怎樣把中國建為數(shù)學(xué)大國译红？

陳省身

? 近年來中國杰出數(shù)學(xué)家的成績

? 欣賞數(shù)學(xué)的美與力量

? 數(shù)學(xué)史上的幾件大事

? 當(dāng)前的數(shù)學(xué)界

? 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

? 把中國建為數(shù)學(xué)大國！

先從我個人說起：我1926年入天津南開大學(xué)，1930年數(shù)學(xué)系畢業(yè)碧查，那時(shí)我的老師姜立夫

先生是極少數(shù)有博士學(xué)位的人。現(xiàn)在聽說在臺灣的數(shù)學(xué)博士在二百人以上炕矮，全世界的中國

數(shù)學(xué)博士當(dāng)超過千人么夫，在這樣的基礎(chǔ)上，如何使中國的數(shù)學(xué)發(fā)展肤视，使在二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)

史上档痪，中國是一個重要的區(qū)域，自然值得我們深思邢滑。

近年來中國杰出數(shù)學(xué)家的成績

今年一件值得慶祝的事腐螟，是中國在國際數(shù)學(xué)競賽 (International Mathematical Olympiad)

獲得第一（第二、三名依次為蘇聯(lián)及美國）困后。不但如此乐纸，中國總分超出第二名蘇聯(lián)甚遠(yuǎn)。參

加者中摇予，有四人得滿分汽绢，其中兩個是中國人。中國參加這競賽不久：1988年得第二名侧戴，去年

（1989年）也是第一名宁昭。

這項(xiàng)競賽是高中程度跌宛，不包括微積分。但題目需要思考积仗，我相信我是考不過這些小孩子的疆拘。因

此有人覺得，好的數(shù)學(xué)家未必長于這種考試寂曹，競賽勝利者也未必是將來的數(shù)學(xué)家哎迄。這個意見似

是而非。數(shù)學(xué)競賽大約是在百年前從匈牙利開始的隆圆；匈牙利產(chǎn)生了同她的人口不成比例的許多

大數(shù)學(xué)家漱挚！ 在最高深、最活躍的數(shù)學(xué)方面匾灶，中國數(shù)學(xué)家亦有許多杰出的工作棱烂，無法盡舉，簡述

若干如下：

一阶女、1983年颊糜，丘成桐教授因?yàn)?Calabi 猜想及廣義相對論的正質(zhì)量猜想的證明，獲得國際數(shù)學(xué)會

議的費(fèi)爾茲 (Fields) 獎?wù)峦翰取＿@是一個重要的國際數(shù)學(xué)獎（參閱康明昌〈數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎〉

一文）衬鱼。

二、美國數(shù)學(xué)會每年選擇一個最活躍的專題憔杨，作為暑期節(jié)目 (summer institute) 的中心課題鸟赫，

集國際上這方面的專家，舉行為期約三周的工作營（編案：即講習(xí)會）消别。1988和1990年的題目

分別是「多復(fù)變函數(shù)」和「微分幾何」抛蚤。這兩科目里，中國數(shù)學(xué)家是突出的寻狂。微分幾何會丘成桐

是主持人之一岁经。兩會中作特約演講者有蕭蔭堂、莫毅明蛇券、田剛缀壤、項(xiàng)武義及李偉光等。中國這方面

的人數(shù)纠亚，超過百人塘慕。其中才智之士，即將脫穎而出者蒂胞，不可勝數(shù)图呢。舉莫毅明教授為例，他現(xiàn)在是

巴黎大學(xué)教授。巴黎是二十世紀(jì)大數(shù)學(xué)家彭卡瑞 (H. Poincaré) 的根據(jù)地蛤织。莫毅明班門弄斧拥娄，

令人佩服。

三瞳筏、項(xiàng)武義教授最近解決了球裝 (sphere packing) 的問題，這問題有近四百年的歷史牡昆，

是一項(xiàng)富有歷史意義的工作姚炕。

這個單子還可繼續(xù)寫下去。近年來中國數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)丢烘，是不可忽視的柱宦。

