2019-10-02 2次整環(huán)的素性分析

考慮形如:

$\ x+y\times \sqrt{D} 的數(shù)字其中 x,y是整數(shù) ,D=+-1或者為素整數(shù)(可為負(fù)），$

$\ 所有這樣的數(shù)字，關(guān)于+，和 \times 運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)恬砂；也就是關(guān)于 + ,和 \times 是封閉的$

$\ 顯然 (a+b\times \sqrt{D}) \times (c+ d \times \sqrt{D})=ac+bdD + (bc+ad)\sqrt{D}$
$\ (a+b \times \sqrt{D})+(c + d \times \sqrt{D})=(a+c)+(b+d) \times D$
$\ 乘積以及和仍然具有x+y \times \sqrt{D}的形式$

$\ 就像所有整數(shù)組成的集合被記作 Z 一樣，所有這樣的數(shù)字組成的集合被記作 Z[\sqrt{D}] 且Z是Z[\sqrt{D}]的子集$

$\ 下面研究Z[\sqrt{D}]中什么樣的數(shù)字是素?cái)?shù)蓬痒，$

首先給出若干定義：
1.整除
$\ 在環(huán)R中泻骤，如果存在數(shù)字y使得 x \times y=z ，則稱x整除 z ，記作 x|z$
2.可逆元
$\ 環(huán)R中狱掂，整除1的所有數(shù)字都被稱為可逆元$

素?cái)?shù)
環(huán)R中演痒，如果1個(gè)數(shù)字p ，如果滿足：
$\ 1趋惨，給定R中任意a,b , 如果p|(ab) 必有 p|a \ or\ p|b$
$\ 2, p不是可逆元$
$\ 則p稱為環(huán)R中的素?cái)?shù)鸟顺，簡(jiǎn)稱素?cái)?shù)$

4.不可約數(shù)
$\ 環(huán)R中，一個(gè)數(shù)p不可約當(dāng)且僅當(dāng) 不存在非可逆元a和非可逆元b 使得 p=a\times b成立$

容易證明器虾，素?cái)?shù)一定不可約讯嫂，但反之未必

下面為以上抽象概念舉個(gè)例子，來整數(shù)環(huán)Z來說兆沙，
可逆元是 +1 和 -1
正素?cái)?shù) 包括 2,3,5,7,11,13,17,... 以及負(fù)素?cái)?shù) -2,-3,-5,-7,...
Z中的不可約數(shù)就是素?cái)?shù)欧芽，對(duì)于Z來說不可約和素是等價(jià)的

下面開始正式分析：

首先，上述定義都相對(duì)某個(gè)環(huán)而言才有意義挤悉，因此
$為了區(qū)別Z[\sqrt{D}]中的素?cái)?shù)和Z中素?cái)?shù) 渐裸，我們把Z中的素?cái)?shù)稱為整素?cái)?shù)巫湘，$
$Z[\sqrt{D}]中的素?cái)?shù)稱為素?cái)?shù)装悲，$

同時(shí)，我們必須先證明一個(gè)命題尚氛，該命題在后文中會(huì)隱晦的使用到
$\ 假設(shè) a,b都屬于Z 诀诊，則$
$\ a,b看作Z[\sqrt{D}]中的元素，如果a|b,$
$\ 則必然a,b看作Z中的元素阅嘶，也有a|b$

$\ 證明：看作Z[\sqrt{D}]中的元素属瓣，如果 a|b$
$\ 則有 a \times (x+y\sqrt{D})=b => a \times x + a \times y \times \sqrt{D}=b$
$\ =>a \times x=b ,a\times y =0$
$\ =>a|b$
證明完畢

$\ 其次，我們證明如果 x+y\sqrt{D}是一個(gè)可逆元素讯柔，必有x^2-y^2 D=+-1$
證明:
$\ 首先在Z中,gcd(x,y)=1,否則 gcd(x,y)|(x+y\sqrt{D})|1導(dǎo)出矛盾,$
$\ 1/(x+y\sqrt{D})=(x-y\sqrt{D})/(x^2 - y^2D)$
$\ => (x^2 - y^2 \times D)|x$
$\ 且 (x^2 - y^2 \times D)|y$
$\ 結(jié)合gcd(x,y)=1 ,必有 x^2 - y^2 D|1 證明完畢$

