微分方程組
彈性理論使用微分方程镣衡，研究天體運(yùn)動(dòng)（兩個(gè)或多個(gè)物體相互作用）則使用微分方程組桨武。在天文學(xué)中，列出微分方程的基礎(chǔ)是牛頓第二定律F=ma氛魁，1750年歐拉給出牛二在固定直角坐標(biāo)系的分析形式：他還指出對(duì)于質(zhì)點(diǎn)，m是總質(zhì)量；對(duì)于分布均勻的物體秀存，m是dM捶码。
一個(gè)物體在另一個(gè)固定物體的引力下運(yùn)動(dòng)或链，兩個(gè)微分方程可以合成一個(gè)只含x,y（直角坐標(biāo)）或r和θ（極坐標(biāo)）的微分方程惫恼，運(yùn)動(dòng)軌跡是一條以固定物體為焦點(diǎn)的圓錐曲線。如果兩個(gè)物體在相互吸引下一起運(yùn)動(dòng)澳盐，就需要列六個(gè)微分方程的方程組祈纯，它的解表明：每個(gè)物體都是按（以?xún)蓚€(gè)物體質(zhì)心為焦點(diǎn)的）圓錐曲線運(yùn)動(dòng)。牛頓在《原理》中用幾何法解決了這一問(wèn)題叼耙，但沒(méi)有做分析工作盆繁。早期法國(guó)人在力學(xué)上使用笛卡爾的理論，一直到伏爾泰1727年訪問(wèn)倫敦后才把牛頓力學(xué)帶回法國(guó)（然后伏爾泰寫(xiě)了牛頓看到蘋(píng)果落地從而發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力的故事旬蟋，好家伙太能編了）油昂。17世紀(jì)幾大數(shù)學(xué)家惠更斯、萊布尼茨倾贰、約翰伯努利反對(duì)萬(wàn)有引力的觀點(diǎn)（不就是跟牛頓吵架的陣營(yíng)嗎）冕碟，丹尼爾伯努利用分析方法研究行星運(yùn)動(dòng)，得到了法國(guó)科學(xué)院的獎(jiǎng)金（怪不得他爹很生氣匆浙，屬于政見(jiàn)不合鞍菜隆），歐拉完全使用分析方法研究行星與彗星運(yùn)動(dòng)首尼。
假設(shè)有n個(gè)球形物體挑庶，質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ(chēng)的（密度為半徑的函數(shù)），得到第i個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程：
每個(gè)物體3個(gè)方程软能，n個(gè)物體就是3n個(gè)方程迎捺，n體問(wèn)題包括三體問(wèn)題，是不能精確解出的查排。因此人們選擇了兩個(gè)方向：一凳枝、探索可以推導(dǎo)什么形式的、可以闡明運(yùn)動(dòng)的定理跋核。二岖瑰、找近似解，這就是攝動(dòng)法砂代。
對(duì)第一類(lèi)蹋订，牛頓在《原理》中給出了n體運(yùn)動(dòng)幾個(gè)定理。如n體質(zhì)量中心在一直線上做勻速運(yùn)動(dòng)刻伊。拉格朗日（1736-1813）則給出了三體問(wèn)題的一些特殊情形和某些精確的結(jié)果露戒。
拉格朗日小時(shí)候不愛(ài)學(xué)數(shù)學(xué)难礼，17歲看了哈雷寫(xiě)牛頓發(fā)明微積分的文章迷上數(shù)學(xué)分析（百度說(shuō)這篇文章叫《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》）19歲時(shí)他成為都靈皇家炮兵學(xué)校的數(shù)學(xué)教授（18歲時(shí)寫(xiě)論文給歐拉，歐拉說(shuō)你搞的這個(gè)東西萊布尼茨50年前搞過(guò)了玫锋，但是他沒(méi)有放棄蛾茉，發(fā)展了歐拉提出的變分法，一下子有了名氣撩鹿，當(dāng)上了教授谦炬，真的是好勵(lì)tian志cai呢）。雖然拉格朗日的工作涉及許多領(lǐng)域节沦，如數(shù)論键思、代數(shù)方程、微積分甫贯、微分方程吼鳞、變分法，但他的主要興趣是把引力定律應(yīng)用于行星運(yùn)動(dòng)叫搁。阿基米德是拉格朗日的偶像赔桌。
