牛頓熊锭，微積分的奠基者之一。他稱其發(fā)明為“流數(shù)法”。后來(lái)證明碗殷，本質(zhì)上跟萊布尼茲發(fā)明的微積分是一樣的劣针。他在發(fā)明“流數(shù)法”以后，閑極無(wú)聊亿扁，就算算圓周率。人和人是多么不同啊鸟廓。
還要提到的是从祝，牛頓年輕時(shí)候推廣的二項(xiàng)式定理。這個(gè)定理引谜，普通的時(shí)候很普通牍陌，
就是用賈憲-楊輝-帕斯卡三角展開，只要用乘法员咽，就能驗(yàn)證毒涧。
牛頓在24歲的時(shí)候，就把這個(gè)定理推廣到分?jǐn)?shù)的形式了贝室。原始的二項(xiàng)式定理用的是所謂“組合數(shù)”的觀念契讲，例如，從5樣?xùn)|西里選擇3樣滑频，有多少中選法呢捡偏？ 第一個(gè)有5種選擇，第二個(gè)有4種選擇峡迷，第三個(gè)有3種選擇银伟。然而，3個(gè)東西的排列次序是無(wú)所謂的绘搞。3個(gè)東西排列的方式有3×2×1=6種彤避。因此，5選3的方法就是 (5*4*3)/(3*2*1)夯辖，10種琉预。記做C(5 3)=10。傳統(tǒng)的寫法是把5寫成下標(biāo)楼雹，把3寫成上標(biāo)模孩，看起來(lái)像C5的3次方一樣，數(shù)學(xué)符號(hào)就是如此的混亂贮缅。上面5次方的多項(xiàng)式榨咐，x的3次方系數(shù)就是10。
牛頓推廣的時(shí)候谴供，基本沒(méi)怎么變動(dòng)块茁，就是把C(n r)的分子寫成從n開始的r個(gè)數(shù)相乘（每個(gè)遞減1），分母還是r的階乘法。但這個(gè) r 從 0 一直增加的無(wú)窮大数焊。而且永淌，對(duì)x也有要求，x的絕對(duì)值必須小于1佩耳。
不知道人們?yōu)楹斡指挠美ㄌ?hào)的方法表示遂蛀，括號(hào)的寫法同C的寫法正好顛倒n和r的上下，但算式是一樣的干厚。于是李滴，我也習(xí)慣用括號(hào)的寫法了。不必展開蛮瞄，反正知道每個(gè)括號(hào)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字就可以了所坯。展開來(lái)太長(zhǎng)了。
下面是r=1/2時(shí)挂捅，（1+x）^r 展開后前幾項(xiàng)的系數(shù)芹助，
1? ， 1/2闲先， -1/8 状土，1/16 ，-5/128伺糠， 7/256声诸， -21/1024， 33/2048退盯， -429/32768 彼乌，715/65536
注意到系數(shù)是正負(fù)交替的，因此渊迁，人們常常展開 (1-x)^r慰照，干脆把后面的符號(hào)都統(tǒng)一了。注意冪是從0開始的琉朽，0次冪系數(shù)是1毒租，1次冪系數(shù)為1/2, 2次冪的系數(shù)為-1/8...
這個(gè)定理，經(jīng)牛頓推廣以后箱叁，就太神奇了墅垮。
這個(gè)定理，我在很多書上尋找證明耕漱，暫時(shí)還沒(méi)有找到患整。但看見(jiàn)過(guò)用泰勒級(jí)數(shù)證明的孵运，我以為不妥捉撮，因?yàn)樘├粘錾哪甏扰ｎD晚漱贱，泰勒級(jí)數(shù)是在牛頓二項(xiàng)式定理啟發(fā)而發(fā)現(xiàn)的峡钓，因此用泰勒級(jí)數(shù)證明牛頓的二項(xiàng)式定理是顛倒因果的做法。就好比用兩點(diǎn)間距離公式證明勾股定理一樣若河。
暫且算牛頓的女神托夢(mèng)送他的吧能岩。真的很好用。牛頓也很喜歡萧福，有了二項(xiàng)式定理拉鹃，各種開方運(yùn)算像吃飯喝水一樣簡(jiǎn)單。
然后是積分的運(yùn)算鲫忍。定積分毛俏，是求曲線下的面積;不定積分，是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)饲窿。原函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值一減，就可以得到定積分的值焕蹄。這東西逾雄，打個(gè)比方說(shuō)就是，假設(shè)一個(gè)人在走路腻脏，距離一直在變鸦泳，距離的相對(duì)時(shí)間變化率就是速度，速度累積在時(shí)間上的效果就是距離永品。
如果求直線 y=x 下的面積（同x軸一起圍成）做鹰，顯然是個(gè)三角形，結(jié)果是(x^2)/2鼎姐。結(jié)果的次數(shù)比y=x中升高一次钾麸，系數(shù)正好乘以次數(shù)的倒數(shù)。類推炕桨，上面這個(gè)拋物線 y=(x^2)/8 下的面積也是饭尝，次數(shù)升高一次變?yōu)?，系數(shù)乘以1/3.那么就是? (x^3)/24 献宫。
所以钥平，冪函數(shù)的積分運(yùn)算相當(dāng)簡(jiǎn)單，升高次數(shù)姊途，調(diào)整系數(shù)涉瘾。就是這么簡(jiǎn)單。
知道冪函數(shù)的積分和二項(xiàng)式定理捷兰，就可以開啟分析法計(jì)算圓周率了立叛。
先精心挑選這樣一個(gè)圓
圓的方程如下：
得到這個(gè)方程以后，有的人直接就開始用分部積分公式計(jì)算面積了贡茅。有的人先對(duì)后面展開囚巴。先展開，看起來(lái)容易些。
展開以后彤叉，就可以一項(xiàng)的積分了庶柿，于是，可以得到面積的公式
假如直接用這個(gè)公式秽浇，取x=1,計(jì)算浮庐，也可以得到半圓的面積，但是柬焕，收斂會(huì)非常非常緩慢审残。實(shí)際上，牛頓取x=1/4斑举，也就是只計(jì)算0到1/4部分圓面積搅轿，加上旁邊的一個(gè)三角形，直接就獲得1/6圓面積富玷。三角形KDC的面積為 （1/2）×（1/4）× (SQRT(3) /4) = SQRT(3)/32? 璧坟。