$\ 在Z[\sqrt{D}]中給定數(shù)字 x+y\sqrt{D} ,首先假定它是一個(gè)素?cái)?shù)抡蛙，$
$\ (x+y\sqrt{D}) \times (x-y\sqrt{D}) = x^2 - y^2D$
$\ 根據(jù)整除定義，有 (x+y\sqrt{D})|(x^2 - y^2D)$
$\ 我們把 x^2 - y^2D 分解為整素因子魂迄，$
$\ 根據(jù)素?cái)?shù)定義粗截，則 (x+y\sqrt{D}) 必然整除其中某個(gè)整素因子，不妨設(shè)這個(gè)整素因子為p 則 , (x+y\sqrt{D})|p$

$\ 不妨設(shè) (x+y\sqrt{D}) \times (a+b \sqrt{D})=p$
則容易推導(dǎo)出:

$\ x \times a + y \times b \times D=p$
$\ y \times a + x \times b =0$

根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)：
$\ x^2 - y^2\times D \neq 0 且$
$\ a= (px)/(x^2 - y^2D)$
$\ b= (-py)/(x^2 - y^2D)$
$\ 由于a,b必須為整數(shù) 捣炬，則 (x^2 - y^2 \times D)|(px) 且 (x^2 - y^2 \times D)|(py)$

$\ 由于假定x+y\sqrt{D}是素?cái)?shù) 熊昌，顯然 gcd(x,y)=1, 立刻得到$
$\ (x^2 - y^2D)|p$

$\ 則 x^2 - y^2D有4個(gè)可能的值$
$\ 1，-1湿酸，p,-p$

$\ 前2個(gè)是不可能的婿屹，因?yàn)槿绻鹸^2 - y^2D =+-1$
$\ 根據(jù) (x+y\sqrt{D})|(x^2 - y^2D) 將得到$
$\ (x+y\sqrt{D})|1 則這與 x+y\sqrt{D}是素?cái)?shù)定義相矛盾$

$\ 所以必有 x^2 - y^2D=(+-p)$

$\ 下面證明如果 x + y\sqrt{D} 是一個(gè)素?cái)?shù) ， x-y\sqrt{D} 也是一個(gè)素?cái)?shù)$
$\ 假設(shè) (x-y\sqrt{D})|(a+b\sqrt{D}) \times (c+d\sqrt{D})$
$\ => (x+y\sqrt{D})|(a-b\sqrt{D})\times (c-d\sqrt{D})$
$\ => x+y\sqrt{D} |(a-b\sqrt{D}) \ or\ x+y\sqrt{D}|(c-d\sqrt{D})$
$\ => x- y\sqrt{D} |(a+b\sqrt{D}) \ or\ x-y\sqrt{D}| (c+d\sqrt{D})$
證明完畢

綜上：
$\ 如果 x+y\sqrt{D}是一個(gè)素?cái)?shù) 推溃，則 x-y\sqrt{D}也是一個(gè)素?cái)?shù) 且兩者乘積 x^2 - y^2\times D 必然是一個(gè)整素?cái)?shù)q$

$\ 既然 x+y\sqrt{D}和 x-y\sqrt{D}都是素?cái)?shù)昂利，它們有沒有可能互相整除（舉例來說 (-7)|7，且-7!=7）？$
$\ 假設(shè) x+y\sqrt{D}|(x-y\sqrt{D}) ,兩邊同時(shí)乘以 x-y\sqrt{D}$
立刻得到
$\ q|(x^2 + y^2 \times D)$
$\ q|(2xy)$

$\ 首先D!=q$
$\ 否則蜂奸，q|(x^2 + y^2 \times D) => q|x =>D|x ,設(shè)D \times z=x$
$\ 則x+y\sqrt{D}= Dz+y\sqrt{D}= \sqrt{D} \times (y+z\sqrt{D})$
$\ 顯然與 x+y\sqrt{D}是素?cái)?shù)相矛盾梯捕，$