拉格朗日的代表作《分析力學(xué)》完善了牛頓的工作，但當(dāng)時(shí)很難找到人出版渴逻，因此他曾經(jīng)發(fā)牢騷說(shuō)牛頓運(yùn)氣太好了疾党，就這么一個(gè)宇宙，而牛頓已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的數(shù)學(xué)規(guī)律（出生早了惨奕，沒(méi)趕上量子力學(xué)的好時(shí)代）雪位。
1772年拉格朗日在三體問(wèn)題中找到了一些特殊精確解，其中一個(gè)說(shuō)：這些物體能作運(yùn)動(dòng)使運(yùn)動(dòng)軌跡同時(shí)描出三個(gè)相似橢圓梨撞，而且以三個(gè)物體的質(zhì)心為共同焦點(diǎn)雹洗。一個(gè)是假定三個(gè)物體從一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，它們?cè)谌切紊线\(yùn)動(dòng)卧波，三角形本身圍繞著三物體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)时肿，1906年被發(fā)現(xiàn)適用于太陽(yáng)、木星和一個(gè)叫阿喀琉斯的小游星（搜百度只能搜到阿克琉斯幽勒，找不到這個(gè)星的信息嗜侮，阿克琉斯：我還是去追龜吧）上港令。最后一個(gè)是：三物體在直線初始位置投入運(yùn)動(dòng)啥容，在適當(dāng)初始條件下會(huì)繼續(xù)固定在直線上，而直線在一平面上繞物體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)顷霹。
第二類(lèi)n體問(wèn)題咪惠，即找近似解或攝動(dòng)理論：兩個(gè)球體在引力相互作用下沿圓錐曲線運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)這種運(yùn)動(dòng)是非攝動(dòng)的淋淀。對(duì)這種運(yùn)動(dòng)的任何偏離（不管是位置還是速度）遥昧，都稱(chēng)為攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)（偏離原因：介質(zhì)對(duì)運(yùn)動(dòng)有阻力，物體不是球體而是扁球等）。18世紀(jì)炭臭，拉普拉斯（1749-1827）在這一領(lǐng)域做了最大貢獻(xiàn)永脓。
拉普拉斯16歲上大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)，完成學(xué)業(yè)后帶著推薦信找達(dá)朗貝爾被拒鞋仍，后來(lái)拉普拉斯寫(xiě)信闡述了力學(xué)的一般原理常摧，引起了達(dá)朗貝爾重視，幫他安排了巴黎軍事學(xué)校數(shù)學(xué)教授的職位（達(dá)朗貝爾還是個(gè)HR呢威创？）他年輕時(shí)就搞了很多成果落午，1783年他接替了Bezout當(dāng)軍事考試委員，給拿破侖考試（好神奇的履歷）肚豺，法國(guó)大革命期間他當(dāng)了度量衡委員會(huì)的委員溃斋，但是后來(lái)和拉瓦錫等人一起被開(kāi)除了（怎么還有搞化學(xué)的！）吸申，他就隱居在巴黎附近的城市梗劫，寫(xiě)了著名的《宇宙系統(tǒng)論》。革命后截碴，他當(dāng)上了內(nèi)政大臣在跳、議會(huì)委員、議會(huì)大臣隐岛。雖然拿破侖封他當(dāng)了伯爵猫妙，但1814年他給拿破侖投了反對(duì)票，傍上了路易十八聚凹，后者封他為法蘭西侯爵和貴族（是呂布拉斯沒(méi)錯(cuò)吧……）
拉普拉斯一邊搞政治一邊搞科研割坠，1799-1785年他出版了五卷《天體力學(xué)》，把牛頓妒牙、克萊羅彼哼、達(dá)朗貝爾、歐拉湘今、拉格朗日和自己的成果統(tǒng)一成一個(gè)整體敢朱，唯一的缺點(diǎn)是他不交代來(lái)源，整得好像都是他干的一樣摩瞎。
1812年他出版了《概率的分析理論》拴签，1814年再版序言是一篇通俗短文铺董，里面有一段話(huà)關(guān)于決定論：世界的未來(lái)完全由過(guò)去決定侵俗，智者只要掌握這個(gè)世界在任一給定時(shí)刻的狀態(tài)的數(shù)學(xué)信息，就能預(yù)報(bào)未來(lái)（智者即拉普拉斯妖）件已。
