究中點(diǎn)四邊形悟凸凹四邊形的統(tǒng)一性
——讓思維力在步步逼近中閃光
究中點(diǎn)四邊形悟凸凹四邊形的統(tǒng)一性
——讓思維力在步步逼近中閃光
摘要：
平行四邊形是最美的四邊形惩猫，也是所有四邊形的歸屬。何出此言蚜点？無論是特殊四邊形還是任意四邊形轧房，無一例外，它們的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形绍绘。除了小學(xué)所學(xué)的所有凸四邊形如此奶镶，就是中學(xué)將要學(xué)習(xí)的凹四邊形也是如此，逃脫不了平行四邊形對(duì)其的牽引與羈絆陪拘。
本文就與大家一道漫步在探尋凸凹四邊形的中點(diǎn)四邊形統(tǒng)一歸屬平行四邊形的思維之旅厂镇，也領(lǐng)略求證中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形面積一半的智慧之風(fēng)。
關(guān)鍵詞：四邊形統(tǒng)一性??思維能力?培養(yǎng)
最值得耐人尋味的是任意凸凹四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形左刽，并且是面積是原四邊形的一半捺信。也許平行四邊形是美麗的四邊形吧，為何具有如此強(qiáng)悍的統(tǒng)一性與歸屬感悠反！在數(shù)學(xué)世界里残黑，表面看似紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象馍佑，往往具有內(nèi)在的統(tǒng)一性與歸屬性。這需要學(xué)生具有強(qiáng)烈的探求精神梨水，熱切的探求興趣拭荤，正確的探求方法，嚴(yán)密的探求思維疫诽，震撼的生命體驗(yàn)舅世，數(shù)學(xué)將會(huì)成為一科最為怡情的學(xué)問。
學(xué)生們都知道奇徒，四邊形是由四條線段首尾依次連接而圍成的封閉圖形雏亚。在四邊形四條邊上各取中點(diǎn)，將四個(gè)中點(diǎn)依次連接摩钙，圍成的新的四邊形罢低，我們可以稱之為中點(diǎn)四邊形。
一胖笛、特殊四邊形网持，探尋秘密的精彩開始
探究四邊形的中點(diǎn)四邊形，一般從正方形開始的长踊。學(xué)生通過操作可以發(fā)現(xiàn)正方形的中點(diǎn)四邊形仍然是正方形功舀。只是方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，并且面積是原來正方形面積的一半身弊。
接著便可探究長(zhǎng)方形的中點(diǎn)四邊形辟汰。通過操作可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的中點(diǎn)四邊形是菱形。菱形再內(nèi)接中點(diǎn)四邊形又是長(zhǎng)方形阱佛。每次中點(diǎn)四邊形是上級(jí)四邊形面積的一半帖汞。
平行四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是是一個(gè)新的平行四邊形。并且面積也是原平行四邊形面積的一半瘫絮。新平行四邊形再內(nèi)接中點(diǎn)四邊形仍然是平行四邊形涨冀，面積是上級(jí)平行四邊形的1/2，是最上階平行四邊形面積的1/4麦萤。方向與最上階平行四邊形一致。
等腰梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是菱形扁眯。普通梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是平行四邊形壮莹。
至此，我們可以發(fā)現(xiàn)姻檀，無論是正方形命满、長(zhǎng)方形、菱形绣版、平行四邊形胶台、梯形中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形歼疮。當(dāng)然學(xué)生也知道正方形、長(zhǎng)方形和菱形都是特殊的平行四邊形诈唬。正因?yàn)檎叫魏唷㈤L(zhǎng)方形、菱形是特殊的平行四邊形铸磅，于是更有益于學(xué)生觀察赡矢、想象，更能夠體會(huì)從特殊到一般的邏輯推理思維與思考辨析途徑阅仔。
二吹散、任意四邊形，深入精致的思維旅行
在學(xué)生確認(rèn)平行四邊形和梯形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形基礎(chǔ)上八酒，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)問空民，提出問題：普通四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是一個(gè)什么樣的圖形呢？???