$\ 先假定q是奇素?cái)?shù)：$

$\ 則q|x \ or \ q|y$
$\ 如果 q|x$
$\ 有q|(y^2\times D)=>q|y$

$\ 如果 q|y$
$\ 則 q|x$

$\ 以上都會(huì)導(dǎo)致 gcd(x,y)！=1,矛盾$

$\ 所以窝撵，當(dāng)q是奇素?cái)?shù)傀顾，x+y\sqrt{D}無法整除x-y\sqrt{D} ，類似可以證明 x- y\sqrt{D}也無法整除x+y\sqrt{D}$
$\ 簡(jiǎn)單而言碌奉，x+y\sqrt{D}和x-y\sqrt{D}不是相伴數(shù)$

$\ 如果q是偶素?cái)?shù)短曾，只能為2;此時(shí)，商為$
$\ (x^2 + y^2 \times D)/2 -xy\sqrt{D}$
判斷其是否可逆元赐劣，計(jì)算
$\ ((x^2 + y^2 D)/2)^2 - x^2 y^2 D ,化簡(jiǎn)為:$
$\ (1/4) (y^2 D - x^2 )^2 = (1/4) 2^2=1 嫉拐，確實(shí)可逆$

$\ 說明當(dāng)q=2時(shí)， x+y\sqrt{D}和x-y\sqrt{D}只差一個(gè)可逆元魁兼；$

綜上婉徘，得到定理：
$\ 如果x+y\sqrt{D}是素?cái)?shù) ，則必有x^2 - y^2D是一個(gè)素?cái)?shù)q咐汞，且q !=D;$
$\ 當(dāng)q為奇素?cái)?shù)時(shí) q = (x + y\sqrt{D}) \times (x - y\sqrt{D}) 恰好是把其分解為2個(gè)不同素?cái)?shù)的一個(gè)分解;$
$\ 當(dāng)q為2時(shí)盖呼，q= (x + y\sqrt{D}) \times (x-y\sqrt{D}) 的2個(gè)素因子相差一個(gè)可逆元；$

下面考慮其逆命題：
$\ x^2 - y^2D 是一個(gè)素?cái)?shù)q, 且 q!=D ,則x+y\sqrt{D}是否一定是素?cái)?shù)$

$\ 首先x+y\sqrt{D}|1 不成立化撕，否則$
$\ 1/(x + y\sqrt{D}) =( x-y\sqrt{D})/(x^2 - y^2D) =>$
$\ q|x且q|y => q^2 | x^2, q^2 | y^2 => q^2 | q 矛盾$
$\ 并且几晤，同樣的理由 gcd(x,y)=1$

$\ 且q|y也不成立，否則$
$\ x+y\sqrt{D}|x => q|x$
$\ (如果q|x不成立 ,存在 ,m,n使得 mq+nx=1, 則x+ y\sqrt{D} |1 ,矛盾）$
$\ 與 gcd(x,y)=1矛盾$

$\ 則植阴，存在整數(shù) m使得 q|(my-1)$
$\ 于是 x+y\sqrt{D} |(x+y\sqrt{D}) 且x+y\sqrt{D}|my-1$
$\ =>x+y\sqrt{D} |m\times (x+y\sqrt{D})$
$\ =>x+y\sqrt{D}| m x + \sqrt{D}$
$\ 設(shè) k=-m x 則 x+y\sqrt{D}| \sqrt{D} - k$
$\ 也就是說蟹瘾，存在整數(shù)k 使得 x+y\sqrt{D}|\sqrt{D} - k$

$\ 現(xiàn)在來證明 x+y\sqrt{D}是素?cái)?shù)$
$\ 假設(shè) x+y\sqrt{D}| (a+b\sqrt{D})\times (c+d\sqrt{D}) ，通過上述$
$\ 方法找到 k,則有 x +y \sqrt{D} | \sqrt{D}-k$

$\ => (x+y \sqrt{D}) | (a+b\times k) \times (c+d \times k)$

$\ 此時(shí) 掠手，必有 q|(a+bk) \times (c+dk)憾朴，否則$
$\ 存在 m,n使得 mq+ n[(a+bk)\times (c+dk)]=1 => x+y\sqrt{D}|1 ，矛盾$

$\ 則 q|(a+bk) \times (c+dk) ,根據(jù)q是素?cái)?shù)喷鸽，$
$\ q|(a+bk) \ or \ q|(c+dk)$
$\ 則 x+y\sqrt{D} |(a+bk) \ or\ x+y\sqrt{D}|c+dk$