欣賞數(shù)學(xué)的美與力量

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)家究竟做些什么事播瞳？一個嚴(yán)格的定義會叫我們進(jìn)入一死胡同掸刊。大致說來，數(shù)學(xué)和其它科學(xué)一樣赢乓，它的發(fā)展基于兩個原因：一忧侧、奇怪的現(xiàn)象；二牌芋、數(shù)學(xué)結(jié)果的應(yīng)用蚓炬。一個例子是以下的「幻方」：

其中九個不同的數(shù)目，橫加躺屁、直加肯夏，和沿兩條對角線的和都是 15∠睿可惜幻方只是一個奇跡驯击，沒有什么應(yīng)用。另外的一個奇跡耐亏，圓周長 L徊都，對直徑 d 的比率，? 苹熏，是一個常數(shù)碟贾。這個結(jié)果可是重要了！π 這個數(shù)滲透了整個數(shù)學(xué)轨域！

楊振寧先生講過這樣的故事：我們都知道袱耽，德國大數(shù)學(xué)家高斯（C. F. Gauss, 1777～1855年）在讀小學(xué)的時(shí)候，老師出了一個題目：求 1+2+3+ … + 某數(shù)的和干发。同學(xué)們都用死算朱巨，高斯卻獲得一個公式，可以立刻求得答案枉长。方法是命

將各項(xiàng)倒過來為冀续，則得

由此可見每列兩個數(shù)的和都是 n+1琼讽。因有 n 列，得

振寧把這辦法講給他的孩子聽洪唐，大家都了解和欣賞钻蹬。但一年后問起這問題，卻都忘了凭需。楊振寧问欠、陳省身同比我們更聰敏的人不同的地方，是我們了解這個推論的美粒蜈、的力量顺献，聽過之后，永遠(yuǎn)不忘枯怖。

談到數(shù)學(xué)的欣賞注整，讓我再講一個故事。當(dāng)代有名的數(shù)論大家 A. Selberg（1917～）曾經(jīng)說度硝，他喜歡數(shù)學(xué)的一個動機(jī)肿轨，是以下的公式：

這個公式實(shí)在美極了；單數(shù) 1,3,5,…… 這樣的組合可以給出 π塘淑。對于一個數(shù)學(xué)家來說萝招，此公式正如一幅美麗的圖畫或風(fēng)景。凡讀過初等微積分的人大多應(yīng)碰到這個公式存捺。如果只因?yàn)榭荚嚩痴b它槐沼，這個人便不必讀數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)史上的幾件大事

不管數(shù)學(xué)是什么捌治，數(shù)學(xué)家在繼續(xù)推展它的范圍岗钩。最奇妙的，是新數(shù)學(xué)得到不能想象的應(yīng)用肖油。數(shù)學(xué)工作的主要目的兼吓，是了解新數(shù)學(xué)的性質(zhì)，尤其是它與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同的地方森枪。結(jié)果把奧妙變?yōu)槌ＷR视搏，復(fù)雜變?yōu)楹唵巍?shù)學(xué)便成為科學(xué)的有力而不可缺少的工具县袱。

茲舉數(shù)學(xué)在歷史上的若干進(jìn)展為例：

一浑娜、一本劃時(shí)代的書是歐幾里得（Euclid，約 300 B.C.）的《幾何原本》式散。它把空間的幾何性質(zhì)筋遭，從一組公理出發(fā)，用邏輯推得。歐書范圍其實(shí)不限于幾何漓滔。這本書把數(shù)學(xué)建為一項(xiàng)系統(tǒng)的學(xué)問编饺，不再是一堆匯集的問題。歷史上有一段時(shí)間响驴，歐書也用來練習(xí)推理透且，成為一本通俗的教科書。

