理想氣體小振幅波狀態(tài)方程

設(shè)理想氣體壓強 $p$ ，密度 $\rho$ ，熵值 $s$ 滿足 $p=p(\rho,s)$ 仙畦，在等熵變化過程中壓強的初始值為 $p_{0}(\rho_{0},s)$ ，將 $p(\rho,s)$ 在 $p_{0}$ 處展開成級數(shù)得：
$p(\rho,s)=p_{0}(\rho_{0},s)+\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})+...+\frac{1}{n!}\frac{\partial^{n}p}{\partial\rho^{n}}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})^{n}$

$p(\rho,s)-p_{0}(\rho_{0},s)=\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})+...+\frac{1}{n!}\frac{\partial^{n}p}{\partial\rho^{n}}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})^{n}$

$\Delta p=\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}\Delta\rho+...+\frac{1}{n!}\frac{\partial^{n}p}{\partial\rho^{n}}|_{\rho=\rho_{0},s=s}\Delta\rho^{n}$

由于小振幅波 $\Delta\rho$ 的高次冪相對于一次冪可以忽略不記音婶，得狀態(tài)方程：
$\Delta p=\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}\Delta\rho$

$\Delta p=c_{0}^{2}\Delta\rho$

（以下部分解釋暫無找到確切依據(jù)）
等溫波速
根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程 $pV=\frac{mRT_{K}}{M}$ 慨畸，如果在等溫變化下，能量快速傳遞不轉(zhuǎn)化為內(nèi)能衣式，溫度 $T_{K}$ 保持不變寸士，可推出等溫變化波速：
$\sqrt{\frac{\partial p}{\partial\rho}}=\sqrt{\frac{\Delta p}{\Delta\rho}}=\sqrt{\frac{\Delta pV}{\Delta m}}=\sqrt{\frac{\frac{\Delta mRT_{K}}{M}}{\Delta m}}=\sqrt{\frac{RT_{K}}{M}}=c_{T}$

等熵波速
在等熵絕熱的情況下，能量傳遞無法快速消散并轉(zhuǎn)化為內(nèi)能碴卧，系統(tǒng)對外做功 $dA$ 為：
$dA=-\frac{m}{M}C_{V}dT=pdV$

對理想氣體狀態(tài)方程兩邊微分得：
$pdV+Vdp=\frac{m}{M}RdT$

合并上兩式消去 $dT$ 得：
$(C_{V}+R)pdV=-C_{V}Vdp$

代入絕熱指數(shù) $\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}=\frac{C_{V}+R}{C_{V}}$ 得：
$\gamma\frac{dV}{V}=-\frac{dp}{p}$

將兩邊積分得到等熵變化中其乘積為恒定常數(shù)：
$pV^{\gamma}=C$

現(xiàn)有一定質(zhì)量氣體從 $p_{0}V_{0}$ 變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=pV" alt="pV" mathimg="1">弱卡，則滿足下列式子：
$pV^{\gamma}=p_{0}V_{0}^{\gamma}$

$p=p_{0}(\frac{V_{0}}{V})^{\gamma}=p_{0}(\frac{\rho}{\rho_{0}})^{\gamma}$

將上式代入 $\sqrt{\frac{\partial p}{\partial\rho}}|_{\rho=\rho_{0}}$ 中得等熵波速：
$c_{s}=\sqrt{\frac{\partial p}{\partial\rho}}|_{\rho=\rho_{0}}=\sqrt{p_{0}\frac{\gamma\rho^{\gamma-1}}{\rho_{0}^{\gamma}}}|_{\rho=\rho_{0}}=\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma RT_{K}}{M}}$

最后編輯于：2020.04.21 18:15:29

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