直觀被公理化后空入，公理化承載的信息往往比最初的直觀更多，同時公理化后的體系在邏輯上不依賴直觀逃片，直觀只是人類發(fā)現(xiàn)這個體系的媒介葵礼，而并不必然地參與到體系中去。
無論課本用多么直觀的描述如圖形形變沙合、歐拉與七座橋等問題來引入硅确，拓?fù)淇臻g的數(shù)學(xué)實現(xiàn)歸根結(jié)底就是在集合X的子集上指定一系列結(jié)構(gòu)集（開集）烧颖，滿足3條公理：
1）空集與全集是結(jié)構(gòu)集
2）結(jié)構(gòu)集的任意并是結(jié)構(gòu)集
3）結(jié)構(gòu)集的有限交是結(jié)構(gòu)集
無論如何用集合大小刀荒、面積體積來引入測度，可測空間的數(shù)學(xué)實現(xiàn)歸根結(jié)底是在集合X的子集上指定一系列結(jié)構(gòu)集（可測集）棘钞，滿足3條公理：
1）全集是結(jié)構(gòu)集
2）結(jié)構(gòu)集的補(bǔ)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)集
3）結(jié)構(gòu)集的可列并是結(jié)構(gòu)集
可見拓?fù)淇臻g和可測空間的定義中缠借，各自的3條公理均只斷言了結(jié)構(gòu)集中空集與全集的存在，或是集合運(yùn)算下的封閉宜猜，這兩種性質(zhì)泼返。
我們稱，在某些 集合運(yùn)算封閉性 及 特殊集合存在性 兩種公理約束下姨拥，在其冪集上挑選出一系列結(jié)構(gòu)集的空間是結(jié)構(gòu)集空間，拓?fù)淇臻g和可測空間都是結(jié)構(gòu)集空間叫乌。把拓?fù)淇臻g公理中任意并改成有限并柴罐、可列并，或是同時把有限交改成可數(shù)交憨奸、任意交所得到的空間革屠，以及把σ代數(shù)的要求中可列并改為任意并、有限并得到的空間排宰，都是結(jié)構(gòu)集空間似芝。
而注意到純集合論的事實：
,
即原像操作與集合運(yùn)算完美交換，于是我們可以對這類結(jié)構(gòu)集空間定義態(tài)射：
是結(jié)構(gòu)集空間的態(tài)射板甘，當(dāng)且僅當(dāng)
.
可以驗證態(tài)射的復(fù)合是態(tài)射党瓮，從而同一類型的結(jié)構(gòu)集及態(tài)射構(gòu)成范疇。
類比同胚盐类，我們可以定義結(jié)構(gòu)集意義下的同構(gòu)寞奸，即一雙射f呛谜，與其逆映射均為態(tài)射。（特別地蝇闭，可測映射f若是雙射呻率，且f^-1是可測映射，則稱f是可測空間間的同___?這里該當(dāng)有一雅字呻引，但我們先廣泛地叫同構(gòu)礼仗。）
結(jié)構(gòu)集空間享有拓?fù)淇臻g的一切泛性質(zhì)，子空間拓?fù)洹涌臻g結(jié)構(gòu)集逻悠，乘積拓?fù)洹朔e結(jié)構(gòu)集元践，商拓?fù)洹探Y(jié)構(gòu)集...
以上只是抽象，我們要問問題童谒，解決問題单旁。
拓?fù)淇臻g分類是大問題，可測空間分類我們同樣可以問饥伊，一般的結(jié)構(gòu)集空間如何在同構(gòu)意義下分類象浑，我們自然也可以問。拓?fù)淇臻g的同胚分類被證明不如同倫分類有價值琅豆，同倫的構(gòu)建歸根結(jié)底是考慮的態(tài)射f1愉豺，f2能否被
在0和1處連接。容許乘積的結(jié)構(gòu)集空間自然也可以定義這種“同倫”茫因，即我們要求X×I→Y是態(tài)射蚪拦，且在0處取f1，在1處取f2冻押。
拓?fù)淇臻g中我們建立不變量來處理分類問題驰贷，首先是基本群，或者說同倫群洛巢，其方法論是考慮C→X的態(tài)射來研究X括袒，其中C是某完全已知的空間，我稱為常量空間或忱窃ǎ空間箱熬，其次是同調(diào)群，考慮C_n→X的態(tài)射自由生成的Abel群狈邑，同時要求一系列吵切耄空間C_n本身有某種在邊緣算子下的過渡性。我們完全不要求態(tài)射必須是連續(xù)映射米苹，而只要求是一般的結(jié)構(gòu)集映射糕伐，同時完全不考慮其幾何意義，我們完全回歸集合論層面蘸嘶。
可測空間中我們考慮所有結(jié)構(gòu)集組成的集合上的特殊函數(shù)：測度良瞧，并利用測度定義積分陪汽，但是可惜的是，可測空間的理論完全服務(wù)于概率或分析褥蚯，人們并沒有傾向于去問測度和積分給出多少可測空間本身的不變量挚冤。
但是，作為兩種結(jié)構(gòu)集空間的例子赞庶，其學(xué)科體系各自的發(fā)展導(dǎo)致了不同的問題和方法训挡，現(xiàn)在我要問，能不能融合歧强？即：能不能在拓?fù)淇臻g上引入“所有開集的集合上的函數(shù)”并構(gòu)建積分澜薄？（這顯然因為開集容許任意并而很難辦到，但如果我們1在只容許可數(shù)并的偽拓?fù)淇臻g上做摊册？2把函數(shù)的取值選在更為牛一點(diǎn)的實數(shù)域上肤京，比如可以公然存在實無窮小量？）能不能在可測空間上引入同倫及代數(shù)化手段茅特，導(dǎo)致可測空間上的不變量與可測空間分類問題忘分？另，微分拓?fù)浒仔蓿⒎纸Y(jié)構(gòu)本質(zhì)依賴于什么結(jié)構(gòu)集或是更多的結(jié)構(gòu)饭庞？
拓?fù)淇臻g和可測空間已有的研究方法和問題，能在多大程度上推廣到一般的結(jié)構(gòu)集空間上去熬荆？拓?fù)淇臻g的公理為什么代表了圖形形變的直觀？改以下又怎么不符合這種直觀了绸狐？拓?fù)淇臻g研究中重要的概念：同倫卤恳，同調(diào)，覆蓋空間寒矿，纖維突琳，多大程度上能用于一般的結(jié)構(gòu)集空間？可測空間和拓?fù)淇臻g的方法能否互鑒符相？細(xì)細(xì)道來拆融。