$\ 再次結(jié)合x+y\sqrt{D}| \sqrt{D}-k$
$\ => x+y\sqrt{D}|a+b\sqrt{D} \ or\ x+y\sqrt{D} |c+d\sqrt{D}$

$\ 綜上众雷，根據(jù)定義x+y\sqrt{D} 為素?cái)?shù)$

全文結(jié)論可以概括為以下2個(gè)定理
$Theorem1：$
$\ D是素?cái)?shù)時(shí)，Z[\sqrt{D}]中的可逆元素x+y\sqrt{D}必然滿足 x^2 - y^2\times D=+-1$

$Theorem2：$
$\ 當(dāng)D是奇素?cái)?shù)時(shí)魁衙，在環(huán)Z[\sqrt{D}]中$
$\ x + y\sqrt{D}是素?cái)?shù) 當(dāng)且僅當(dāng) x^2 - y^2\times D是一個(gè)不等于D的素?cái)?shù)q.$
當(dāng)以上條件成立時(shí)报腔，
$\ q= (x + y\sqrt{D}) \times (x-y \sqrt{D}) 是q在Z[\sqrt{D}]下的一個(gè)素因子分解$
$\ 當(dāng)q為2時(shí)，兩個(gè)素因子相差一個(gè)可逆元剖淀；當(dāng)q為奇素?cái)?shù)時(shí)纯蛾，兩個(gè)素因子彼此不相整除.$

最后，給出這2個(gè)定理的一個(gè)應(yīng)用
$\ 設(shè)p,q為不相等的奇素?cái)?shù)纵隔，$
$\ 則不定方程x^2 - qy^2 = p 的整數(shù)解翻诉，可以由 x^2 - qy^2 =+-1的解派生出來炮姨，$

證明:
$\ 假設(shè)x^2 -qy^2 =p 至少存在一個(gè)解 a,b$
$\ 則 (a-\sqrt{q} b)\times (a+\sqrt{q} b) =p 根據(jù)定理，a+\sqrt{q}b和a-\sqrt{q} b是兩個(gè)素?cái)?shù)$
$\ 則如果 x^2 - q\times y^2 =p還有另一組解 ,u,v$
$\ 則(u- \sqrt{q}v)\times (u+\sqrt{q}v)= p 根據(jù) 素?cái)?shù)性質(zhì),有$

$\ a+\sqrt{q} b| u-\sqrt{q} v \ or\ a+\sqrt{q} b| u+\sqrt{q} v$
$\ 因?yàn)榭梢酝ㄟ^用-v取代v改變符號(hào)碰煌，因此不妨假設(shè) a+\sqrt{q} b|u+\sqrt{q} v$

$\ 則 u+\sqrt{q}v = (m+n\sqrt{q})\times (a+\sqrt{q}b) 且 m+n\sqrt{q}是一個(gè)可逆元素$
$\ 則根據(jù)定理1: m^2 - n^2 \times q =+-1$

$\ 這就意味著舒岸，x^2 -q \times y^2 =p的所有整數(shù)解 (u,v)，可以表為形式:$
$\ u = ma+nbq$
$\ v = na+mb$
$\ 其中 (m,n)是 m^2 -q\times n^2 =+-1的解$

$\ 舉例來說芦圾， x^2- 3y^2 =1 有解 (2,1) 根據(jù)佩爾方程性質(zhì)$
$\ x^2-3y^2 =1的通解可由 (2+sqrt(3))^a 和 (2-sqrt(3))^a 派生出來蛾派，$
$\ 得到 (7,4) ,(26,15),(97,56)....$

$\ 且 x^2-3y^2 =13 有解 (4,1)$
$\ 則x^2-3y^2=13的其余解可根據(jù) (7,4) ,(26,15),(97,56) 求出為:$
$\ u=7\times 4+4\times1\times 3=40$
$\ v=4\times 4+7\times 1=23$
$\ u=26 \times 4+15\times1 \times 3 = 149$
$\ v=15\times 4+26\times 1=86$
$\ u=97\times 4+56\times 1\times3=556$
$\ v=56\times 4+97\times 1=321$

$\ (40,23),(149,86), (556,321) ...$
$\ 都是方程 x^2 -3y^2 =13 的解...$

$繼續(xù)前文的分析$

最后編輯于：2019.10.21 22:14:51

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