作者：正羊羊

先上框架，在這個(gè)框架中跟伏，最值得我們思考的是1扎筒、2兩部分，而第3部分是拿來驗(yàn)證我們的想法的酬姆。

（框架很重要）

我們先說一說課本上對(duì)增寬的定義嗜桌。在上一篇中，我們有提到辞色，輻射與吸收中的光的頻率并不是一個(gè)確定值骨宠，而是存在一定范圍的（γ1，γ2）（γ1<γ0<γ2）,所以我們要拿一個(gè)線型函數(shù)來修正能級(jí)上粒子數(shù)的變化概率相满。 但這個(gè)頻率寬度究竟有多寬层亿，我們并不知道。為了研究方便立美，我們定義了一個(gè)頻率寬度匿又，其包括

到

之間對(duì)應(yīng)的頻率段，這個(gè)頻率段就叫增寬

增寬雖然定義為一個(gè)頻率段建蹄，但其與增益系數(shù)碌更、粒子數(shù)反轉(zhuǎn)裕偿、壽命等等概念都有著很強(qiáng)的聯(lián)系，我們先得弄清楚一些關(guān)鍵的東西痛单，才能夠把增寬這塊硬骨頭給啃下來嘿棘。這就像是武俠小說里的主人公要打通任督二脈或領(lǐng)悟某些要訣才可以練就絕世神功一樣。（此處向金庸老先生致敬）

增寬形成的兩個(gè)階段

我們?cè)趯W(xué)激光的過程中旭绒，容易把激光的制作過程混在一起鸟妙，但其實(shí)，這過程整體上分兩個(gè)階段挥吵。將這兩個(gè)階段分開重父，有助于我們理清里面的物理量關(guān)系。

第一個(gè)階段（準(zhǔn)備階段）：形成粒子數(shù)反轉(zhuǎn)忽匈；

第二個(gè)階段（工作階段）：對(duì)入射光增益放大房午。

【1】形成粒子數(shù)反轉(zhuǎn)就是制作三（四）能級(jí)系統(tǒng)，這個(gè)時(shí)候需要激勵(lì)源脉幢。注意歪沃，這個(gè)激勵(lì)源與要放大的入射光是兩個(gè)不一樣的事物。這個(gè)激勵(lì)源只是為了形成能級(jí)系統(tǒng)嫌松，將低能級(jí)的粒子抽運(yùn)到高能級(jí)沪曙，并沒有實(shí)際放大效益。我們把這個(gè)抽運(yùn)的速率記為R萎羔，在課本33頁中液走，我們可以看到R的應(yīng)用，它和壽命共同表示光尚未打進(jìn)介質(zhì)時(shí)介質(zhì)的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值：

其中贾陷，R2表示從基態(tài)能級(jí)抽運(yùn)粒子到E2能級(jí)的速率缘眶，R1表示從基態(tài)能級(jí)抽運(yùn)粒子到E1能級(jí)的速率。

形成粒子數(shù)反轉(zhuǎn)髓废，即讓上能級(jí)粒子數(shù)量大巷懈，下能級(jí)粒子數(shù)量少（最好沒有），所以我們盡量讓上能級(jí)粒子的壽命長慌洪，而下能級(jí)粒子壽命短顶燕。

那么我們?cè)鯓訌膶?shí)際情況去理解這個(gè)壽命呢？

這里冈爹，我們必須要明確我們的目的涌攻。我們是要讓上能級(jí)的粒子發(fā)生受激輻射，下能級(jí)盡量沒有粒子频伤。

前面我們有說到恳谎，壽命是跟自發(fā)輻射直接相關(guān)的，與受激輻射無關(guān)憋肖，所以因痛，當(dāng)我們讓上能級(jí)的粒子壽命增大時(shí)婚苹，是讓上能級(jí)的粒子盡量不發(fā)生自發(fā)輻射，而是讓其盡量停留在上能級(jí)上婚肆，等后期打入光束進(jìn)行放大時(shí)讓其發(fā)生受激輻射租副，進(jìn)而形成激光坐慰。類似的较性，對(duì)于下能級(jí)的粒子，我們盡量減少它结胀，所以赞咙，我們自然希望它發(fā)生自發(fā)輻射的概率盡量高，壽命盡量短糟港，讓其盡快跑到更低的能級(jí)去攀操。