二豁鲤、歐書討論的范圍石蔗，限于平面上的直線、圓周和空間的相當(dāng)圖形畅形。等到笛卡兒（Descartes, 1596～1650年）引進(jìn)解析的方法，便可研究平面上由任意方程

F(x,y)=0

所定的曲線诉探。幾何的范圍擴(kuò)大了日熬！但任意曲線或任意函數(shù)的研究要等牛頓 （Newton, 1642～1727年）和萊布尼茲（Leibniz, 1646～1716年）發(fā)現(xiàn)微積分，才特別有效肾胯。這個時(shí)期另一個重要的數(shù)學(xué)家是費(fèi)瑪（Fermat, 1601～1665年）竖席。他同時(shí)發(fā)現(xiàn)了許多解析幾何和微積分的觀念，可惜他在生前未曾發(fā)表敬肚。

三毕荐、微積分的一個基本新觀念是無窮：無窮大或無窮小。由無窮便引到極限艳馒。澄清這些觀念不是一件容易的事憎亚，費(fèi)了數(shù)學(xué)家約兩百年的時(shí)間。它牽涉到實(shí)數(shù)系統(tǒng)弄慰、拓樸和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)第美。一個關(guān)鍵的人物是康托（Cantor, 1845～1918年）。他的「點(diǎn)集論」獨(dú)創(chuàng)新意陆爽，高瞻遠(yuǎn)囑什往，為數(shù)學(xué)立了基礎(chǔ)。

四慌闭、數(shù)學(xué)上另一個基本概念是「群」别威。最早的問題是解代數(shù)方程，要把任意方程

的根驴剔，表為系數(shù)的只含根號的函數(shù)省古。要回答這個問題，需要群的觀念仔拟。最先認(rèn)清這個關(guān)系的衫樊，是法國的年輕數(shù)學(xué)家伽羅瓦（Galois, 1811～1832年，參閱本刊十四卷九期〈伽羅瓦短暫的一生〉）。群的觀念從此深入到每個數(shù)學(xué)領(lǐng)域科侈。

在幾何方面有變換群载佳。歐氏空間的全體運(yùn)動組成一個群。其它還有投影變換群臀栈、等角變換群等蔫慧。這種群是無限的，它的元素組成一個空間权薯。他們都是李群的特例姑躲。創(chuàng)始人 Lie（1842～1899年）是挪威的數(shù)學(xué)家。李群是數(shù)學(xué)上一個基本的概念盟蚣。

有限群的研究是很困難的黍析。要了解它們的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家把它們分解為單群屎开。但是單群并不簡單：有許多極大的有限單群阐枣。當(dāng)代領(lǐng)袖的代數(shù)學(xué)家說：有限的單群已經(jīng)完全確定了⊙俪椋可是這個定理的證明蔼两，需要二千頁，也還沒有人把它完全寫下來逞度。

五额划、上面說過，解析幾何推廣圖形的范圍档泽。最普通的一個情形俊戳，是在 n 維空間 Rn 內(nèi)，討論一組方程式

其中? 是 Rn 的坐標(biāo)馆匿。這是一個內(nèi)容極為豐富的課題品抽。如果 Fi 是多項(xiàng)式，這是代數(shù)幾何甜熔。高斯當(dāng)年研究了 n=3,m=1 的情形圆恤，即歐氏空間的曲面論。他的一篇論文是微分幾何奠基的文章腔稀。他著重于曲面的參數(shù)表示盆昙。這個想法引到流形的基本觀念，在近代數(shù)學(xué)占有中心的位置焊虏。

流形把空間的觀念擴(kuò)大了淡喜。在微分流形上可以用微積分的工具，實(shí)施種種運(yùn)算诵闭。這個發(fā)展使微分幾何成為數(shù)學(xué)的一個中心領(lǐng)域炼团。

