洛倫茲力與電場綜合：2018年全國卷A題25

2018年全國卷A題25

25.（20分）如圖挂谍，在 $y \gt 0$ 的區(qū)域存在方向沿 $y$ 軸負(fù)方向的勻強電場衣形，場強大小為 $E$ 能犯；在 $y \lt 0$ 的區(qū)域存在方向垂直于 $xOy$ 平面向外的勻強磁場旺聚。一個氕核 ${}^1_1H$ 和一個氘核 ${}^2_1H$ 先后從 $y$ 軸上 $y=h$ 點以相同的動能射出，速度方向沿 $x$ 軸正方向咳短。已知 ${}^1_1H$ 進(jìn)入磁場時填帽，速度方向與 $x$ 軸正方向的夾角為 $60°$ ，并從坐標(biāo)原點 $O$ 處第一次射出磁場咙好。 ${}^1_1H$ 的質(zhì)量為 $m$ 篡腌，電荷量為 $q$ 。不計重力勾效。求

（1） ${}^1_1H$ 第一次進(jìn)入磁場的位置到原點 $O$ 的距離;

（2）磁場的磁感應(yīng)強度大小;

（3） ${}^2_1H$ 第一次離開磁場的位置到原點 $O$ 的距離嘹悼。

2018年全國卷A題25

【解答第1問】

氕核在電場中的運動可分解為兩個方向：水平方向作勻速直線運動；豎直方向作勻加速直線運動层宫。

$s_y=-h=\dfrac{1}{2}v_{y1} \cdot t_1$

$s_x=v_0 \cdot t_1$

$\dfrac{s_y}{s_x}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{v_{y1}}{v_0}$

因為 ${}^1_1H$ 進(jìn)入磁場時杨伙，速度方向與 $x$ 軸正方向的夾角為 $60°$ ，所以

$v_{y1}= - \sqrt{3} v_0$

$s_x=- \dfrac{2}{\sqrt{3}} s_y = \dfrac{2}{3} \sqrt{3} h$

2018年全國卷A題25

【解答問題2】

粒子在電場中運動萌腿，電勢能轉(zhuǎn)化為動能限匣，

$qEh=\dfrac{1}{2}mv^2_{y1}$

$v_{y1}= - \sqrt{3} v_x \Rightarrow\; v^2_x=\dfrac{1}{3}v^2_{y1}$

$\Rightarrow\; v^2=\dfrac{4}{3}v^2_{y1}$

$\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{4}{3}qEh$

粒子在磁場中受洛倫茲力作用，作圓周運動毁菱。

$qvB=m \cdot \dfrac{v^2}{r}$

$B=\dfrac{mv}{qr} \Rightarrow\; B^2 = \dfrac{2mE_k}{q^2r^2}$

由幾何分析可知： $s_x=\sqrt{3}r$

由第1問結(jié)論可知： $s_x= \dfrac{2}{3} \sqrt{3} h$

$r=\dfrac{2}{3}h$

$B^2 = \dfrac{2mE_k}{q^2r^2}=2m \times \dfrac{4}{3}qEh \times \dfrac{1}{q^2} \times \dfrac{9}{4h^2}$

$B^2 =\dfrac{6mE}{qh}$

$B=\sqrt{\dfrac{6mE}{qh}}$

【解答第3問】

${}^1_1H$ 的質(zhì)量為 $m$ 米死，則 ${}^2_1H$ 核的質(zhì)量為 $(2m)$ .

兩個粒子以相同的動能從 $y$ 軸上同一位置射出锌历，所以

$\dfrac{1}{2}mv^2_0=\dfrac{1}{2}(2m)v^2_{D0}$

$v_{D0} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} v_0$

兩粒子的電荷相等，在電場中加速峦筒，電場做功相等辩涝，所以

$qEh=\dfrac{1}{2}mv^2_{y1}=\dfrac{1}{2}(2m) v^2_{Dy}$

$v_{Dy}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} v_{y1}$

$\dfrac{v_{Dy}}{v_{D0}}=\dfrac{v_{y1}}{v_0}= \sqrt{3}$

$\dfrac{s_{Dy}}{s_{Dx}}=\dfrac{s_{Hy}}{s_{Hx}}$

兩種粒子在兩個方向的速度分量之比相等；位移分量之比相等勘天。所以，兩種粒子會從同一點進(jìn)入磁場捉邢，而且速度方向相同脯丝。

但是速度不同， $v_{_D}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}v_{_H}$

所以伏伐， $r_{_D}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}r_{_H}$

$r=\dfrac{mv}{qB}$

$r_{_D}= \sqrt{2} \, r_{_H}$

兩種粒子的半徑不同

如上圖所示宠进， ${}^2_1H$ 第一次離開磁場的位置到原點 $O$ 的距離為： $(\sqrt{2}-1)s_x$

在第1問中已求得： $s_x = \dfrac{2}{3} \sqrt{3} h$

所以，所求距離為： $\dfrac{2}{3} \sqrt{3} (\sqrt{2}-1) h$

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