【2】在前面通過激勵(lì)源形成粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的分布狀態(tài)后，我們就可以把這個(gè)激勵(lì)源撤掉秸抚，換成我們要放大的光束了速和。

在文章后面的講解中，正羊羊都用“第一階段”和“第二階段”來表示這個(gè)過程剥汤。

五個(gè)物理量之間的關(guān)系

增寬這個(gè)概念颠放，是從線型函數(shù)里來的，而線型函數(shù)是對(duì)于原子輻射躍遷的粒子數(shù)的修正吭敢。我們?cè)谶@里可以將增寬認(rèn)同為一種不穩(wěn)定性碰凶。這個(gè)不穩(wěn)定是指激光的制作過程遠(yuǎn)離我們的理想狀況，穩(wěn)定就是趨近于理想狀況鹿驼，一切都在我們?nèi)祟惖恼瓶禺?dāng)中欲低。

在上一篇中，我們對(duì)激光的講解是從理想情況到實(shí)際情況的畜晰，那么砾莱，就我們?nèi)祟惖男б鎭碇v，自然是越貼近理想狀態(tài)就越好凄鼻。試想腊瑟，現(xiàn)在一切都是理想情況，激光的整個(gè)放大過程中的頻率都是原子輻射躍遷的中心頻率野宜，光的放大效果最優(yōu)扫步。這樣的話，就不存在什么線型函數(shù)了匈子，增寬自然地也就為零河胎。

之所以要提起這個(gè)，正羊羊是想說明虎敦，對(duì)于我們?nèi)祟惗杂卧溃潜M量地去減小增寬政敢，降低這種不穩(wěn)定性。而在我們學(xué)習(xí)激光的時(shí)候胚迫，可以將“增寬”用“不穩(wěn)定性”去理解喷户，并且可以用極限（理想狀態(tài)）的方式去思考問題。（這點(diǎn)很重要７枚汀）

輻射概率和壽命

自發(fā)輻射是一種不穩(wěn)定的輻射褪尝，因?yàn)樗窃幼园l(fā)進(jìn)行的，不是人為可預(yù)測(cè)并且可控的期犬。當(dāng)自發(fā)輻射的概率增大時(shí)河哑，壽命就會(huì)降低（這里是很好理解的，因?yàn)樵釉谀骋粋€(gè)能級(jí)上發(fā)生躍遷的概率越高龟虎，那么它們停留在這個(gè)能級(jí)的時(shí)間就越少）璃谨。自然地，原子越難乖乖地停留在這個(gè)能級(jí)上鲤妥，其不穩(wěn)定性會(huì)增加佳吞，增寬也就會(huì)增大。

也就是說棉安，自發(fā)輻射概率越高底扳，壽命越短，不穩(wěn)定性越高垂券，增寬越大花盐。

增益系數(shù)和粒子數(shù)反轉(zhuǎn)

下面的是增益系數(shù)G的表達(dá)式：

依據(jù)公式，我們可以認(rèn)定菇爪，對(duì)于一個(gè)確定的介質(zhì)算芯，增益系數(shù)G和粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的分布值是等價(jià)的。增寬對(duì)于這兩者的影響凳宙，首當(dāng)其沖的應(yīng)該是在尚未進(jìn)行光放大時(shí)能級(jí)系統(tǒng)的特性熙揍。