六澎嚣、請容許我談一點(diǎn)同我個人工作有關(guān)的一個方面，即所謂纖維叢和連絡(luò)瘟芝。我們有種種特殊的空間易桃，如歐氏空間、矢量空間锌俱、仿射空間等等晤郑，我們也有一般的拓樸空間。前者有深刻的性質(zhì)贸宏，后者富于普遍性造寝。纖維叢是把兩者串連起來的一個觀念。它是一個自然的發(fā)展吭练，也十分有用诫龙。它有局部的性質(zhì)和整體的性質(zhì)。前者容易描寫和度量鲫咽，后者選出重要的性質(zhì)赐稽。纖維叢的現(xiàn)象，出現(xiàn)于數(shù)學(xué)的各部門和理論物理浑侥。

物理上有四種力：核力、電磁力晰绎、重力和弱力≡⒙洌現(xiàn)在大家公認(rèn)：這四種力的能都是規(guī)范場。纖維叢的連絡(luò)是規(guī)范場論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)荞下。

當(dāng)前的數(shù)學(xué)界

二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個現(xiàn)象伶选，是職業(yè)數(shù)學(xué)家人數(shù)的大量增加。美國幾個數(shù)學(xué)會的全體會員錄列五萬六千多人尖昏，其中絕大多數(shù)是有博士學(xué)位的仰税。

數(shù)學(xué)成為一個社會現(xiàn)象，大約發(fā)生于一百年前抽诉。今年德國數(shù)學(xué)會慶祝成立一百周年陨簇。去年則有美國數(shù)學(xué)會成立百年紀(jì)念。國際數(shù)學(xué)家會議的首次會于1897年在瑞士蘇黎世舉行迹淌，會期三天河绽。第一個演講者是法國的彭卡瑞，題目是「純分析同數(shù)學(xué)物理的關(guān)系」（彭氏因病未能出席唉窃，演講由人代讀）耙饰。值得注意的是，這題目今天仍適用纹份，但「分析」似應(yīng)改為「幾何」苟跪。國際數(shù)學(xué)家會議四年舉行一次棱貌，今年八月在日本京都召開。1994年將回到蘇黎世開會惶凝。

另一個現(xiàn)象是計(jì)算器的侵入岸梨。計(jì)算器引發(fā)了許多新的課題，如 recursive functions拨齐、如 complexity鳞陨、如 fractals 等等。它對于許多數(shù)學(xué)工作有用瞻惋，也使若干問題改觀厦滤。但究竟影響有多大，則是一個聚訟的問題歼狼。數(shù)學(xué)天地雖小掏导，也是很熱鬧的。

計(jì)算器的立刻的影響羽峰，恐怕是數(shù)學(xué)教育趟咆。從前需要學(xué)習(xí)的某些方法，現(xiàn)在不再需要梅屉，至少應(yīng)該改變值纱。這種討論對于數(shù)學(xué)的發(fā)展是健康的。

第二次世界大戰(zhàn)以后坯汤，科學(xué)受到重視虐唠，數(shù)學(xué)研究也得到社會的支持。有些人可靠做研究生活惰聂。這個情形的一個效果疆偿，是使得數(shù)學(xué)工作者同相類的工作者有相類的待遇，因此能吸收有才能的新人進(jìn)入工作的行列搓幌。

一個發(fā)展是研究所的成立杆故。最早而最有名的是普林斯頓的高級研究所 (Institute for Advanced Study, IAS)。這個故事值得一講溉愁！二十年代美國紐約大百貨公司 Macy 公司的老板 L. Barmburger处铛，決定捐一大筆款辦理科學(xué)事業(yè)，問計(jì)于教育家 W. Flexner拐揭。Flexner 先生的建議說：「你的捐款數(shù)目很大罢缸，但是不足以辦一個第一流的試驗(yàn)科學(xué)研究所。如果側(cè)重?cái)?shù)學(xué)投队，則可能是第一流的枫疆。」Barmburger 聽了他的話敷鸦。恰好德國希特勒于1933年取得政權(quán)息楔，IAS 請到愛因斯坦寝贡、懷爾 (H. Weyl) 等教授。不出十年值依，普林斯頓成了世界數(shù)學(xué)研究的中心圃泡。