拉普拉斯在數(shù)學(xué)物理上有很多發(fā)現(xiàn)上渴，他對(duì)很多領(lǐng)域都感興趣岸梨，比如流體動(dòng)力學(xué)喜颁、聲波傳播、潮汐曹阔；化學(xué)上搞了物質(zhì)液態(tài)半开、表面張力等；他和拉瓦錫設(shè)計(jì)了測(cè)熱量的工具赃份，測(cè)了很多物質(zhì)的比熱稿茉。1827年拉普拉斯去世，據(jù)說(shuō)遺言是：“我們知道的是很微小的芥炭；我們不知道的是無(wú)限的漓库。”（德摩根說(shuō)遺言是：“人們了解的只是幻像园蝠∶燧铮”總之大師死前講的話(huà)也很有逼格就是了。）
拉普拉斯跟拉格朗日經(jīng)常聯(lián)系彪薛，但個(gè)性大相徑庭茂装，他老是偷拿拉格朗日的概念又不聲明來(lái)源。此外拉格朗日寫(xiě)的東西清楚優(yōu)美善延，而拉普拉斯雖然創(chuàng)造了很多新方法少态，但是他對(duì)純數(shù)學(xué)不感興趣，如果搞物理時(shí)碰到數(shù)學(xué)問(wèn)題易遣，他就說(shuō)“容易看出……”鮑迪奇（1773-1838）翻譯了他的《天體力學(xué)》彼妻，吐槽說(shuō)：一看到“容易看出”，我就知道要花幾個(gè)小時(shí)填補(bǔ)空白豆茫。
拉普拉斯的工作是處理行星運(yùn)動(dòng)的近似解侨歉，之所以有解是因?yàn)樘?yáng)占太陽(yáng)系總質(zhì)量的99.87%，行星之間的攝動(dòng)力小揩魂，軌道近似橢圓幽邓。造成攝動(dòng)的原因主要是木星占行星總質(zhì)量70%以及地球衛(wèi)星相當(dāng)靠近地球，相互影響火脉。
日地月問(wèn)題是18世紀(jì)考慮最多的三體問(wèn)題牵舵，因?yàn)楹胶Ｐ枰私庠虑蜻\(yùn)動(dòng)。牛頓給出了幾何法的理論倦挂，歐拉和克萊羅試圖求精確解畸颅，1747年克萊羅用微分方程的級(jí)數(shù)解得到了進(jìn)展，他應(yīng)用到哈雷彗星運(yùn)動(dòng)上妒峦，預(yù)測(cè)了比較精確的回歸時(shí)間重斑。
為了計(jì)算攝動(dòng)產(chǎn)生了參數(shù)變值法：牛頓考慮了月球軌道的變值算出太陽(yáng)對(duì)它的影響，約翰伯努利用變值法解個(gè)別情況下的非齊次方程肯骇，歐拉用變值法研究二階方程和木星窥浪、土星的相互攝動(dòng)。拉格朗日充分發(fā)展了該方法笛丙，將單個(gè)常微分方程的參數(shù)變值法應(yīng)用到n階方程漾脂，然后以更一般的方式應(yīng)用到方程組上。
在發(fā)展變值法期間胚鸯，拉格朗日和拉普拉斯解答了關(guān)于太陽(yáng)系的基本問(wèn)題骨稿。十八世紀(jì)人們改進(jìn)了解微分方程的方法，也發(fā)現(xiàn)了新的物理事實(shí)姜钳，在之后兩個(gè)世紀(jì)坦冠，人們?yōu)檫M(jìn)一步解答n體和太陽(yáng)系問(wèn)題做出努力。
總結(jié)
18世紀(jì)常微分方程成為獨(dú)立學(xué)科哥桥，對(duì)解的理解和尋求發(fā)生了變化辙浑。最初數(shù)學(xué)家用初等函數(shù)表示解，然后是沒(méi)有積出的積分拟糕，再接著是無(wú)窮級(jí)數(shù)判呕。
數(shù)學(xué)家不僅想把解表示成積出形式，也在尋找可以用有限個(gè)初等函數(shù)表示其解的微分方程送滞。達(dá)朗貝爾研究了橢圓積分侠草，歐拉等人從微分方程導(dǎo)出其他方程；另一種研究是尋找級(jí)數(shù)解可以只含有限多個(gè)項(xiàng)的條件犁嗅。
孔多塞企圖把求常微分方程的孤立方法統(tǒng)一起來(lái)边涕，但是失敗了；歐拉證明凡可用變量分離法的地方都可用積分因子褂微，反之則不然奥吩。他還證明高階微分方程不能用變量分離，但可以降階蕊梧。
1775年起探索常微分方程的一般積分方法一直沒(méi)有新的進(jìn)展霞赫，直到19世紀(jì)才引入算子方法和拉普拉斯變換。事實(shí)上人們對(duì)一般求解方法的興趣消退了肥矢，總的來(lái)說(shuō)這門(mén)學(xué)科還是各種孤立技巧的匯編端衰。
放個(gè)拉普拉斯的生平：拉普拉斯的傳奇人生