通過動(dòng)手操作羞迷、探究界轩，進(jìn)一步體驗(yàn)探尋新的發(fā)現(xiàn)。
通過作圖實(shí)踐闭树、認(rèn)真觀察耸棒，可以發(fā)現(xiàn)任意四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。那么如何讓學(xué)生理解中點(diǎn)四邊形一定就是平行四邊形呢报辱。
在此處引入三角形中位線的理解与殃。在三角形的兩條邊上各取中點(diǎn)，相連得到的一條線段叫做三角形的中位線碍现。三角形的中位線具有什么性質(zhì)呢幅疼？我們可以通過利用添加了一條中位線的兩個(gè)完全一樣的三角形，其中一個(gè)倒置組合成一個(gè)平行四邊形昼接。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)爽篷，兩個(gè)拼接在一起的三角形的兩條中位線剛好在同一條直線上。并且與上下底邊互相平行且相等慢睡。于是我們從感觀上就可以獲得認(rèn)識(shí)逐工，三角形的中位線平行于底邊并且等于底邊的一半。
在確認(rèn)三角形的中位線平行并等于底邊的一半之后漂辐±岷埃回到普通四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形圖形當(dāng)中，此時(shí)我們添加一條原四邊形的對(duì)角線髓涯。然后隱去下半部分袒啼，觀察上半部分我們可以發(fā)現(xiàn)：上半部分三角形當(dāng)中兩邊中點(diǎn)的連線，其實(shí)就是三角形的中位線。所以這條中位線蚓再，它會(huì)與剛剛添加的原四邊形的對(duì)角線平行滑肉，并且等于這條對(duì)角線的一半。同理摘仅，隱去上半部分只觀察下半部分剩下的三角形靶庙。同樣可以發(fā)現(xiàn)下面也是一個(gè)三角形。三角形的中位線也會(huì)等于對(duì)角線的一半实檀，并且與之平行惶洲。這樣一來，把上下放在一起就可以輕而易舉地發(fā)現(xiàn)膳犹，上面一條中位線和下面一條中位線恬吕，它們是互相平行的，并且也是相等的须床。而這兩條中位線就是原四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的上下兩條邊铐料。同理可得，內(nèi)接中點(diǎn)四邊形左右兩條邊也是互相平行并且相等的豺旬。這樣我們就可以確認(rèn)中點(diǎn)四邊形是一個(gè)平行四邊形了钠惩。
平行四邊形、梯形族阅、任意四邊形篓跛，它們的內(nèi)接四邊形都是平行四邊形。從這個(gè)角度來說坦刀，平行四邊形就是四邊形的一種歸屬愧沟。這時(shí)我們可以引導(dǎo)孩子進(jìn)一步向下走。像這種平行四邊形鲤遥、梯形沐寺、任意四邊形，我們稱之為凸四邊形盖奈。
凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180° 的四邊形混坞，把四邊形的任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁钢坦，這樣的四邊形叫做凸四邊形究孕。
三、凸凹四邊形爹凹，閃亮智慧的獨(dú)特體驗(yàn)
凸四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形是平行四邊形蚊俺，那么與之對(duì)應(yīng)的凹四邊形會(huì)怎么樣呢？
于是出示凹四邊形逛万，并讓學(xué)生進(jìn)行操作，找出四條邊的中點(diǎn)，把四個(gè)中點(diǎn)連接得到新的四邊形宇植。同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)在這個(gè)新的四邊形當(dāng)中得封，其中有一條邊在原四邊形的外側(cè)。新的四邊形看上去似乎也是平行四邊形指郁。那么到底是不是平行四邊形呢忙上？答案是肯定的，那么如何引導(dǎo)孩子來進(jìn)行思考與邏輯證明呢闲坎。
我們可以觀察發(fā)現(xiàn)凹四邊形[1]疫粥，其中有兩條邊是凹進(jìn)去的。正是因?yàn)槿绱搜灾悬c(diǎn)四邊形有一條線露在原四邊形的外側(cè)梗逮。這時(shí)我們引導(dǎo)孩子將向里凹的兩條線段的兩側(cè)端點(diǎn)進(jìn)行連接。便可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形是內(nèi)外嵌套的绣溜。在這兩個(gè)內(nèi)外嵌套的三角形當(dāng)中慷彤，他們擁有一條共同的底邊即剛剛連接所得到的線段。而這兩個(gè)三角形的中位線怖喻，就是我們內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的一組對(duì)邊底哗。在前面的三角形中位線知識(shí)的基礎(chǔ)上∶校可以明白這一組對(duì)邊是平行也是相等的跋选。
