1. 人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----導(dǎo)數(shù)
2. 人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)----矩陣
人工智能的學(xué)習(xí)對于數(shù)學(xué)要求還是需要一定的功底的，不管是算法還是涉及到的名詞概念挫鸽，都是建立在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上來做訓(xùn)練學(xué)習(xí)的，所以非常有必要把涉及到的數(shù)學(xué)知識都理解和梳理一遍埃脏，才能把思維從傳統(tǒng)的編程方式轉(zhuǎn)變過來搪锣。
這里介紹的是 一元函數(shù)(標(biāo)量場)的導(dǎo)數(shù)，以后會介紹多元函數(shù)(矢量或者多維矩陣場)導(dǎo)數(shù)彩掐，因為多元函數(shù)需要向量和矩陣相關(guān)的知識构舟，會先介紹向量和矩陣相關(guān)之后，再來詳細(xì)介紹多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題
一堵幽、導(dǎo)數(shù)
1. 定義
函數(shù)導(dǎo)數(shù)f'(x0)狗超，就是函數(shù)f(x)在x0值處的導(dǎo)數(shù)，也是函數(shù)f(x)在x0這個點的切線斜率朴下，這個點我們這里用P點表示努咐，如圖：
2. 求導(dǎo)的推導(dǎo)過程
我們知道高中的時候?qū)τ诤瘮?shù)斜率的計算公式：y-y0 = m(x - x0)，其中m就是函數(shù)的斜率殴胧。具體我們要怎么求出這斜率值或者導(dǎo)數(shù)呢渗稍。
上圖中，假設(shè)有一條直線l团滥，與函數(shù)f(x)相交于p0和Q點竿屹，保持p0點不變，當(dāng)Q點沿著函數(shù)f(x)向p0點無限靠近灸姊，P0點和Q點重合的時候拱燃，此時直線l就和P0的切線n重合，這是一個極限的無限趨于x0值（也就是P0點）的求解過程力惯。
上圖看出碗誉，P0點到Q點在x軸上的變化量是Δx，Q點的x值就是x0+Δx夯膀，Q點在y軸上的變化量就是Δy,或者叫Δf诗充。
P0和Q點的坐標(biāo)是：P0( x0, f(x0) )，Q( x0+Δx, f(x0+Δx) )
最開始我們提到了诱建，斜率的計算公式y(tǒng)-y0 = m(x-x0)蝴蜓，m = (y - y0) / (x - x0)，m = Δf / Δx, 這是割線l的斜率俺猿，要求P0的斜率茎匠，則要引入極限的概念，斜率或者說導(dǎo)數(shù)的如下（當(dāng)Δx趨近于0的時候押袍，也就是變化量趨于0的時候诵冒，Q點和P0點重合）：
3. 求導(dǎo)例子
例子一
根據(jù)以上公式，舉個例子谊惭，有函數(shù)f(x) = 1/x汽馋，求在x0上的導(dǎo)數(shù)侮东？
當(dāng)Δx趨近于0的時候，函數(shù)1/x的導(dǎo)數(shù)是 -1/x^2豹芯。
例子二
函數(shù)1/x的導(dǎo)數(shù)求出來后悄雅，我們來解決一個有趣的問題，求出經(jīng)過在函數(shù)f(x) = 1/x的點P的切線與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積铁蹈，如下圖求出三角形AOB的面積：
經(jīng)過上面的學(xué)習(xí)宽闲，我們已經(jīng)知道切線的方程：y-y0 = m(x - x0)，函數(shù)f(x) = 1/x的導(dǎo)數(shù)是 -1/x^2握牧，求三角形面積容诬，我們只要求出線段AO和BO的長度，即在A點的坐標(biāo)(0, y)和B點的坐標(biāo)(x, 0)沿腰，將A览徒、B兩點的坐標(biāo)值和函數(shù)導(dǎo)數(shù)代入切線方程中得到：
求解的過程寫的有點亂，將A矫俺、B坐標(biāo)和導(dǎo)數(shù)代入后吱殉，求出A和B代表的三角形的兩個邊的y、x值厘托。最后根據(jù)三角形面積公式：1/2AOBO，求出面積為：2, 函數(shù)f(x) = 1 / x稿湿，比較神奇铅匹，過函數(shù)的點的切線與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形面積都是2。