IAS 的主要節(jié)目，是網(wǎng)羅年輕有為的數(shù)學(xué)家愿险，給他們優(yōu)良的環(huán)境和工作機(jī)會颇蜡。作者第一次在那里，是1943～45年辆亏，完成了我一生最重要的工作风秤。此恩令人難忘。以后我還去過三次（短期訪問不計(jì)）扮叨，都給我愉快的回憶缤弦。

繼起的研究所有：巴黎的 Institute Des Hautes études、英國 Warwick 的Mathematics Institute彻磁、日本京都的 Mathematical Sciences Research Institute碍沐、波昂的 Max Planck Institut，以及巴西衷蜓、墨西哥等研究所累提。最近成立的蘇聯(lián)列寧格勒的研究所，和正在計(jì)劃中的英國劍橋的牛頓研究所磁浇。這些研究所都有著名的常任研究人員斋陪、廣泛的節(jié)目，也十分歡迎合格的訪問數(shù)學(xué)家扯夭。

講到研究所，自然應(yīng)提到柏克萊的 MSRI鞍匾，因?yàn)槲以?jīng)起過若干作用交洗。這是美國國家基金會支持的，是美國第一個政府辦的數(shù)學(xué)研究所橡淑。在一個民主的國家构拳，這種事要經(jīng)過長期的醞釀。等到?jīng)Q定舉辦以后梁棠，它的地點(diǎn)更是大家爭逐的目標(biāo)置森。我同 I. Singer 及 C.C. Moore 送進(jìn)一份計(jì)劃書以后，沒有做過任何爭取的努力符糊。我可以想象柏克萊計(jì)劃的優(yōu)點(diǎn)凫海，獲選并非偶然。1982年成立以來男娄，備受好評行贪。

盡管大家鼓吹交流和合作漾稀，我相信數(shù)學(xué)研究主要靠個人。一個人的創(chuàng)見是努力和靈感的結(jié)晶建瘫，不是同一群人討論的結(jié)論崭捍。數(shù)學(xué)是一個廣泛而復(fù)雜的學(xué)問，自然需要吸收各方面的知識和觀點(diǎn)啰脚。但更要緊的要有個人的風(fēng)格殷蛇。

數(shù)學(xué)的研究與其它科學(xué)相比，有一個顯著的不同的地方:它是向多方面發(fā)展的橄浓。當(dāng)今的物理科學(xué)和生物科學(xué)往往有幾個主題粒梦。但數(shù)學(xué)的研究方向比較可隨個人自由選擇。所以工作不必集中于幾個大的中心贮配，研究人員可較分散谍倦。一個有能力、有決心的人泪勒，可以隨不同的途徑昼蛀，完成他的志愿。

二十世紀(jì)是數(shù)學(xué)的一個黃金時(shí)代圆存。

純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)上一個極大的謎是：為什么數(shù)學(xué)會有用叼旋？

上面所講的圓周率 π 遍見于數(shù)學(xué)公式。因?yàn)橐姑總€二次方程式都有解沦辙，我們引進(jìn)復(fù)數(shù)? 夫植。沒有復(fù)數(shù)就沒有電學(xué)，就沒有近代文明油讯！

近來一種風(fēng)氣详民，是在數(shù)學(xué)機(jī)構(gòu)上，加「應(yīng)用」兩字陌兑。其實(shí)純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是很難畫界的沈跨。再舉一個例：代數(shù)拓樸中有所謂「結(jié)」論，問空間繩子的結(jié)兔综，是否可不經(jīng)剪斷而解開饿凛。例如下圖的梅花結(jié)就解不開。