另外，我們將原四邊形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連接哗蜈，得到另一條對(duì)角線的話前标，同樣也可以得出另外一組對(duì)邊也是平行且相等的。
至此恬叹，凸四邊形與凹四邊形任何一個(gè)四邊形候生，它們的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。
四绽昼、面積求證唯鸭，思維在步步逼近中閃光
那么一個(gè)任意四邊形內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的多少呢？
平行四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形面積是原平行四邊形面積的一半硅确。證明很簡(jiǎn)單目溉，只需要將四個(gè)中點(diǎn)對(duì)點(diǎn)連接，就可以得到八塊小三角形菱农，在八塊小三角形當(dāng)中缭付，兩兩全等。即可證得中點(diǎn)四邊形面積是原平行四邊形面積的一半循未。
對(duì)于普通四邊形的中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形面積的一半陷猫，如何進(jìn)行證明呢？
可以通過連接一組對(duì)點(diǎn)作出原四邊形的一條對(duì)角線。這樣绣檬，原四邊形變被為分為兩個(gè)三角形足陨，同時(shí)中點(diǎn)四邊形也被分成了兩個(gè)平行四邊形。此時(shí)可以探究娇未，其中一個(gè)三角形墨缘，與其內(nèi)部平行四邊形的面積關(guān)系。通過觀察推理可以發(fā)現(xiàn)零抬。平行四邊形的底就是三角形的中位線镊讼，是三角形的底的一半，平行四邊形的高是三角形的高的一半平夜。通過平行四邊形與三角形面積公式可得蝶棋，平行四邊形是三角形面積的一半。同理可得褥芒，另一側(cè)也是如此嚼松。最后可以得到中點(diǎn)四邊形面積是原四邊形面積的一半。
對(duì)于凹四邊形原理也是一樣锰扶。內(nèi)接中點(diǎn)四邊形的面積仍然是原四邊形面積的一半献酗。方法依然是作對(duì)角線，通過中位線的性質(zhì)可證三角形與內(nèi)置平行四邊形的面積關(guān)系坷牛。最后可得中點(diǎn)四邊形是原四邊形面積的一半罕偎。
最值得耐人尋味的是任意凸凹四邊形的內(nèi)接中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形，并且是面積是原四邊形的一半京闰。也許平行四邊形是美麗的四邊形吧颜及，為何具有如此強(qiáng)悍的統(tǒng)一性與歸屬感？
事實(shí)上蹂楣，在數(shù)學(xué)世界里俏站，表面看似紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象，往往具有內(nèi)在的統(tǒng)一性與歸屬性痊土。這需要學(xué)生具有強(qiáng)烈的探求精神肄扎，熱切的探求興趣，正確的探求方法赁酝，嚴(yán)密的探求思維犯祠，震撼的生命體驗(yàn)，數(shù)學(xué)將會(huì)成為一科最為怡情的學(xué)問酌呆。
注釋：
[1]把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)衡载，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形隙袁。(這樣的邊有且僅有兩條痰娱。)凹四邊形區(qū)別于凸四邊形：有且僅有一個(gè)角大于180°,但小于360°弃榨；其余三個(gè)角中,與最大角相鄰的兩個(gè)角一定是銳角。(最大角的對(duì)角可以是銳角猜揪，直角或鈍角惭墓。其外角等于其他三個(gè)內(nèi)角之和。)
參考文獻(xiàn)：
[1]?幾何原理/（法）嚇爾勃特（D.Hilbert）著.傅種孫而姐，韓桂叢譯.—上海：商務(wù)印書館[發(fā)行者]嵌灰，民國(guó)21[1932]喂窟，共學(xué)社科學(xué)叢書
[2]?2013中考數(shù)學(xué)幾何考點(diǎn)詳解之四邊形。學(xué)科網(wǎng)[引用日期2013-05-08]
[3]?中點(diǎn)四邊形性質(zhì)直觀認(rèn)識(shí)/支點(diǎn)數(shù)學(xué)發(fā)布.—百度：中點(diǎn)四邊形性質(zhì)-教育-高清視頻-愛奇藝春畔，2018年03月11日