我們前面說到，增寬表示的是一種不穩(wěn)定性氏涩。對(duì)于理想的情況届囚，頻率即為中心頻率。增寬為零是尖，增益系數(shù)應(yīng)該是最大的意系。那么，當(dāng)增寬擴(kuò)大后饺汹，增益效果就應(yīng)該會(huì)減弱蛔添，增益系數(shù)應(yīng)該要減小。這一點(diǎn)會(huì)在文章第三部分證實(shí)。

上面講的是在第一階段能級(jí)系統(tǒng)準(zhǔn)備時(shí)增寬對(duì)增益系數(shù)和粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值的影響迎瞧，那么夸溶，在第二階段光放大中呢？呵呵凶硅，我們先從能級(jí)寬度講起缝裁。

在書本的大部分圖里面，我們可以看到足绅，能級(jí)都是用一條條橫線表示的捷绑，這讓我們認(rèn)為，能級(jí)的能量是一個(gè)固定的值编检。但其實(shí)并不是這樣的胎食。能級(jí)雖然表示著一個(gè)能量值扰才，但在原子世界允懂，能級(jí)本身也存在著一定的寬度，當(dāng)然衩匣，這個(gè)寬度不會(huì)太大蕾总，其能量值也是在中心能量值的附近。自然地琅捏，每個(gè)能級(jí)自身的寬度也就決定了原子受激輻射躍遷時(shí)產(chǎn)生的光的復(fù)雜性生百。我們可以認(rèn)為，由于能級(jí)本身寬度柄延，在受激輻射后會(huì)產(chǎn)生多種頻率（這些頻率值會(huì)在中心頻率的附近）蚀浆，也就產(chǎn)生了多種光。介質(zhì)對(duì)這些光都有增益作用搜吧，只是強(qiáng)弱的不同市俊。

但是，從另一個(gè)角度上說滤奈，增益介質(zhì)也只對(duì)這些頻率的光起增益作用摆昧，不管是增益系數(shù)還是粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布，他們都是在這個(gè)頻率范圍里有所變化蜒程。這個(gè)范圍與增寬和光強(qiáng)有關(guān)：

我們可以把這個(gè)寬度理解為是用光強(qiáng)修正后的增寬绅你。那么在修正后的增寬對(duì)應(yīng)的頻率段里面，介質(zhì)才有增益作用昭躺，粒子數(shù)反轉(zhuǎn)才有效忌锯。

知道了能級(jí)自身的寬度會(huì)導(dǎo)致的多種頻率光，那么順便把飽和光強(qiáng)這塊也說了领炫。

對(duì)于“飽和光強(qiáng)”這個(gè)名詞里的“飽和”偶垮，粗略的理解方式就是，因?yàn)樵鲆娼橘|(zhì)只對(duì)中心頻率附近的那些頻率值起作用，所以其放大作用只對(duì)一定范圍里的光起作用针史，即存在一定的限度晶伦，會(huì)“飽和”的。那么這些光強(qiáng)極限的總和啄枕，就是飽和光強(qiáng)婚陪。

如果要理解地透徹點(diǎn)的，我們就要回到能級(jí)系統(tǒng)上來了频祝。能級(jí)系統(tǒng)在第二階段是通過受激輻射來進(jìn)行光放大的泌参。要使能級(jí)上發(fā)生受激輻射，入射光的頻率就必須和兩能級(jí)間對(duì)應(yīng)的頻率相吻合常空，當(dāng)光強(qiáng)逐漸增強(qiáng)時(shí)沽一，上能級(jí)受激輻射概率增大，粒子數(shù)減少漓糙，兩個(gè)能級(jí)之間的粒子數(shù)之差變小铣缠，粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值也就變小，同樣昆禽，增益系數(shù)也會(huì)減小蝗蛙，這就是增益飽和效應(yīng)。當(dāng)然醉鳖，這個(gè)光本身會(huì)有一定的限度捡硅，這個(gè)限度就是飽和光強(qiáng)。飽和光強(qiáng)由介質(zhì)本身來決定：

