【自動控制理論】現(xiàn)代控制理論之狀態(tài)觀測器

一铸题、狀態(tài)觀測器的意義

狀態(tài)反饋相對于輸出反饋的控制效果更好铡恕，因此對于一個只有輸入量和輸出量的系統(tǒng)，需要模擬系統(tǒng)得到其狀態(tài)量才能進行狀態(tài)反饋丢间。

狀態(tài)觀測器的一般形式

可以證明這種狀態(tài)反饋和直接進行的狀態(tài)反饋是等價的探熔，因此對于變量難以觀測的系統(tǒng)，常常使用狀態(tài)觀測器作為反饋變量的產(chǎn)生器烘挫。

上圖等價的形式

二诀艰、全維狀態(tài)觀測器

全維狀態(tài)觀測器對于每一個狀態(tài)變量進行估計。

1.定義

系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀
系統(tǒng)輸入 $u$ 輸出 $y$ 可以直接測量
系統(tǒng)的觀測狀態(tài)收斂于系統(tǒng)狀態(tài) $\lim_{x \to \infty} \hat{x}(t) - x(t) = 0$

2.形式

系統(tǒng)的全維狀態(tài)觀測器的形式為
$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})$
推導觀測器誤差方程為
$\dot{\tilde{x}}=(A-LC)\tilde{x}$
通過這個誤差方程配置全維狀態(tài)觀測器的極點饮六。而全維狀態(tài)觀測器的極點可以任意配置的充分必要條件是原系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀其垄，因此定義中需要系統(tǒng)的能觀性。

3.設計步驟

根據(jù)需求設計觀測器的特征值
確定觀測器的狀態(tài)增益矩陣 $L$ 喜滨，使得矩陣 $(A-LC)$ 的特征值為設計的特征值
構(gòu)造全維狀態(tài)觀測器
$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})$
進行數(shù)字仿真

4.全維狀態(tài)觀測器的模擬結(jié)構(gòu)圖

橙色部分為全維狀態(tài)觀測器

5.系統(tǒng)的維數(shù)分析

原系統(tǒng)為 $n$ 維捉捅，狀態(tài)觀測器為 $n$ 維
一共是 $2n$ 維

三、降維狀態(tài)觀測器

降維狀態(tài)觀測器的原理是虽风，由于系統(tǒng)的輸出 $y$ 可以直接輸出部分變量的信息棒口，因此可以狀態(tài)觀測器的維度可以降低，以達到節(jié)約系統(tǒng)維數(shù)的目的辜膝。

1.定義

由系統(tǒng)輸出可以直接得到若干狀態(tài)變量時无牵，可以降低系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的維數(shù)。維數(shù)的減少量等于輸出能夠推導得到的狀態(tài)變量的個數(shù)厂抖。

2.形式

降維狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程
$\dot{z}=(A_{22}-LA_{12})z+(B_{2}-LB_{1})u+[(A_{22}-LA_{12})L+(A_{21}-LA_{11})]y$
降維狀態(tài)觀測器的輸出方程
$\hat{x}=Q_1y+Q_2(z+Ly)$

3.設計步驟

構(gòu)造坐標變換矩陣 $P$ 茎毁，其前p行為C，后n-p行為任意構(gòu)造的G，最終使得P為非奇異矩陣
$P= \begin{bmatrix} C \\ G \end{bmatrix}$
得到常用矩陣Q的表達式
$Q=P^{-1}=\begin{bmatrix} Q_1 \ \ Q_2 \end{bmatrix}$
使用變換將原系統(tǒng)化為
$\sum \left( A, B, C \right ) \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix} u\\ y=\begin{bmatrix} I & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=x_1 \end{matrix}\right.$
只需要觀測子向量 ${x_2}$ 七蜘，構(gòu)造其全維狀態(tài)觀測器即可谭溉。
將上系統(tǒng)寫作另外一種形式
$\left\{\begin{matrix} \dot{x}=A_{22}x_2+(A_{21}y+B_2u) \\ \dot{y}-A_{11}y-B_{1}u=A_{12}x_2 \end{matrix}\right.$
因此可以定義新的輸入和輸出量
輸入 $u_1=A_{21}y+B_2u$
輸出 $w=\dot{y}-A_{11}y-B_1u$
則系統(tǒng)可以寫成標準形式的狀態(tài)空間表達式
$\left\{\begin{matrix} \dot{x}=A_{22}x_2+u_1 \\ w=A_{12}x_2 \end{matrix}\right.$
構(gòu)造 $n-p$ 維的狀態(tài)觀測器
$\dot{\hat{x}}_2=(A_{22}-LA_{12})\hat{x}_2+Lw+u_1=(A_{22}-LA_{12})\hat{x}_2+L(\dot{y}-A_{11}y-B_1u)+(A_{21}y+B_2u)$
公式中含有 $\dot{y}$ ，不利于設計和使用橡卤，因此需要繼續(xù)進行形式上的變換扮念，令 $z=\hat{x}_2-Ly$
即得到上述降維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程的形式：
$\dot{z}=(A_{22}-LA_{12})z+(B_{2}-LB_{1})u+[(A_{22}-LA_{12})L+(A_{21}-LA_{11})]y$
而反過來， $x_1=y\\\hat{x}_2=z+Ly$ 則系統(tǒng)的完整狀態(tài)重構(gòu)方程可以寫成
$\hat{x}=\begin{bmatrix} \hat{x}_1 \\ \hat{x}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y \\ z+Ly \end{bmatrix}$
最后轉(zhuǎn)換回原系統(tǒng)的狀態(tài)空間：
$\tilde{x}=P^{-1}\hat{x}=Q\hat{x}=Q_1y+Q_2(z+Ly)$ 即為降維狀態(tài)觀測器的輸出方程

4.降維狀態(tài)觀測器的模擬結(jié)構(gòu)圖**

模擬結(jié)構(gòu)圖過于復雜碧库，因此不做展示

5.系統(tǒng)的維數(shù)分析

原系統(tǒng)為 $n$ 維柜与，狀態(tài)觀測器為 $n-p$ 維
則構(gòu)造出的系統(tǒng)為 $2n-p$ 維

最后編輯于：2021.07.23 00:21:21

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