這個問題在分子生物學(xué) DNA 結(jié)構(gòu)的研究中软驰，極為重要涧窒。所以生物學(xué)家需要學(xué)微分幾何與代數(shù)拓樸。柏克萊的鐘斯 (V. Jones) 教授因?yàn)椤附Y(jié)」論與算子代數(shù)的工作锭亏，獲國際數(shù)學(xué)會的1990年費(fèi)爾茲獎纠吴。他引進(jìn)了結(jié)的新的不變式，現(xiàn)稱鐘斯多項(xiàng)式（參閱本刊二十一卷十二期〈數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎〉一文）慧瘤。

科學(xué)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)呜象。但是歷史告訴我們膳凝，他們所需要的數(shù)學(xué)，往往為數(shù)學(xué)家所已發(fā)展的恭陡。這是數(shù)學(xué)家值得自豪的蹬音，也是一件十分神秘的事實(shí)。

我相信數(shù)學(xué)是有內(nèi)容的休玩，不完全是邏輯著淆。二十世紀(jì)數(shù)學(xué)中的菩薩包括黎曼 (Riemann)、彭卡瑞拴疤。大致說來永部，黎曼把數(shù)學(xué)建立在流形的觀念上，彭卡瑞則發(fā)展高維的數(shù)學(xué)呐矾。流形不必光滑苔埋，非緊致的流形將有更多幾何性質(zhì)，若干無限維流形會有美麗的現(xiàn)象蜒犯，這些都是可以期望的遠(yuǎn)景组橄。

兩千年的數(shù)學(xué)發(fā)展是連續(xù)的。這個現(xiàn)象當(dāng)可繼續(xù)罚随。不過二十一世紀(jì)的數(shù)學(xué)將是一個新的天地玉工。世變不可知，可引以自慰的是數(shù)學(xué)是一個堅(jiān)固的結(jié)構(gòu)淘菩。我想有人類就有數(shù)學(xué)遵班！

把中國建為數(shù)學(xué)大國！

中國數(shù)學(xué)的發(fā)展已具有充分的條件潮改，不妨考慮一下當(dāng)前有些什么事可做：

一狭郑、要有信心。千萬把自卑的心理放棄汇在，要相信中國會產(chǎn)生許多國際第一流的數(shù)學(xué)家翰萨。也沒有理由中國不能產(chǎn)生牛頓、高斯級的數(shù)學(xué)家趾疚。

法國文學(xué)家羅曼羅蘭寫過一本書缨历，記載中古時(shí)代德國音樂家在羅馬的故事以蕴。羅馬人笑他們糙麦，這種野蠻的人，如何懂音樂丛肮？沒有多少年德國出了巴哈赡磅、貝多芬。我做學(xué)生的時(shí)候宝与，曾經(jīng)看見日本人寫的文章焚廊，說中國人只能習(xí)文史冶匹，不能念科學(xué)。這種荒謬的說法咆瘟，當(dāng)時(shí)也可言之成理嚼隘。

中國應(yīng)建立若干基地。交流仍是必要的袒餐。但應(yīng)求逐漸對等飞蛹。

二、希望社會能認(rèn)識中國成為數(shù)學(xué)大國是民族的光榮灸眼，而予以鼓勵和支持卧檐。例如，不要把數(shù)學(xué)家看成「怪人」焰宣。中國沒有出牛頓霉囚、高斯這樣偉大的數(shù)學(xué)家，是社會的匕积、經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)象盈罐。中國的大數(shù)學(xué)家，如劉徽闸天、祖沖之暖呕、李治等都生逢亂世。我想治世時(shí)聰敏人都去求功名做官去了苞氮。這情形現(xiàn)在并沒有改變湾揽。要提倡數(shù)學(xué)，必須給數(shù)學(xué)家適當(dāng)?shù)纳鐣匚缓痛觥?/p>

愿中國的青年和未來的數(shù)學(xué)家笼吟，放大眼光展開壯志库物，把中國建為數(shù)學(xué)大國！