從這個(gè)公式里我們也可以看到盗棵，這個(gè)飽和光強(qiáng)與增寬是成正比的壮韭。我們可以這么理解，增寬本身表示這個(gè)介質(zhì)對(duì)光強(qiáng)種類的容納能力纹因，光的種類越多喷屋，能放大的光也就越多，飽和光強(qiáng)也就越大（當(dāng)然辐怕，也正因?yàn)槠淠苋菁{多種光逼蒙，對(duì)于我們的需求而言，就是不穩(wěn)定的寄疏，因?yàn)槲覀冎幌胍行念l率）是牢。

三種增寬

首先，我們先認(rèn)定陕截，在這塊知識(shí)內(nèi)容里驳棱，原子的發(fā)光原理符合經(jīng)典電磁理論。（即原子由一個(gè)正電中心和一個(gè)負(fù)電中心組成农曲，兩個(gè)中心的距離做來回振動(dòng)社搅，產(chǎn)生振幅和頻率隨時(shí)間變化的波列驻债，并且在振動(dòng)過程中輻射能量。這塊內(nèi)容還是比較好理解的形葬，具體的請(qǐng)參考課本合呐。）對(duì)于三種不同的增寬，我們認(rèn)為是原本正常發(fā)光的原子由于不同的原因笙以，使得其發(fā)出的波列發(fā)生了變化蝇狼，與簡諧波的走向發(fā)生了偏離展箱。

下面我們來看看三種增寬：自然增寬、碰撞增寬类垦、多普勒增寬

自然增寬

我們將原子分成兩部分春塌，一個(gè)帶正電徘公，一個(gè)帶負(fù)電留特。那么當(dāng)正電荷和負(fù)電荷之間的距離發(fā)生變化堂鲤，做頻率為γ0的來回振動(dòng)時(shí)，這個(gè)原子就輻射出頻率為γ0的電磁波老玛，即：

在振動(dòng)過程中淤年，原子不斷輻射能量，所以要加上一個(gè)衰減參數(shù)來修正：

之后逻炊，我們就可以通過一系列變換將其轉(zhuǎn)化為線型函數(shù)互亮，至于這里面的推導(dǎo)，這里就不細(xì)講了余素，可以自行查書。最后得出的線型函數(shù)如下（看看就好）：

其中炊昆，增寬為：

（可見桨吊，增寬和壽命是成反比關(guān)系）

中心頻率值為：

從上式就可以看出，增寬與線型函數(shù)是成反比的凤巨，所以在小信號(hào)增益系數(shù)的表達(dá)式里：

我們就可以看出视乐，增益系數(shù)是與增寬是成反向變化的。增寬越大敢茁，不穩(wěn)定性越大佑淀，增益效果降低。

碰撞增寬

碰撞增寬是指當(dāng)原子在發(fā)光的過程中彰檬，有其他原子對(duì)其碰撞伸刃，可能使其發(fā)出的波列突然截?cái)嗷蚴遣械南辔话l(fā)生突變，導(dǎo)致其偏離簡諧波的程度更大逢倍。尤其是氣體介質(zhì)捧颅，有大量無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的原子作熱運(yùn)動(dòng)，其互相碰撞會(huì)使某個(gè)處于激發(fā)態(tài)的原子以非輻射躍遷的方式跑到其他能級(jí)上去较雕，這就減少了激發(fā)態(tài)的平均壽命碉哑，增大了增寬。對(duì)氣體原子而言，氣體壓強(qiáng)越大扣典，碰撞次數(shù)也就越大妆毕，碰撞增寬的影響也就越大，增寬也就越大贮尖。有下式成立：

（a值實(shí)驗(yàn)可測(cè)）

碰撞增寬的線型函數(shù)為（看看就好）：

（與自然增寬的相同）

一般的设塔，發(fā)光原子（尤其是氣體原子）都會(huì)具有自然增寬和碰撞增寬，對(duì)于發(fā)光氣體來說远舅，碰撞增寬大于自然增寬闰蛔。

多普勒增寬

多普勒增寬與前兩者不同。發(fā)光原子產(chǎn)生的波列的振動(dòng)不是受自身正負(fù)電荷距離變化以及其他原子碰撞的影響图柏，而是受自身速度的影響序六。