例子三
既然函數(shù)f(x) = 1/x（即x的-1次冪）可以求其導(dǎo)數(shù)饺藤，f(x) = x^n包斑，也可以求其導(dǎo)數(shù)，如下是求導(dǎo)過程：
這里最難的是二項式(x + Δx)^n的展開為多項式涕俗，（二項式定理）這個高中的數(shù)學(xué)書應(yīng)該有提及罗丰，其實只要試試(x + Δx)^2和(x + Δx)3的展開，就可以找出其中規(guī)律再姑，上圖寫的O((Δx)2)是許多由Δx所組成的項式萌抵，因為我們求導(dǎo)最終是一個極限的過程，所以只有變化量的項式就寫成了一個統(tǒng)稱元镀，沒有實際的計算意義绍填。最終得出當(dāng)Δx趨于0的時候，函數(shù)f(x) = x^n的導(dǎo)數(shù)是 f '(x) = nx^n-1栖疑，通過這個導(dǎo)數(shù)公式也可以反過來證明我們上門例子一中所計算出的函數(shù)f(x) = 1/x的導(dǎo)數(shù)讨永，也是f '(x) = -1/x2（即-x-2）。
經(jīng)過例子三的計算遇革，很容易對多項式函數(shù)進行求導(dǎo)卿闹，比如：f(x) = 10x^3 -2x^5揭糕，f '(x) = 30x^2 - 10x^4。
例子四
下面來推導(dǎo)下三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
f(x) = sinx锻霎，f '(x) = (sinx)'插佛，利用上門的求導(dǎo)公式，解得：
正弦的兩角和公式展開后量窘，求得Δx趨于0的時候雇寇，cosΔx等于1，所以cosΔx-1 / Δx等于0蚌铜，Δx趨于0的時候锨侯，sinΔx等于0， sinΔx/Δx等于1冬殃。
余弦函數(shù)f(x) =cosx的求導(dǎo)囚痴，f '(x) = (cosx)'：
以上三角函數(shù)的兩角和公式：
sin(x + Δx) = sinx·cosΔx + cosx·sinΔx
cos(x + Δx) = cosx·cosΔx - sinx·sinΔx
二、高階導(dǎo)數(shù)
所謂高階導(dǎo)數(shù)就是审葬，函數(shù)的一次求導(dǎo)叫一階導(dǎo)數(shù)深滚，對一階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)叫二階導(dǎo)數(shù)，對二階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)叫三階導(dǎo)數(shù)涣觉，對三階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)叫四階導(dǎo)數(shù)痴荐，如果求導(dǎo)n次就是n階導(dǎo)數(shù)，這些都是高階導(dǎo)數(shù)官册。這里舉個例子生兆，函數(shù)f(x) = x^n，的n次導(dǎo)數(shù)膝宁，求解鸦难？
下面我們來對函數(shù)f(x) = x^n，進行n階導(dǎo)求解：
最終是一個n!介返，n的階層是一個常量了拴事，如果進行n+1次求導(dǎo)，那么函數(shù)f(x) = x^n的n+1階導(dǎo)數(shù)就是0映皆。
三挤聘、常用導(dǎo)數(shù)公式
其中指數(shù)和對數(shù)的會比較難記住，我就是經(jīng)常記不住捅彻。o_o|||组去，慚愧高中指數(shù)和對數(shù)的知識也忘了。以后還是有必要專門有一篇是介紹和復(fù)習(xí)指數(shù)對數(shù)相關(guān)概念步淹、性質(zhì)和運算法則的文章从隆。
導(dǎo)數(shù)知識先介紹到這诚撵，關(guān)于四則運算的求導(dǎo)，網(wǎng)上已有很多資料键闺，可以上網(wǎng)查找其相關(guān)求導(dǎo)法則寿烟，萬變不離其宗推導(dǎo)方式都可以利用第二小標(biāo)題的“求導(dǎo)公式”來計算推導(dǎo)。希望這篇文章能對你有所幫助辛燥，回憶起高中導(dǎo)數(shù)和微分相關(guān)的內(nèi)容筛武。
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