金；一次函數(shù)是直線
- k、b符號的作用：正比例函數(shù)b=0，k的符號決定其增減性晚顷，同時決定直線所經(jīng)過的象限峰伙；一次函數(shù)k的符號決定其增減性，b的符號決定直線與y軸的交點位置该默，k瞳氓、b的符號共同決定直線經(jīng)過的象限
- 求解析式的條件：正比例函數(shù)只需要一對x、y的對應(yīng)值或一個點的坐標(biāo)栓袖；一次函數(shù)需要兩隊x顿膨、y的值或兩個點的坐標(biāo)
2、聯(lián)系
- 正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)
- 正比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)的圖像的畫法一樣叽赊，都是過兩點畫直線
- 一次函數(shù)y=kx+b（k≠0恋沃，b≠0）的圖像可以看做是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像沿y軸向上（b>0)或向下（b<0)平移|b|個單位長度得到的，由此可知直線y=kx+b（k≠0必指，b≠0）與直線y=kx（k≠0）平行
- 一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)
①當(dāng)k>0時囊咏，y的值隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時塔橡，y的值隨x的增大而減小
八梅割、一次函數(shù)與一元一次方程
思路：由于任何一個一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a、b為常數(shù)葛家，a≠0）的形式户辞，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時，求自變量的值癞谒；
- 從“數(shù)”上看：方程ax+b=0（a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）中夏志，y=0時對應(yīng)的x的值
- 從“形”上看：方程ax+b = 0,(a≠0）的解?函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)枚荣。
溫馨提示
- 從函數(shù)值的角度看，可令y=0，得方程kx+b=0朗和，解方程x=-
- 從圖像上看涎才，相當(dāng)于已知直線y=kx+b娜睛，確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)
九榄攀、一次函數(shù)與二元一次方程組
1、二元一次方程與一次函數(shù)
一般地茅诱，二元一次方程mx+ny=p（m逗物、n、p是常數(shù)瑟俭，且m≠0翎卓，n≠0）都能寫成y=ax+b（a、b為常數(shù)尔当，且a≠0）的形式莲祸。因此蹂安，一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)椭迎，又因為一個一次函數(shù)對應(yīng)一條直線锐帜，所以一個二元一次方程也對應(yīng)一條直線，進(jìn)一步可知畜号，一個二元一次方程組對應(yīng)兩個一次函數(shù)缴阎，因而也對應(yīng)兩條直線
2、關(guān)系
- 從“數(shù)”的角度看简软，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時蛮拔，兩個函數(shù)的值相等，以及這兩個函數(shù)值是何值痹升；
- 從“形”的角度看建炫，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點坐標(biāo)，一般地疼蛾，如果一個二元一次方程組有唯一解肛跌，那么這個解就是方程組對應(yīng)的兩條直線的交點坐標(biāo)
知識延伸
- 二元一次方程組的圖解法：畫出兩個一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點坐標(biāo)察郁，即得相應(yīng)的二元一次方程組的解衍慎，這種解二元一次方程組的方法叫做二元一次方程組的圖解法
- 聯(lián)立兩個一次函數(shù)的解析式，構(gòu)建二元一次方程組皮钠，通過解方程稳捆，即可確定兩條直線的交點坐標(biāo)
十、一次函數(shù)與一元一次不等式
1麦轰、不等式形式：
任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b>0(或ax+b<0)(a乔夯、b式常數(shù)，且a≠0）的形式
2款侵、與函數(shù)關(guān)系
- 從函數(shù)的角度看驯嘱，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；
- 從函數(shù)圖像的角度看喳坠，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的橫坐標(biāo)滿足的條件
溫馨提示
- 轉(zhuǎn)化思想：把解一元一次不等式問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的圖像問題來解決
- 當(dāng)一次函數(shù)y= kx+b（k≠0）中y>0(或y<0)時鞠评，它就變成了一元一次不等式kx+b>0(kx+b<0).kx+b>0的解是一次函數(shù)值為正值時自變量的取值范圍，對應(yīng)的函數(shù)圖像在x軸的上方壕鹉；kx+b<0的解集時一次函數(shù)的函數(shù)值為負(fù)時自變量的取值范圍剃幌，對應(yīng)的函數(shù)圖像在x軸的下方
十一、一次函數(shù)的實踐與探索
1晾浴、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與形結(jié)合起來進(jìn)行分析负乡，研究，解決問題的一種思想方法脊凰，數(shù)形結(jié)合思想在解決一次函數(shù)有關(guān)的問題時抖棘，能起到事半功倍的作用
2茂腥、轉(zhuǎn)化的思想
在自變量的不同取值范圍內(nèi)比較多個函數(shù)值的大小，是利用一次函數(shù)解決問題的典型題目切省，它的實質(zhì)是將比較函數(shù)值的大小問題轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式的問題加以解決
3最岗、利用一次函數(shù)最值解決最優(yōu)化問題的方法
最值問題是中考中的熱點與難點問題，一次函數(shù)y= kx+b（k朝捆、b是常數(shù)般渡，k≠0）中的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，其圖像是一條直線芙盘，所以函數(shù)既沒有最大值驯用，也沒有最小值。但由于實際問題在那個儒老，所列函數(shù)表達(dá)式中自變量的取值范圍往往有一定的限制蝴乔，其圖像為線段或射線，故其就有了最值驮樊。在求函數(shù)的最值時薇正，我們贏先求出函數(shù)的表達(dá)式，并確定其增減性巩剖，再根據(jù)題目條件確定出自變量的取值范圍铝穷，然后結(jié)合增減性確定出最大值或最小值。
4佳魔、構(gòu)造一次函數(shù)模型解決動態(tài)集合問題的方法
在圖形運(yùn)動變化過程中曙聂，往往伴隨著圖形位置干洗機(jī)數(shù)量關(guān)系的變化，有些問題能夠用一次函數(shù)來解決圖形運(yùn)動的變化規(guī)律鞠鲜，解決動態(tài)集合問題宁脊，要動中有靜，動靜結(jié)合贤姆，能夠在運(yùn)動變化中提高想象能力榆苞，綜合分析能力。