多普勒效應(yīng)：波源與接收器的相對(duì)速度不同，接收器接受的波的頻率會(huì)不一樣蚤吹。其接受頻率為：

利用麥克斯韋分布律：

我們可以將速度與粒子數(shù)聯(lián)系起來例诀，經(jīng)推導(dǎo)，可以得出多普勒增寬的線型函數(shù)（看看就好）：

增寬為：

中心頻率值為：

以上我們展現(xiàn)了三種增寬的線型函數(shù)裁着，其中繁涂，自然增寬遠(yuǎn)小于碰撞增寬和多普勒增寬。在低氣壓時(shí)二驰，多普勒增寬起最主要作用扔罪。

我們可以看到，多普勒增寬與另兩個(gè)增寬是有所不同的桶雀，其引入了一個(gè)速度參量矿酵，讓這個(gè)情況變得復(fù)雜起來。我們將多普勒增寬稱為非均勻增寬矗积，而自然增寬和碰撞增寬為均勻增寬全肮。

對(duì)于均勻和非均勻增寬的區(qū)分，課本里用發(fā)光原子的光對(duì)頻譜頻率的貢獻(xiàn)度來表示棘捣。這個(gè)描述比較抽象辜腺，我們可以拿顏料來打個(gè)比方。

假定現(xiàn)在有紅黃藍(lán)三種顏色各1mL乍恐，混在一起评疗，變成黑色。在這種情況下禁熏，三種顏色的混合分量都是一樣的壤巷，對(duì)最終這個(gè)黑色的“貢獻(xiàn)度”是一樣的，這就是均勻增寬瞧毙。

假定現(xiàn)在有紅黃藍(lán)三種不同分量的顏色混在一起胧华，變成藍(lán)褐色寄症，這時(shí)，三種顏色對(duì)最后的這個(gè)藍(lán)褐色的混合分量就不一樣矩动，紅色和藍(lán)色顯然就要比黃色分量多一些有巧。在這種情況下，紅黃藍(lán)三種顏色對(duì)最終顏色的“貢獻(xiàn)度”就不一樣了悲没。這就是非均勻增寬篮迎。

均勻增寬和非均勻增寬的線型函數(shù)是不一樣的，前者是洛倫茲線型函數(shù)示姿，后者是高斯線型函數(shù)甜橱。不管是哪一種線型函數(shù)，它們都是對(duì)受激輻射發(fā)生概率的修正栈戳。其中岂傲，多普勒線型函數(shù)的函數(shù)值和線寬在中心頻率附近遠(yuǎn)大于洛倫茲線型函數(shù)。也因?yàn)閮烧叩木€型函數(shù)的不同子檀，導(dǎo)致了兩者的增益系數(shù)也有所不同镊掖。

均勻增寬的增益系數(shù)：

非均勻增寬的增益系數(shù)：

兩相對(duì)比，我們就可以看出褂痰，兩者增益系數(shù)的差別就在最后的線型函數(shù)表達(dá)式中亩进。

對(duì)于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布，兩者的主體形式是一樣的：

課本33頁有上式中△n0的推導(dǎo)過程缩歪，下面直接列出結(jié)果：

對(duì)于均勻增寬而言归薛，小信號(hào)的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值滿足上式，但對(duì)于非均勻增寬驶冒，就要用高斯函數(shù)來對(duì)其修正了：

除此之外苟翻，粒子數(shù)反轉(zhuǎn)表達(dá)式里的分母部分可以用一種更為直觀的方式表示：

對(duì)于均勻增寬，其粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的分布曲線如下圖所示：

對(duì)于非均勻增寬骗污，其粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的分布曲線如下圖所示：

顯然，兩者的趨勢(shì)幾乎相反沈条，我們可以理解為：這是因?yàn)榉蔷鶆蛟鰧挼牧Ｗ訑?shù)反轉(zhuǎn)表達(dá)式要多乘上高斯線型函數(shù)需忿，而高斯線型函數(shù)的值比原本的值大，線寬也遠(yuǎn)大于洛倫茲線型函數(shù)蜡歹，這樣一來屋厘，整體的趨勢(shì)就會(huì)變成高斯線型函數(shù)了。

但在另一個(gè)方面月而，這兩個(gè)曲線也有相似的地方汗洒，就是下凹處。這是因?yàn)?b>當(dāng)頻率趨近于中心頻率時(shí)父款，入射能量越趨近于能級(jí)之差溢谤，能級(jí)上的粒子發(fā)生受激輻射的概率增大瞻凤，粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值減小了。而非均勻增寬中由于速度參量的影響世杀，所以其中心頻率也偏離了中心位置阀参，下凹處也移到了曲線兩端，而這個(gè)下凹現(xiàn)象瞻坝，就是“燒孔效應(yīng)”蛛壳。

最后一部分啦

在原子能級(jí)的受激輻射中，增寬存在兩個(gè)地方所刀，一個(gè)是外來的激勵(lì)光源（Δγ1）衙荐，一個(gè)是原子自身輻射的光源（Δγ2），而這兩個(gè)地方均有相應(yīng)的線型函數(shù)（這點(diǎn)必須要明確）浮创。兩個(gè)線型函數(shù)會(huì)有重合的部分忧吟，這部分就基本上是我們需要的光源頻率和強(qiáng)度，而這部分的頻率寬度蒸矛，就是我們前面所說的修正后的增寬：

[情況一] 當(dāng)外來光源的增寬（Δγ1）遠(yuǎn)小于原子本身受激輻射產(chǎn)生的光源的增寬（Δγ2）時(shí)瀑罗，對(duì)于外來光源的線型函數(shù)，在其Δγ1范圍內(nèi)雏掠，原子輻射產(chǎn)生的光源（譜線）的線型函數(shù)值基本是一個(gè)定值斩祭。對(duì)于這一點(diǎn)，我們可以拿極限的方式去思考乡话。課本里的圖如下：

每幅圖里有兩種曲線摧玫，一個(gè)在上，一個(gè)在下绑青。取左圖诬像，將下方的曲線趨于極端的情況：

在圖中A和C區(qū)域，入射光的線型函數(shù)曲線幾乎為零闸婴，譜線的線型函數(shù)值再大坏挠，結(jié)果也幾乎為零。只有在B區(qū)域邪乍，入射光的線型函數(shù)突然增大降狠，譜線的線型函數(shù)值與其乘積才不為零。當(dāng)區(qū)域B的頻率寬度趨近于零時(shí)庇楞，譜線的線型函數(shù)值便為一個(gè)定值榜配。

所以，當(dāng)我們?cè)谒憧偸芗ぽ椛湓訑?shù)密度時(shí)吕晌，線型函數(shù)（注意這對(duì)應(yīng)的是原子受激輻射產(chǎn)生的光）就算是一個(gè)定值蛋褥，可以被提取出來，即：

[情況二] 同理睛驳，當(dāng)外來光源的增寬（Δγ1）遠(yuǎn)大于原子本身受激輻射產(chǎn)生的光源的增寬（Δγ2）時(shí)烙心，情況就會(huì)反過來膜廊，外來光源的能量密度就可以被視為一定值。表達(dá)式中弃理，提取ργ2溃论，對(duì)線型函數(shù)f(γ1)作積分。

—END—

到這里痘昌，增寬的大部分內(nèi)容就講解完了钥勋。對(duì)于第三部分，如果難以接受的話辆苔，就看第一第二部分吧算灸。把其中的一些關(guān)鍵點(diǎn)弄明白了，也就ok啦驻啤。